《中考课件初中数学总复习资料》2020年中考数学一轮复习培优训练：《四边形》

1、2020年中考数学一轮复习培优训练：四边形1如图1，已知等腰rtabc中，e为边ac上一点，过e点作efab于f点，以为边作正方形，且ac3，ef（1）如图1，连接cf，求线段cf的长；（2）将等腰rtabc绕点旋转至如图2的位置，连接be，m点为be的中点，连接mc，mf，求mc与mf关系2如图将正方形abcd绕点a顺时针旋转角度（0°90°）得到正方形abcd（1）如图1，bc与ac交于点m，cd与ad所在直线交于点n，若mnbd，求；（2）如图2，cb与cd交于点q，延长cb与bc交于点p，当30°时求daq的度数；若ab6，求pq的长度3在菱形abcd中，

2、abc60°，点p是对角线bd上一动点，将线段cp绕点c顺时针旋转120°到cq，连接dq（1）如图1，求证：bcpdcq；（2）如图2，连接qp并延长，分别交ab、cd于点m、n求证：pmqn；若mn的最小值为2，直接写出菱形abcd的面积为 4如图，在梯形abcd中，adbc，c90°，ad2，bc5，dc3，点e在边bc上，tanaec3，点m是射线dc上一个动点（不与点d、c重合），联结bm交射线ae于点n，设dmx，any（1）求be的长；（2）当动点m在线段dc上时，试求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当动点m运动时，直线bm与直线a

3、e的夹角等于45°，请直接写出这时线段dm的长5如图1，已知直角梯形abco中，aoc90°，abx轴，ab6，若以o为原点，oa，oc所在直线为y轴和x轴建立如图所示直角坐标系，a（0，a），c（c，0）中a，c满足|a+c10|+0（1）求出点a、b、c的坐标；（2）如图2，若点m从点c出发，以2单位/秒的速度沿co方向移动，点n从原点出发，以1单位/秒的速度沿oa方向移动，设m、n两点同时出发，且运动时间为t秒，当点n从点o运动到点a时，点m同时也停止运动，在它们的移动过程中，当2sabnsbcm时，求t的取值范围：（3）如图3，若点n是线段oa延长上的一动点，nch

4、koch，cnqkbnq，其中k1，nqcj，求的值（结果用含k的式子表示）6在等边三角形abc中，点d是bc的中点，点e、f分别是边ab、ac（含线段ab、ac的端点）上的动点，且edf120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当deb90°时，be+cfnab，则n的值为 ；问题再探：（2）如图2，在点e、f的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：de始终等于df；be与cf的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明成果运用（3）若边长ab8，在点e、f的运动过程中，记四边形deaf的周长为l，lde+ea+af+fd，则周长l取最大值

5、和最小值时e点的位置？7实践与探究在平面直角坐标系中，四边形aobc是矩形，点o0，0），点a（5，0），点b（0，3）以点a为中心，顺时针旋转矩形aobc，得到矩形adef，点o，b，c的对应点分别为d，e，f（1）如图，当点d落在bc边上时，求点d的坐标；（2）如图，当点d落在线段be上时，ad与bc交于点h求证：adbaob；求点h的坐标8实践与探究在综合实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的探究如图1，abcdef，其中acb90°，a30°，ab4（1）请直接写出ef ；（2）新星小组将这两张纸片按如图2所示的方式放置后，经过观察发

6、现四边形acbf是矩形，请你证明这个结论（3）新星小组在图2的基础上，将def纸片沿ab方向平移至如图3的位置，其中点e与ab的中点重合，连接ce，bf请你判断四边形bcef的形状，并证明你的结论9（1）如图1，在四边形abcd中，abad，b+d180°，e，f分别是边bc，cd上的点，且eafbad，则be，ef，df之间的数量关系是 （2）如图2，若e，f分别是边bc，cd延长线上的点，其他条件不变，则be，ef，df之间的数量关系是什么？请说明理由（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（o处）北偏西30°的a处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的b处

7、，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达e，f处，且两舰艇与指挥中心o连线的夹角eof70°，试求此时两舰艇之间的距离10平面直角坐标系中，a（a，0），b（b，b），c（0，c），且满足： +（2bac）2+|bc|0，e、d分别为x轴和y轴上动点，满足dbe45°（1）求a、b、c三点坐标；（2）如图1，若d为线段oc中点，求e点坐标；（3）当e，d在x轴和y轴上运动时，试探究cd、de和ae之间的关系11【

8、操作】如图，在矩形abcd中，e为对角线ac上一点（不与点a重合）将ade沿射线ab方向平移到bcf的位置，e的对应点为点f，易知adebcf（不需要证明）【探究】过图的点e作bgbc交fb延长线于点g，连结ag，其它条件不变，如图求证：egabcf【拓展】将图中的bcf沿bc翻折得到bcf，连结gf，其它条件不变，如图当gf最短时，若ab4，bc2，直接写出ff的长和此时四边形bfcf的周长12如1，在矩形abcd中，ab6，ad10，e为ad上一点且ae6，连接be（1）将abe绕点b逆时针旋转90°至abf（如图2），且a、b、c三点共线，再将abf沿射线bc方向平移，平移速度

9、为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t0），当点a与点c重合时运动停止在平移过程中，当点f与点e重合时，t （s）在平移过程中，abf与四边形bcde重叠部分面积记为s，求s与t的关系式（2）如图3，点m为直线be上一点，直线bc上有一个动点p，连接dm、pm、dp，且em5，试问：是否存在点p，使得dmp为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段bp的长；若不存在，请说明理由13在四边形abcd中，adbc，abcd（1）如图1，连接ac，求证：abcd；（2）如图2，在cb的延长线上取一点m，连接dm，在dm上取一点l，连接bl，当cbl2m时，求证：lbmb；（3）如图3，在（2）条件

10、下，ce平分acb交dm于e点，连接ae，当aece，bl8时，求ac的长14阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边abc中，m是bc边上一点（不含端点b，c），n是abc的外角ach的平分线上一点，且ammn求证：amn60°点拨：如图2，作cbe60°，be与nc的延长线相交于点e，得等边bec，连结em，易证abmebm（ ），可得amem，12；又ammn，则emmn，可得 ；由3+14+560°，进一步可得12 又因为2+6120，所以5+6120°，所以amn60°问题：如图3，四

11、边形abcd的四条边都相等，四个角都等于90°，m是bc边上一点（不含端点b，c），n是四边形abcd的外角dch的平分线上一点，且ammn求amn的度数15在平面直角坐标系xoy中，四边形oadc为正方形，点d的坐标为（4，4），动点e沿边ao从a向o以每秒1cm的速度运动，同时动点f沿边oc从o向c以同样的速度运动，连接af、de交于点g（1）试探索线段af、de的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接ef、df，分别取ae、ef、fd、da的中点h、i、j、k，则四边形hijk是什么特殊平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由（3）如图当点e运动到ao中点时，点m是直线ec上

12、任意一点，点n是平面内任意一点，是否存在点n使以o，c、m、n为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点n的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）如图1，abc是等腰直角三角形，ac3，ab3，过点c作cmab于m，连接cf，cmamab，四边形agef是正方形，afef，mfamaf，在rtcmf中，cf；（2）cmfm，cmfm，理由：如图2，过点b作bhef交fm的延长线于h，连接cf，ch，bhmefm，四边形agef是正方形，efaf点m是be的中点，bmem，在bmh和emf中，bmhemf（aas），mhmf，bhefaf四边形agef是正方形，fag90°，e

13、fag，bhef，bhag，bag+abh180°，cbh+abc+bac+cag180°abc是等腰直角三角形，bcac，abcbac45°，cbh+cag90°，cag+caf90°，cbhcaf，在bch和acf中，bchacf（sas），chcf，bchacf，hcfbch+bcfacf+bcf90°，fch是等腰直角三角形，mhmf，cmfm，cmfm；2解：（1）如图1中，mnbd，cmncbd45°，cnmcdb45°，cmncnm，cmcn，cbcd，'mbnd，abad，abmadn90&

14、#176;，abmadn（sas），bamdan，bad90°，man45°，bamdan22.5°，bac45°，bab22.5°，22.5°（2）如图2中，abqadq90°，aqaq，abad，rtaqbrtaqd（hl），qabqad，bab30°，bad90°，bad30°，qadbad30°如图2中，连接ap，在ab上取一点e，使得aeep，连接ep设pbaabpabp90°，apap，abab，rtapbrtapb（hl），bappab15°，eaep

15、，eapepa15°，bepeap+epa30°，peae2a，bea，ab6，2a+a6，a6（2）pb6（2），pcbcpb66（2）66，cpq+bpb180°，bab+bpb180°，cpqbab30°，pq1223（1）证明：四边形abcd是菱形，bcdc，abcd，pbmpbcabc30°，abc+bcd180°，bcd180°abc120°由旋转的性质得：pcqc，pcq120°，bcddcq，bcpdcq，在bcp和dcq中，bcpdcq（sas）；（2）证明：由（1）得：bcp

16、dcq，bpdq，qdcpbcpbm30°在cd上取点e，使qeqn，如图2所示：则qenqne，qedqncpmb，在pbm和qde中，pbmqde （aas），pmqeqn解：由知pmqn，mnpqpc，当pcbd时，pc最小，此时mn最小，则pc2，bc2pc4，菱形abcd的面积2sabc2××428；故答案为：84解：（1）如图1中，作ahbc于h，adbc，c90°，ahccd90°，四边形ahcd是矩形，adch2，ahcd3，tanaec3，3，eh1，ce1+23，bebcce532（2）延长ad交bm的延长线于gagbc，d

17、g，ag2+，y（0x3）（3）如图31中，当点m在线段dc上时，bneabc45°，ebneab，eb2enae，解得x如图32中，当点m在线段dc的延长线上时，anbabe45°，bnaeba，ab2aean，（3）2+解得x13，综上所述dm的长为或135解：（1）|a+c10|+0，a+c100，且c70，c7，a+c10，c3，a（0，3），c（7，0），abx轴，ab6，b（6，3）；（2）a（0，3），c（7，0），oa3，oc7，由题意得：ont，cm2t，an3t，2sabnsbcm，2××（3t）×6×2t

18、5;3，解得：t2，当点n从点o运动到点a时，点m同时也停止运动，0t3，t的取值范围为2t3；（3）设ab与cn交于点d，如图3所示：aboc，bdcocd，bdcbnd+abn，cnqkbnq，nchkoch，bdc（k+1）bnq+abn，ocd（k+1）och，（k+1）bnq+abnocd（k+1）och，abn（k+1）och（k+1）bnq（k+1）（ochbnq），nqcj，ncjcnqkbnq，hcj+ncjnchkoch，hcjkochncjkochkbnqk（ochbnq），6解：（1）abc是等边三角形，bc60°，abbc，点d是bc的中点，bdcdbcab

19、，deb90°，bde90°b30°，在rtbde中，bebd，edf120°，bde30°，cdf180°bdeedf30°，c60°，dfc90°，在rtcfd中，cfcd，be+cfbd+cdbcab，be+cfnab，n，故答案为：；（2）如图2，连接ad，过点d作dgab于g，dhac于h，dgbagd90°，abc是等边三角形，bac60°，gdh360°agdahda120°，edf120°，edgfdh，abc是等边三角形，d是bc的中点，

20、badcad，dgab，dhac，dgdh，在edg和fdh中，edgfdh（asa），dedf，即de始终等于df；同（1）的方法得，bg+chab，由知，edgfdh，egfh，be+cfbgeg+ch+fhbg+chab，be与cf的和始终不变；（3）由（2）知，dedf，be+cfab，ab8，be+cf4，四边形deaf的周长为lde+ea+af+fdde+abbe+accf+dfde+abbe+abcf+de2de+2ab（be+cf）2de+2×842de+12，de最大时，l最大，de最小时，l最小，当deab时，de最小，此时，bebd2，当点f和点c重合时，de最

21、大，此时，bde180°edf120°60°，b60°，bde是等边三角形，bebd4，综上所述，周长l取最大值时，be4，周长l取最小值时，be27解：（1）a（5，0），b（0，3），oa5，ob3，四边形aobc是矩形，obac3，oabc5，c90°，矩形adef是由矩形aobc旋转得到的，adoa5，在rtacd中，cd4，bd541，d（1，3）；（2）由旋转可知，oada，aobade90°，aobadb90°，在rtaob与rtadb中，rtadbrtaob（hl）；adbaob，bdboac，在bdh与ac

22、h中，bdhach（aas），dhch，dh+ahad5，ch+ah5，设chx，则ah5x，在rtach中，（5x）2x2+32，解得，x，bh5，点h的坐标为（，3）8（1）解：abcdef，abde4，da30°，acbdfe90°，efde2；故答案为：2；（2）证明：abcdef，acdfbf，bcefaf，在四边形acbf中，acbf，bcaf，四边形acbf是平行四边形，acb90°，四边形acbf是矩形；（3）解：四边形bcef是菱形；理由如下：由（2）可知：四边形acbf是平行四边形，efbc，efbc，def是沿ab方向平移的，efbc，efb

23、c，四边形bcef是平行四边形，点e是ab的中点，acb90°，ceab2，ceef2，四边形bcef是菱形9解：（1）延长fd到点g，使dgbe，连结ag，如图1所示：在abe和adg中，abeadg（sas），aeag，baedag，eafbad，gafdag+dafbae+dafbadeafeaf，在aef和gaf中，aefagf（sas），effg，fgdg+dfbe+df，efbe+df，故答案为：efbe+df；（2）be，ef，df之间的数量关系是：efbedf；理由如下：在cb上截取bmdf，连接am，如图2所示：b+d180°，adc+adf180

24、6;，badf，在abm和adf中，abmadf（sas），afam，dafbam，badmaf，bad2eaf，maf2eaf，maeeaf，在fae和mae中，faemae（sas），efembebmbedf，即efbedf；（3）连接ef，延长ae、bf相交于点c，如图3所示：aob30°+90°+（90°70°）140°，eof70°，eofaob，oaob，oac+obc（90°30°）+（70°+50°）180°，符合（1）中的条件，即结论efae+bf成立，ef1.5&#

25、215;（60+80）210（海里）答：此时两舰艇之间的距离是210海里10解：（1）+（2bac）2+|bc|0，a4，bc，2bac0，b4，c4，点a（4，0），点b（4，4），点c（0，4）；（2）如图1，将bcd绕点b逆时针旋转90°得到bah，点a（4，0），点b（4，4），点c（0，4），oaocbcab4，d为线段oc中点，cddo2，将bcd绕点b逆时针旋转90°得到bah，bcdbah，bdbh，cbdhba，cdah2，dbe45°，cbd+eba45°，eba+abh45°hbedbe，且bdbh，bebe，dbehbe

26、（sas）deeh，ohoa+ah4+26，deeh6oe，de2od2+oe2，（6oe）24+oe2，oe，点e坐标为（，0）；（3）如图1，若点e在x轴正半轴，点d在y轴正半轴上，由（2）可知：deeh，ahcd，deae+ahae+cd，如图2，点e在x轴负半轴，点d在y轴正半轴，将bcd绕点b逆时针旋转90°得到bah，bcdbah，dbh90°，bdbh，cbdhba，cdah，dbe45°，dbe45°hbe，且bdbh，bebe，dbehbe（sas）deeh，aeah+ehcd+de；如图3，点e在x轴正半轴，点d在y轴负半轴，将bcd

27、绕点b逆时针旋转90°得到bah，bcdbah，dbh90°，bdbh，cbdhba，cdah，dbe45°，dbe45°hbe，且bdbh，bebe，dbehbe（sas）deeh，cdahae+ehae+de11解：【探究】由平移可知：aebf，aebf，cbfacb，四边形abcd是矩形，adbc，egbc，aegacb，aegcbf，gebc，acbg，四边形egbc是平行四边形，egbc，egabcf（sas）【拓展】如图3中，连接bd交ac于点o，作bkac于k，fhbc于h四边形abcd是矩形，abc90°，ab4，bc2，ac2

28、，abcbacbk，bk，ok，由题意四边形agfc是平行四边形，gfac2，bfbf，可以假设bfx，则bg2x，acgf，bokhbf，bkofhb90°，fhbbko，fhx，bhx，ghbgbh2xx2x，gf，0，当x时，gf的值最小，此时点f与o重合，可得ff4，四边形bfcf的周长为412解：（1）如图1中，连接ef由题意efabbf6，t6时，点f与点e重合，故答案为6如图21中，当0t6时，重叠部分是bmb，st2如图22中，当6t10时，重叠部分是afb，s×6×618如图23中，当10t16时，重叠部分是amc，s（16t）2，综上所述，s（

29、2）如图3中，总mhad于h，交bc于gabae6，a90°，be6，em5，bm，bgmgah1，hmhe5，dhadah9，dm，当dmdp时，可得cp1cp2，bp110，bp210+当mdmp时，可得gp3gp4，bp31，bp4+1，当pmpd时，设gp5x，则，解得x，bp51+13解：（1）证明：在adc与cba中，adccba（sss），acdbac，abcd；（2）cblm+blm，cbl2m，m+blm2m，mblm，bmbl；（3）延长ae交cm于h，ce平分acb交dm于e点，acehce，aece，aechec90°，在ace与hce中，acech

30、e（asa），aeeh，acch，adcm，adem，在ade与hme中，adehme（aas），adhm，adbc，hmbc，chbm，bl8，chbm8，acch814解：点拨：如图2，作cbe60°，be与nc的延长线相交于点e，得等边bec，连结em，易证abmebm（sas），可得amem，12；又ammn，则emmn，可得34；由3+14+560°，进一步可得125又因为2+6120，所以5+6120°，所以amn60°问题：延长ab至e，使ebab，连接emc、ec，如图所示：则ebbc，ebm中90°abm，ebc是等腰直角三角形，becbce45°，n是正方形abcd的外角dch的平分线上一点，mcn90°+45°135°，bce+mcn180°，e、c、n，三点