第讲 柱坐标和球坐标系三重积分的计算学习教案

1、会计学1第讲第讲 柱坐标和球坐标系三重柱坐标和球坐标系三重(sn zhn)积积分的计算分的计算第一页，共30页。 .,sin,coszzyx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标如图，三坐标(zubio)面分面分别为别为为常数为常数 为常数为常数z为常数为常数 圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),( P zxyzo第1页/共30页第二页，共30页。 dvzyxf),(.),sin,cos( dzddzf drxyzodzdr rd柱坐标系中的体积柱坐标系中的体积(tj)元元素：素：,dzdddv d d第2页/共30页第三页，共30页。注注1

2、 1：2.适用范围：积分域表面用柱面坐标表适用范围：积分域表面用柱面坐标表示示(biosh)时方程简单时方程简单 ; 或被积函数用或被积函数用柱面坐标表示柱面坐标表示(biosh)时变量互相分离时变量互相分离.1.积分积分(jfn)顺序：先对顺序：先对 ,再对再对 ，最，最后对后对 z 第3页/共30页第四页，共30页。其中(qzhng)为由zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围所围及平面(pngmin)2axyzozvdddd cos202d dcos342032 a 20d azz0dzzddd2 原式原式298a 柱面柱面解解: 在柱面坐标系下:cos2020a

3、z 0cos2成半圆柱体成半圆柱体.第4页/共30页第五页，共30页。解解由由 zzyx sincos, zz34222 ,3, 1 z知交知交(zhjio)线线为为第5页/共30页第六页，共30页。 23242030 zdzddI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 ，z练习： 计算三重积分,1ddd22yxzyxzyx4221 z所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面45ln54 答案：答案：第6页/共30页第七页，共30页。的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点

4、点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(4. 利用球坐标(zubio)计算三重积分第7页/共30页第八页，共30页。Pxyzo),(zyxMr zyxA,r 0.20 ,0 规定规定(gudng)：第8页/共30页第九页，共30页。如图，三坐标如图，三坐标(zubio)面分面分别为

5、别为为为常常数数r为为常常数数 为为常常数数 圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面第9页/共30页第十页，共30页。 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标球面坐标与直角坐标(zh jio zu bio)的关系为的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则第10页/共30页第十一页，共30页。 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球坐标系中的体积球坐标系中的体积(tj)(t

6、j)元元素素: :,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr第11页/共30页第十二页，共30页。注注2:2:2.适用范围：积分域表面用球面坐标适用范围：积分域表面用球面坐标表示时方程简单表示时方程简单; 或被积函数或被积函数(hnsh)用球面坐标表示时变量互相分离用球面坐标表示时变量互相分离.1.积分顺序积分顺序(shnx)：先对：先对 ,再对再对 ，最后对最后对 r 第12页/共30页第十三页，共30页。,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx所围立体所围立体(lt).其中(qzhng) 与球面与球面dddsind2rrv zyx

7、zyxddd)(222Rrr04d)22(515R40dsin20d解解: 在球面坐标系下:40Rr 020 xyzo4Rr 第13页/共30页第十四页，共30页。解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar第14页/共30页第十五页，共30页。 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 第15页/共30页第十六页，共30页。解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2

8、54254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr第16页/共30页第十七页，共30页。 222:220)(zyxDazdxdyyxdzI zadddz02200 .105a dzza040|412 第17页/共30页第十八页，共30页。练习：练习：.,222222所所限限定定的的球球域域是是由由球球面面其其中中求求zzyxdxdydzzyxI .10 答案：答案：第18页/共30页第十九页，共30页。11例例 dzdydxzyxI2)(计算22yxz 是由抛物面2222 zyx和球面.所围成的空间闭区域2)(zyx )(xzyzxyzyx 2222解,对称关于坐

9、标面0 yxyz0 dvyzxy)(所以,对称关于坐标面0 x0 dvxz所以第19页/共30页第二十页，共30页。xyz dzdydxzyxI2)(所以 dzdydxzyx222:用柱面坐标22yxz 抛物面2rz 2rz 2222 zyx球面222 zrD 2rz 222 zr:的边界方程得投影区域消去Dz1 rD 20 10 r 积分区域222rzr 222 zr第20页/共30页第二十一页，共30页。)(8929660 dzdydxzyx222ID 20 10 r 222rzr 222222010rrzdzrrdrd)( 106422232322322rdrrrrrr 思考：能否思考：

10、能否(nn fu)使用球坐使用球坐标代换？标代换？第21页/共30页第二十二页，共30页。343a 12例例推导球体积公式设球方程为解2222azyx ar0020 则 vdv ardrdd02020 sin33122a 第22页/共30页第二十三页，共30页。zyxdddzddddddsin2rr积分区域(qy)多由坐标面被积函数(hnsh)形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系变量可分离.围成 ;第23页/共30页第二十四页，共30页。zddrdzrzyx ),(),( :的的换换算算公公式式不不同同坐坐标标系系中中体体积积元元素素zdydxdvd ddrd

11、rzyx),(),( 直角坐标系柱面坐标系球面坐标系0 r行行列列式式柱柱坐坐标标系系下下的的Jacobi),(),(zrzyx zrzrzrzzzyyyxxx 10000 cossinsincosrr 行行列列式式球球坐坐标标系系下下的的Jacobi02 sinr),(),( rzyx zzzyyyxxxrrr 第24页/共30页第二十五页，共30页。xyz vd:球坐标系下的体积元素 vd:柱坐标系下的体积元素xyz d drdrzd drrdrsd素平面极坐标下的面积元 dr drsinddrvdzddrdr ddrdr sin2vdsinrrd第25页/共30页第二十六页，共30页。z

12、dydxdzyxf),( zddrdrzrrf ),sin,cos(, zddrdrvd :在柱面坐标系下:在球面坐标系下,sin drddrvd2 ddrdrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2zdydxdzyxf),(!, 熟记熟记式式以上为三重积分换元公以上为三重积分换元公第26页/共30页第二十七页，共30页。提示提示(tsh):20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考思考(sko)与练习与练习2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所六个平面围成 ,:第27页/共30页第二十八页，共30页。zoxy222yxz和球面(qimin)4222zyx所围成 , 计算(j sun).d)(2vzyxI提示提示(tsh):4利用对称性利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标用球坐标 rr d420dsin4020