因式分解的经典例题与练习

1、用分组分解法进行因式分解知识总结归纳：分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时， 必须有预见性。 能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察” ，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法， 同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 211242a aaaa()分解因式，所得的结果为（）aaabaacaadaa.().().().()

2、222222221111分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式211242a aaaa()aaaaaaaaaaaaaaa43243222222223212221211()()()()()故选择 c 例 2. 分解因式 xxxxx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把xx54，xxx321和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法 1：原式()()()()()()()xxxxxxxxxxxxx54323222111111

3、解法 2：原式()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx5432424242222111111121111 2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 abacbac，2222证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：acbac2222acbacaaccbacbacb acbacbacbacbacbabcabcabcababc2222222220200000，即又，即以 、 、 为三边能构成三角形()()() 3. 在方程中的应用例

4、：求方程xyxy的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与 y，故可考虑借助因式分解求解解：xyxyxyxyxyxyx yyyxx yxyxy01111111111111111即是整数或()()()(),xyxy0022或中考点拨：例 1. 分解因式： 1222mnmn_。解： 1222mnmn12111222()()()()mmnnmnmnmn说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式：xyxy22_ 解： xyxy22()()xy

5、xy22()()()()()xyxyxyxyxy1说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. （2001北京昌平）分解因式：xxx323412_ 解： xxx323412xxx324312x xxxxx()()()()()22434322说明：分组的目的是能够继续分解。题型展示：例 1. 分解因式：mnmnn222141()解： mnmnn222141()m nmmnnm nmnmmnnmnmnmnmnmnmn222222222241212111()()()()()()说明： 观察此题， 直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组， 把 4mn分成 2mn和 2mn ，

6、配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： abcdacbd2222110，且，求 ab+cd 的值。解： ab+cd=abcd11ab cdcd ababcabdcdacdbabccdbabdcdabc acbdad bdacacbdbcad()()()()()()()()222222222222acbd00原式说明： 首先要充分利用已知条件abcd222211，中的 1（任何数乘以1，其值不变） ，其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例 3. 分解因式：xx323分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1 时，它的

7、值为0，这就意味着xxx1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x1这个因式。解一（拆项） ：xxxxx3332333223112113222()()()()()xxxx xxxx解二（添项） ：xxxxxxxxxxxxx332222232311313()()()()()说明： 拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？实战模拟： 1. 填空题：（ ）分解因式：（）分解因式：（ ）分解因式：13322444311222233aabbxxxyyymnmnm n() 2. 已知： abcaa cabcb cb03223，求的值。 3. 分解因式：15aa 4.

8、已知： xyzax y zxyzxyxz a2223330，是一个关于的一次多项式，且, ,()()，试求 a的表达式。 5. 证明： ()()()() ()abab ababab22111222【试题答案】 1. （1）解： 原式()()abab223()()()()()ababababab33（2）解： 原式()()xxyyxy224422()()()()xyxyxyxy2222222（3）解： 原式12233mnm nm n()()()()11112222mnm nmnmnm n 2. 解： 原式()()()abaabbc aabb2222)(22cbababaabc00原式说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。 3. 解： aa51aaaaaaaaaaaaaaaaaa52223222223211111111()()()()()()() 4. 解：xyz2220yxzzxyxyzxyz zxyxxyyz xyxyxxyyz xyxyx xzy xzxzxyxzxyxzxyxzxyz222222333332222222222，()()()()()()() ()()()()()()()()()axyz2 5. 证明： ()()()abab abab2212aabaabbba babababa