等值面与梯和通量与散学习教案

1、会计学1等值面与梯和通量与散等值面与梯和通量与散第一页，共16页。21.1.标量标量(bioling)(bioling)场的等值面场的等值面等值面等值面: : 标量标量(bioling)(bioling)场取得同一数值的点在空场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。间形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满标量场的等值面充满(chngmn)场所在的整个空间；场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。 等值面的特点等值面

2、的特点：意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。的分布状态。标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )第1页/共16页第二页，共16页。22. 方向方向(fngxing)导数导数意义：方向导数表示意义：方向导数表示(biosh)(biosh)场沿某方向的空间变化率。场沿某方向的空间变化率。00coscoscos|limMluuuuullxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：

3、方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。问题：在什么问题：在什么(shn me)(shn me)方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、第2页/共16页第三页，共16页。2梯度梯度(t d)的表达式：的表达式：zueueueuz1圆柱坐标系圆柱坐标系 ureurerueursin11球坐标系球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu意义：描述意义：描述(mio sh)(mio sh)标量场在某

4、点的最大变化率及其变化最大的方向标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luel第3页/共16页第四页，共16页。2标量标量(bioling)(bioling)场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量标量(bioling)(bioling)场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影

5、。梯度梯度(t d)的性质：的性质：梯度梯度(t d)(t d)运算的基本公式：运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第4页/共16页第五页，共16页。2 解解 (1) (1)由梯度由梯度(t d)(t d)计算公式，可求得计算公式，可求得P P点的梯度点的梯度(t d)(t d)为为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 ( x, y, z ) = x2y2z

6、描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee第5页/共16页第六页，共16页。2表征其方向的单位表征其方向的单位(dnwi)(dnwi)矢量矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2

7、)( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数(do sh)与梯度之间的关系式可知，沿el 方向的方向导数(do sh)为对于给定对于给定( (i dni dn) )的的P P 点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)12 21222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx第6页/共16页第七页，共16页。2而该点的梯度而该点的梯度(t d)(t d)值为值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，即最大的方

8、向导数，故的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 第7页/共16页第八页，共16页。2 1. 矢量矢量(shling)线线 意义：形象直观地描述了矢量意义：形象直观地描述了矢量(shling)场的空间分场的空间分 布状态。布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr第8页/共16页第九页，共16页。22. 矢量矢量(shling)场的通量场的通量 问题：如

9、何定量描述(mio sh)矢量场的大小？ 引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念(ginin)nddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF eS穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddn第9页/共16页第十页，共16页。20通过通过(tnggu)(tnggu)闭闭合曲面有净的矢量

10、合曲面有净的矢量线穿出线穿出0有净的矢有净的矢量量(shli(shling)ng)线线进入进入0进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量的矢量(shling)(shling)线相等线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第10页/共16页第十一页，共16页。23. 矢量矢量(shling)场的散度场的散度 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元

11、）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法(fngf)得到这一关系：得到这一关系：称为称为(chn(chn wi) wi)矢量场的散度。矢量场的散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0第11页/共16页第十二页，共16页。2圆柱圆柱(yunzh)(yunzh)坐标系坐标系)(sin1)(sinsin1)(122

12、FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系散度的表达式散度的表达式：散度的有关散度的有关(yugun)(yugun)公式：公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第12页/共16页第十三页，共16页。2直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系下散度表达式的推导系下散度表达式的推导 000000000,(,),22xxxxyzFxxF xy zFxy zx000000000,(,),22xxxxyzF

13、xxF xy zFxy zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后两侧由此可知，穿出前、后两侧(lin c)面的净通量值为面的净通量值为 不失一般性，令包围不失一般性，令包围(bowi)P点的微体积点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyPF第13页/共16页第十四页，共16页。2根据定义根据定义(dngy)，则得到直角坐标系中的散度，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为 同理，分析同理，分析(fnx)穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第14页/共16页第十五页，共16页。24. 散度定理散度定理(dngl)VSVFSFdd体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的