人教A版数学空间向量与平行、垂直关系课时作业

1、课时作业 18空间向量与平行、垂直关系|基础巩固|(25 分钟，60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1若直线 l 的一个方向向量为 a(1,0,2)，平面  的一个法向量为 n(2,0,4)，则()AlBlClDl 与  斜交n解析：a(1,0,2)， (2,0,4)，n2a，na，l.答案：B2已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个法向

2、量是()A(1,1，1)B(1，1,1)C(1,1,1)D(1，1，1)解析：AB(1,1,0)，AC(1,0,1)ìxy0，设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，则有íîxz0，取 x1，则 y1，z1.故平面 ABC 的一个法向量是(1，1，1)答案：D3设平面  的一个法向量为(1,2，2)，平面  的一个法向量为(2，4，k)，若 ，则 k()A2B4C4D2解析：，存在实数 ，使(1,2，2)(2，4，k)，

3、k4.答案：C4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为A1B，AC 的中点，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析：建系如图，设正方体的棱长为 2，则 A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，M(2,1,1)，N(1,1,2)，MN(1,0,1)又平面 BB1C1C 的一个法向量为 n(0,1,0)，1×00×11×00，M

4、Nn，MN平面 BB1C1C.故选 B.答案：B5如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别在21A1D，AC 上，且 A1E3A1D，AF3AC，则()AEF 至多与 A1D，AC 之一垂直BEFA1D，EFACCEF 与 BD1 相交DEF 与 BD1 异面   ç÷ç÷çA 0，2， 8  ，B

5、 1，1，8 ，C 2，1，8÷是平面ìa· AB0，AC0，îa·  7若æ               æ7ö                &#

6、230;7ö解析：以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 3，则 A(3,0,0)，CDDAEFB(3,3,0)， (0,3,0)， (0,0,0)， 1(0,0,3)， 1(3,0,3)， (1,0,1)， (2,1,0)，所以EF(1,1，1)，BD1(3，3,3)，A1D(3,0，3)，AC(3,3,0)， 因为EF· A1D3030， E

7、F· AC3300，BD13EF，所以 EFA1D，EFAC，EFBD1.故选 B.答案：B二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6若直线 l1 的方向向量为 a(1,2，2)，直线 l2 的方向向量为 b(2,3，m)，若 l1l2，则 m_.解析：由 l1l2 知，a· b0，即 1×(2)2×3(2)×m0，解得 m2.答案：2æ

8、;æ19ö5ö5öèøèøèøy  z内三点，设平面  的法向量为 a(x，)，则 xyz_.è1，3，4ø，ACè2，1，4ø解析：ABç÷ç÷，由íìx3y7z0，íî2xy74z0.4得解得ìx2y，í 34îz3y.2æ4 öè3y

9、ø则 xyz3yyç÷23(4)答案：23(4)8已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB(2，1，4)，AD(4,2,0)，AP(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；AP是平面 ABCD 的法向量；APBD.其中正确的是_(填序号) 解析： 由于AP· AB1×2(1)×2(4)×(1)0， AP· AD4×(1)2×20×(1)0.所以

10、正确答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)11，9 四边形 ABCD 是直角梯形， ABC90° SA平面 ABCD，SAABBC2，AD1.在如图所示的坐标系 Axyz 中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的一个法向量解析：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面 SAB，AD(1,0,0)是平面 SAB 的一个法向量设平面 SCD

11、 的法向量为 n(1，y，z)，则 n· DC(1，y，z)·(1,2,0)12y0，y2.又 n· DS(1，y，z)·(1,0,2)12z0，z2.æ11öè1，2，2ø即为平面n ç÷SCD 的一个法向量10如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC90°，BC2，CC14，EB11，D，F，G 分别为 CC1，B1C1，A1C1的中点(1)求证：B1

12、D平面 ABD；(2)求证：平面 EGF平面 ABD.证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系 B1xyz，设 A1(a,0,0)，则 C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，æaöè         øA(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，Gç2，1，0÷，所以B1D(0,2,2)，AB(a,0,0)，BD(0,2，2)， 所以B1D·

13、; AB0000， B1D· BD0440，所以 B1DAB，B1DBD，又 ABBDB，所以 B1D平面 ABD.(2)因为AB(a,0,0)，BD(0,2，2)，æ  a     ö  è2，0，0øGFç÷，EF(0,1，1)所以易知GFAB，EFBD，所以 GFAB，EFBD，又 GFEFF，ABBDB，所以平面 EGF平面

14、60;ABD.|能力提升|(20 分钟，40 分)F当11如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是CD 的中点， 是 AD 上一点， BFPE 时，AFFD 的值为()A12B11C31D21æ1       ö解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为 1，æ1öè   

15、0;     øPAa，则 B(1,0,0)，Eç2，1，0÷，P(0,0，a)设点 F 的坐标为(0，y,0)，è2，1，aø则BF(1，y,0)，PEç÷.因为 BFPE， 所以BF· PE0，11解得 y2，即点 F 的坐标为(0，2，0)，所以 F 为 AD 的中点，所以 AFFD11.故选 B.答案：B12在

16、直角坐标系 O-xyz 中，已知点 P(2cosx1,2cos2x2,0)和点 Q(cosx，1,3)，其中 x0，若直线 OP 与直线 OQ 垂直，则 x 的值为_ 解析：由 OPOQ，得OP· OQ0.即(2cosx1)·cosx(2cos2x2)·(1)0.1cosx0 或 cosx2.x0，x2或 x3.答案：2或313如图，在四棱锥 E-ABCD 中，AB平面

17、0;BCE，CD平面 BCE，ABBCCE2CD2，BCE120°.求证：平面 ADE平面 ABE.证明：取 BE 的中点 O，连接 OC，则 OCEB，又 AB平面 BCE，以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz.如图所示则由已知条件有 C(1,0,0)，E(0， 3，0)，D(1,0,1)，A(0，3，2)设平面 ADE 的法向量为 n(a，b，c)，则 n· EA(

18、a，b，c)·(0,2 3，2)2 3b2c0，n· DA(a，b，c)·(1， 3，1)a 3bc0.令 b1，则 a0，c 3，n(0,1， 3)，又 AB平面 BCE，ABOC，OC平面 ABE，平面 ABE 的法向量可取为 m(1,0,0)n· m(0,1， 3)· (1,0,0)0，nm，平面 ADE平面 ABE.14如图所示，四棱锥&#

19、160;SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的点(1)求证：ACSD.(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得BE平面 PAC.若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由解析：(1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，则 ACBD.由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为

20、坐标原点，OB，OC，OS分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图6设底面边长为 a，则高 SO 2 a，ææ6 ö2öæ 2ö2øè0，0，a÷ ， D è 2 a，0，0ø ， B èø于 是 S çç÷&

21、#231; 2 a，0，0÷ ，Cç0，  a，0÷，22OCç0，  a，0÷，2æ    2         6  ö2 a，0， 2 a÷øæ2öèøæöèøSDçè 则OC· SD0.，6  ö       &#