数字信号处理第七章

1、 掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较第七章第七章 FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计但相位非线性FIR数字滤波器：数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统可用FFT计算但阶次比IIR滤波器要高得多一、线性相位FIR滤波器的特点 FIR滤波器的单位冲激响应：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系统函数：在 z 平面有N 1 个零点在 z = 0 处是N 1 阶极点 h(n)为实序列时，

2、其频率响应：1、线性相位条件()()jjH ee 即群延时 是常数( )dd 0( ) 第二类线性相位：( ) 第一类线性相位：10()( )Njj nnH eh n e()( )jHe 线性相位是指 是 的线性函数 ()()jjH ee 10()( )Njj nnH eh n e( ) 第一类线性相位()jjH ee 10() coscosNjnH eh nn 10() sinsinNjnH eh nn 1010sinsincoscosNnNnh nntgh nn 1100sincoscossin0NNnnh nnh nn 10sin0Nnh nnn第一类线性相位 的充要条件：( ) ( )

3、(1)01h nh NnnN 12Nn = (N 1) /2 为h(n)的偶对称中心 10sin0Nnh nnn第二类线性相位 的充要条件：0( ) ( )(1)01h nh NnnN 12N0/2 n = (N 1) /2 为h(n)的奇对称中心2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)0( )NNmmh m z (1)1()NzH z 1mNn 令系统函数：( )(1)01h nh NnnN 由1(1)0( )NNmmzh m z (1)11 ( )( )()2NH zH zzH z得11(1)001( )( )2NN

4、nNnnnh n zzh n z1(1)01( )2NnNnnh nzzz11122120( )2NNnnNNnzzzh n (1)1 ()NH zzH z 由11221cos 221sin 2jNNnnz eNnzzNjn 11122120( )2NNnnNNnzzH zzh n112011201( )cos2()( )1( )sin2jNNjnjz eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn cos2jxjxeex 频率响应：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )cos2jNNjjz enNH eH zeh nn12N1）h(n)偶对称为第一类线性相位1( )2N 相

5、位函数： 频率响应：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )sin2jNNjjz enNH eH zjeh nn12N112201( )sin2NNjjnNeh nn0/22）h(n)奇对称1( )22N 相位函数：为第二类线性相位3、幅度函数的特点1）h(n)偶对称，N为奇数11cos(1)cos22NNNnn 11cos22NNn对呈偶对称101( )( )cos2NnNHh nn幅度函数：1cos2Nn-32011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah其中

6、：11,.,2Nn1( )22Na nhn( )0, , 2 H对呈偶对称cos()0, 2 n对，呈偶对称120( )( )cos()NnHa nn2）h(n)偶对称，N为偶数12012 ( )cos2NnNh nn101( )( )cos2NnNHh nn幅度函数：2112cos22NmNhmm2Nnm令/211( )( )cos2NnHb nn( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：1201( )2 ( )cos2NnNHh nn( )H对呈奇对称( )01Hz 则是零点1 cos02n时1z 为零点故不能设计成高通、带阻滤波器 ( )0, 2H对呈偶对称/211( )( )cos2

7、NnHb nn3）h(n)奇对称，N为奇数11sin(1)sin22NNNnn 11sin22NNn对呈奇对称101( )( )sin2NnNHh nn幅度函数：1sin2Nn -3201( )2 ( )sin2NnNHh nn12112sin()2NmNhmm12Nnm令121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn其中：1( )02Nh nNh奇对称且 为奇数( )0, 2H故对， 呈奇对称( )01Hz 则是零点0, , 2 sin()0n时121( )( )sin()NnHc nnsin()0, 2 n因对，呈奇对称4）h(n)奇对称，N为偶数101

8、( )( )sin2NnNHh nn幅度函数：12012 ( )sin2NnNh nn1201( )2 ( )sin2NnNHh nn2112sin22NmNhmm2Nnm令/211( )( )sin2NnHd nn( )22Nd nhn1,.,2Nn 其中：( )01Hz 则是零点10, 2 sin02n时n ( )0, 2H对呈奇对称n nh(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时( )H对呈偶对称/211( )( )sin2NnHd nn4、零点位置( )0iH z*, 1/iizz即 也是零点(1)1( )()NH zzH z 得：

9、由1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点2）h(n)为实数，则零点共轭成对线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对 即共轭成对且镜像成对(1)1()( )0NiiiH zzH z 1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)长度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。 解解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)，

10、所以FIR滤波器具有A类线性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于=点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： 32212)(N由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 解解：

11、因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=点奇对称， 即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0二、窗函数设计法 1、设计方法10()( )()Njj njdnH eh n eHe1( )2jj nddh nHeed( )( )( )dh nw n h nw(n)：窗函数序列要选择合适的形状和长度以低通滤波器为例讨论：线性相位理想低通滤波器的频率响应：(

12、)0,jjccdcceHe 1sin()( )2()ccjj nccdcnh needn其理想单位抽样响应：中心点为 的偶对称无限长非因果序列 取矩形窗：( )( )Nw nRn 1sin201 120cccNnnNh nNnn其它( )01( )( ) ( )0ddh nnNh nh n w nn其它则FIR滤波器的单位抽样响应：12N按第一类线性相位条件，得sin()( )()ccdcnh nn 加窗处理后对频率响应的影响：时域乘积相当于频域卷积1()2jjjdH eHeW ed 1120sin2()( )sin2NNjjj nRnNW ew n ee而矩形窗的频率响应：( )( ) (

13、)dh nh n w nsin2 ( )sin2RNW其幅度函数： 理想滤波器的频率响应：12()( )NjjddHeHe11()221()( )()2NNjjjdRH eHeWed 121( )()2NjdReHWd1( )0cdcH其幅度函数：则FIR滤波器的频率响应： 1( )()2dRHHWd其幅度函数： (0)( )RHW近似于的全部积分面积()0.5(0)cHH2cHN为最大值，正肩峰2cHN为最小值，负肩峰( )H随，绕零值波动( )(0)HH随，绕波动0c2cN2cN2cN2cN1( )( )()2dRHHWd幅度函数：加窗函数的影响： 不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两

14、肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。n在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振 荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少2cNn改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应sinsinsin22 ( )sin22RNNxWNNxN幅度函数：2、各种窗函数 窗函数的要求：u窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带u尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹( )( )Nw nRnn矩形窗4N主瓣宽度最窄：旁瓣幅度大 1120()( )NNjjj nRRnWew n eWe窗谱：sin2( )sin2RNW幅度函数： 三角形（Bar

15、tlett）窗21012( )212112nNnNw nnNnNN8N主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小 12()NjjW eWe窗谱：2sin24( )sin2NWN幅度函数： 1N 12( )1cos( )21Nnw nRnN8N22( )0.5( )0.25RRRWWWWNN1N 2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN8N22( )0.54( )0.23RRRWWWWNN1N 24( )0.420.5cos0.08cos( )11Nnnw nRnNN12N22( )0.42( )0.25RRRWWWWNN440.04RRWWNN1N 凯泽（Kaiser）窗 ：第一类变形零阶 贝塞尔

16、函数0( )I 2002111( )( )nINw nI01nN改变 可同时调整主瓣 宽度和旁瓣幅度 旁瓣幅度 但主瓣宽度窗函数窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/dB主瓣宽度过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-5724443.35.55-21-25-44-53-74-80/ 2 / N/ 2 / N7.865阻带最小衰减只由窗形状决定过渡带宽则与窗形状和窗宽N都有关 下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。 (1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ej)

17、，那么单位取样响应用下式求出：1( )()2jjddh nHee d22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeM(7.2.17) (7.2.18) 根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：( )()( )MdMrhnh nrM Rn如果hd(n)很难直接求解，就采用频率域采样方法求其近似,取M个点： 例如，理想低通滤波器如(7.2.1)式所示，求出单位取样响应hd(n)如(7.2.2)式，重写如下： (2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。 (3) 计算滤波器的单位取样响应h(n)，

18、 h(n)=hd(n)w(n)sin()1( ),()2cdnNh nn (4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：10()( )Njj nnH eh n e 例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器，设N=11,c=0.2rad。 解 用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn 用汉宁窗设计：( )( )( ),0102w( )0.5(1 cos)10dHnHnh nh nnnnn用布莱克曼窗设计： 11( )( )w ( )

19、22w ( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh nnnnnRn图7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性3、窗函数法的设计步骤n给定理想的频率响应函数及技术指标()jdHe2,n求出理想的单位抽样响应( )dh nn根据阻带衰减选择窗函数( )w nn计算频率响应 ，验算指标是否满足要求()jH e/NAn根据过渡带宽度确定N值( )( )( )dh nh nw nn求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应公式法：()jdHe( )dh n, ( )( )dMMNh nhn当时IFFT法：1( )2jj nddh nHeed( )()Mdrhnh nrM计算其I

20、FFT，得：对 M点等间隔抽样：()jdHe2()jkMdHe4、线性相位FIR低通滤波器的设计/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 250dB解：1）求数字频率例：设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 通带截止频率为 ，323 10 (/sec)strad 阻带起始频率为 ，阻带衰减不小于-50dB，幅度特性如图所示2）求hd(n)()0,jjccdcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 2

21、( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2AN1162N4）确定N 值250dB3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）6.6N海明窗带宽：5）确定FIR滤波器的h(n)( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616nnRnn6）求 ，验证()jH e若不满足，则改变N或窗形状重新设计4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通

22、FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。 |0 | 0e)e (cjjdcaHccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnn（2） 为了满足线性相位条件， 要求， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度 rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc（1） （3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg()关于=0, , 2三点偶对称， 可实

23、现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 5、线性相位FIR高通滤波器的设计()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通滤波器全通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：12N()0jjcdeHe其它理想高通的频响：5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为其它0 | e)e (jjdcaH（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位

24、脉 冲响应h(n)表达式， 确定与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？)(sin)(sin)(1cnananjjdd1( )(e ) ed2nh nH)()(sin)(cananan（1） 直接用IFTHd(ej)计算： h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(cnRnnnN（2） 为了满足线性相位条件： h(n)=h(N1n)要求满足12N（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足：, 即N40。 取N=41。N4106、线性相位FIR带通滤波器的设计1221()()1( )2jnjn

25、dh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 带通滤波器低通滤波器低通滤波器其单位抽样响应：120()0jjdeHe其它理想带通的频响：12N6 理想带通特性为 | |0 | e)e (cccjjdBBHa（1） 求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定N与之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有限制？为什么？7、线性相位FIR带阻滤波器的设计2112()()()1( )2jnjnjndh nededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()带阻

26、滤波器，高通滤波器+低通滤波器其单位抽样响应：12N120,()0jjdeHe 其它理想带阻的频响：三、频率抽样设计法 1、设计方法 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN( )h n( )H z()jH e10()( )()Njj njdnH eh n eHe1( )()2jj nddh nHeed( )( )( )dh nw n h n窗函数设计法：1101( )( )1NNkkNzH kH zNWz 102NjkH eH kkN12sin12( )sin2NjNeN 11(1)20sin21sin2

27、kNNjNjjNkkNNH eeH kekNN内插公式： 抽样点上，频率响应严格相等n抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 n变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小1、线性相位的约束1）h(n)偶对称，N为奇数 12NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH幅度偶对称：1 2112kNkkNN 相位函数：2kN 设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c，采样点数N，Hg(k)和(k)用下面公式计算： N=奇数时，( )()1,0,1,2,( )0,1,2,11( ),0,1,2,1ggcgcccHkHNkkkHkkkkNkNkk kNN (7.3.1

28、3)2）h(n)偶对称，N为偶数12()( )NjjH eHe( )(2)HH 2kjkjNkH kH eH ekN kHH 幅度奇对称：11kkN 相位函数：2kN N=偶数时， ( )1,0,1,2,( )0,1,2,1()1,0,1,2,1( ),0,1,2,1gcgcccgcHkkkHkkkkNkHNkkkNkk kNN (7.3.14) 2. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为Hd(ej),对应的单位取样响应为hd(n)，1( )()2jj nddh nHeed 则由频率域采样定理知道，在频域02之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期，周期性延

29、拓乘以RN()，即( )()( )dNrh nh nrN Rn 由采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，其Z变换H(z)和H(k)的关系为120110121( )( )12()( )()1 sin(/2)( )sin(/2)N NjkNNjkNjzH kH zNezH eH kkNNeN 图7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点 频率响应：12(0) sin2sin2NjjNHH eeN 1sinsin22sinsin22MkkkNNH kNNkkNNN 12NM当N为奇数时：12NM 当N为偶数时： 增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽n增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了计算量n优点：频域直接设计n缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍， 截止频率 不能任意取值2 /