新人教版七年级下册数学平方根教案

1、如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人：张剑峰课题6.1平方根（第1课时）【教学目标】1.通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念;2.会求非负数的算术平方根并会用符号表示.【教学重点】算术平方根的概念和求法【教学难点】算术平方根的求法集体智慧【活动方案】个性调整情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想小,一一一一一一 2裁出一块卸积为25dm的止万形回布，回上自己得意的作品参加比赛，这块止方形回布的边长应取多少？活动一认识算术平方根1 .探索：学生能根据已有的知识即止方形的面积公式：边长的平方等方面积，求出止方形回布的边长为5dm。接下来教师可以再深入地引导此问题：如

2、果止方形的面积分别是 1、9、16、36、-4 ,25那么止方形的边长分别是多少呢？2学生会求出边长分别是 1、3、4、6、工，接卜5来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有关同点 吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结 不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。2 .归纳：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x的平方等于a,即x2=a 那么这个正数x叫做a的算术平方根。算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为 后,读作“根号a”或“二 次很号a”，a叫做被开方数。活动二求非负数的算术平方根例1、求下列各数的算术平方根：497 100(3)1-

3、 0.0001 0649解：因为102 100，所以100的算术平方根是10,即加0 10;7 2 4949 , 一、，7因为(7)2 型，所以竺 的算术平方根是 7 ,864648即隹76 648因为1' ,()2,所以1的算术平方根99 399因为0.0120.0001 ,所以0.0001的算术平方根是 0.01 ,即0.00010.01 ;因为020 ,所以0的算术平方根是0 ,即 40 0。注：根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成 假分数，然后根据定义去求解；0的算术平方根是0.由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能

4、求出一1,-36, - 100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有 1个；0的算术平方根是0;负数没有算术平方根.即：只有非负数有算术平方根，如果x ja有意义,那么a 0,x 0.注：a 0且Ji 0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。例2、求下列各式的值：(1) 414(2)棉 3 3) J( 11)2 (4) V62分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。解：(1) <42产7 ,819(3) 7( 11)2<11211(4) V62 6例3、求下列各数的算术平方根： 32 43(3)( 10)2解：

5、(1)因为329,所以V32(4)1106V93；因为 43 64 82,所以 v143 V64 8；因为(10)2100 102,所以 J( 10)2痴0 10；根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：1、由 V32 3,府 6,可得 J丁 a(a 0)2、由 « 11)2 11, J( 10)2 10,可得、a2 a(a 0)教师需强调a 0时对两种情况都成立.课堂小结：1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根？【课堂检测】1 .算术平方根等于本身的数有.2 .求下列各式的值.行，磺,右，(7：3 .求下列各数的算术平方根.2

6、1 290.0025, 121,42,( 一) , 12164.已知Ja 1 vb 10,求a 2b的值.课题6.1平方根（第2课时）【教学目标】1.了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题；2.通过探究22的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想.【教学重点】 认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。【教学难点】 认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。集体智慧【活动方案】个性调整39活动一讨论22的大小怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？如图，把两个小正方形沿对角圆剪开，将所得前4个直角三角形拼在一起，就得到一

7、个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为x ,则x22 ,由算术平方根的意义可知x 亚, 所以大正方形的边长为 22。由上面的实验我们认识了 J2 ,它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论22的大小。因为 121,224, 12 <2 <22,所以 1<“'2 <2.因为 1.42 1.96, 1.522.25 ,所以 1.4v J2 V1.5。因为 1.4121.9881, 1.4222.0164 ,所以 1.41 v<2 v 1.422 2因为 1.4141.999396, 1.4152.002225

8、 ,所以 1.414 v 盘 v 1.415如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且 小数部分不循环，像这样的数我们成为无限/、循环小数。%泛=1.41421356注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的 数学思想，学生 A次接触，不好理解，教师在讲解 时速度要放慢，可能需要讲两遍。0=1.41421356,是个无限/、循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还启很多，比如J3,J5,J7等，圆周率兀也是一个无限/、循环小数。活动二探索规律大多数计算器都有“键，用它可以求出一 个有理数的算术平方根或近似值。例1、用计算器求下列各式的值：（1）y;3136 ; （2）

9、2 （精确到 0.001）解：（1）依次按键年厂3136 ,显示：56.所以痴36 56 依次按键，2=,显示：1.414213562,这是一个近似值。所以 J2 1.414.注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。例2用计算器计算 近, 而正，J300 ,J30000的近似值.写出你发现的规律.你能利用发现的规律写出痴的值吗？学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：0.25,0.791,2.5,7.91,25,79.1,250。从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。由J3 1.732可得J0.03 0.1732,300 17.32, J3

10、0000173.2,由J3的值不能求出J30的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小 10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律 求出。此题学生可独立完成。活动三实际应用：例1小丽想用一块面积为 400cm2的止方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为 3:2,不知道能否裁出来， 正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面 积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的 说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片 吗？分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片 裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错

11、 误的认识。解：设长方形纸片的长为 3xcm,宽为2xcm。根据边长与面积的关系可得：3x 2x 300,6x2 300, x2 50, x 痴长方形纸片的长为 3，50cm。因为50 > 49 ,所以 <50 > 7 ,从而 3V50 > 21即长方形纸片的长应该大于 21cm,而已知正方 形纸片的边长只有 20cm,这样长方形纸片的长将大 于止方形纸片的边长。答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方 形纸片裁出符合要求的长方形纸片。课堂小结：1 .被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也 相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来 求出算术平方根的近似值；2

12、 .利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近 似值；3 .被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大 （或缩小）的规律是怎样的呢？4 .怎样的数是无限不循环小数？课堂检测1.估计大小：（1）、140 与 12 21_2与0.522.已知 J21.414求 J002 , <,0.0002 , Vf200 ,V 20000 的值。课题6.1平方根（第3课时）【教学目标】1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；2. 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根【教学重点】 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系【教学难点】 平方根与算术平方根的区

13、别和联系集体智慧【活动方案】个性调整活动一思考归纳，引入概念如果一个数的平方等于 9,这个数是多少？学生思考阱讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和一3。受前面知识的影响学生可能不易想到-3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数。注意（一3） 2=9中括号的作用。又如：x2=A，则x等于多少呢？25使学生完成课本165页的填表练习。填表：2 x1163649425x给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即：如果 x2=a,那么x叫做a的平方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方。例如：土 3的平方等于9, 9的平方根是土 3,所以平方与开平 方互为逆

14、运算。观察：课本45页中的图6. 1 2。图6. 12中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算 过程，揭示了开平方运算的本质。让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出 1,4, 9的平方根。注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方 根的符号，给出的数是完全平方数。例1 （课本45页的例4）求卜列各数的平方根：2（1） 100; （ 2） 16 ； （3） 0. 25.建议：教师要规范书写格式。活动二讨论归纳，深化概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？建议：可引导学生通过观察 x2 = a中的a和

15、x的取值范围和取 值个数得出。注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正 数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过 去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方 根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情 况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到（0作除数的情况除外）。教学时，可以通过较多实例说明这两点，并 在本节以后的教学中继续强化这两点。引入符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用 ja表示。例如思考：人表示什么意思，这里的 x可取什么样的数呢？而对于一又该怎样理解呢？这里的 x又可取什么样的数呢？活

16、动三应用知识例2 下列各式是否有意义，为什么？（1） J3 ；（2）1 3 ；（3）q（3）2；（4）J2.10例3下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有,说明理由。 64, 0, （ 4） 2, 10 2 如果有要用平方根的符号来表示。 例4 求下列各式的值：（1）736；（2） 而81 ；（3） 产.v 9建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概 念的格式书写解题格式.平方根和算术平方根的概念是本章重点内 容，两者既有区别又有联系。区别在于正数的平方根有两个，而它 的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方 根的相反数，根据它的算术平方根可以

17、立即写出它的负平方根，因 此我们可以利用算术平方根来研究平方根。小结：什么叫做一个数的平方根？正数，0,负数的平方根有什么规律？怎样求出一个数的平方根？数a的平方根怎样表示？【课堂反馈】(1) 断下列说法是否正确：0的平方根是0;(2) 1的平方根是1;(3) -1的平方根是-1 ;(4) 0.01的平方根是 0.1的一个平方根2.填表:x8-835352 x160.363.计算下列各式的值:4.平方根概念的起源与几何中的正方形有关.如果一个正方形的面积为A,那么这个正方形的边长是多少？课题6.2立方根【教学目标】1.了解立方根的概念和表示方法；2 .会求一个数的立方根；3 .通过探讨一个数的

18、立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想【教学重点】立方根的概念和求法【教学难点】 立方根的求法。集体智慧【活动方案】个性调整情景引入：要制作一种容积为27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？活动一探索归纳认识立方根1 .探索：设这种包装箱的边长为 xm,则x327 ,这就是要求一个数，使它的立方等于27.因为33 27,所以x 3,即这种包装箱的边长应为 3m。2 .归纳：立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫 做a的立方根或二次方根。立方根的表示方法：如果x3 a ,那么x叫做a的立方根。

19、记作x Va , Va读作三次根号a。其中a是被开方数，3是根指数，3'a中的根指数3不能省略。开立方的概宓：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。3 .探索立方根的特点：根据立方根的意义填空，并思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？(1)因为23 8 ,所以8的立方根是;(2)因为()3 0.125 ,所以0.125的立方根是;(3)因为()3 0 ,所以0的立方根是；（4）因为（）38,所以 8的立方根是 ；（5）因为（）3-8-,所以-8的立方根是2727学生独立完成后，教师要引导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的

20、特点。归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.4 .探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：因为3/8, V8 ，所以厂8 配；因为 3727 , V27 ，所以 厂27 3'27由上面两个例子可归纳出：一般地，va3/a o注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时,可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再确它的相反数。活动二应用新知解题例1求下列各式的值：(1) V64(2) V 125分析：根据立方根的意义求解。解：（1）幅 4(2) 3； 125(3)2764例2求下列各式中x的值:(1)x30.008(2)x33(3)(x 1)3分析：

21、此题的本质还是求立方根。解：(1) x30.0083 0.0080.2(2) x327(3) (x1)3例3用计算器计算Vw3310 3 , 310 6 的值,你发现了什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知为216 6,则处0.0002163 216000解：R10r 10 , v106 102, 3/109 103, 31P 103 1010由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。*0.0002160.06, 3/21600060。课堂小结1 .立方根和开立方的定义.2 .正数、0、负数的立方根的特征.3 .立方根与平方根的异同.1 .立方根等于本身白数

22、是 ；2 .如果 3/1 a 1 a,则 a .3 . J64的立方根是,(4)3的立方根是 - .4 .已知3x 16的立方根是4,求2x 4的算术平方根5 .已知 xy3 4 ,求 V(x 10)3 的值.6 .比较大小：(1)矽.2 立一"2.1 ,课题6.3实数（第1课时）【教学目标】1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2.知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系【教学重点】了解无理数和实数的概念【教学难点】对无理数的认识集体智慧【活动方案】个性调整活动一引入无理数3 47 9 5利用计算器把下列有理数 3, 3,上,上_,5写成小数的形式，它5 8 11 9们有什么特征

23、？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：3479533.0, 0.6,5,875 ,0.81,058119归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无 限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数 .比如J2, J5,3/3等都是无理数。3.14159265也是无理数。活动二认识实数1 .实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2 .实数的分类：按照定义分类如下：整数有理数 八皿（有限小数或无限循环 小数）实数分数无理数（无限/、循环小数）按照正

24、负分类如下：丁物止后理数正实数负无理数实数零行+册负有理数久“数负无理数3 .实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点表示出来吗？,5活动1:直径为1个单位长度的圆其周长为兀， 把这个圆放在数轴上， 圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点， 这个点的坐标就是兀，由此我们把无理数兀用数轴上的点表示了出 来。活动2:在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是 22以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 J2,与负半轴的交点就是J2。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上

25、表示出来，即数轴上有些点表示无理数。归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用 数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边 的点表示的实数大。活动三应用新知例1 下列实数中，无理数有哪些？22 , ,0.73, 3.14, V5 , 0, 10.12112111211112 ,17兀，（4）2解：无理数有：J2, 3/5,兀注：带根号的数不一定是无理数，比如乳 4）2 ,它其实是有理数4;无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。 比如 10.12112111211112。例2把无理数芯在数轴上表示出来

26、。分析：类比J2的表示方法，我们需要构造出长度为J5的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示J5。解：如图所示由勾股定理可知：OB 5 ,以原点。为圆心，以OB长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点C ,则点C就表示近。课堂小结【课堂检测】1 .判断下列说法是否正确：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上 所有的点都表示有理数；反过来，数轴上的所所有实数都可以用数轴上的点来表示, 有的点都表示实数。2 .把下列各数分别填在相应的集合里:有理数集合8,3 .比较下列各组实数的大小：(1)4,屈(2)兀，3.1416石2, I3手I3课题6.3实数（第2课时）【教学目标】1.掌握实数的相反数和绝对值；2 .掌握实数的运算律和运算性质 .3 .通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感