向量与空间解析几何知识点整理人王浩

1、1. 二阶、三阶行列式和空间直角坐标系 二阶、三阶行列式 .计算方法 空间直角坐标系.两点间的距离公式空间两点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ),M 2 (x2 , y2 , z2 ) 的距离M1M 2x2 x12y2 y12z2 z122.向量代数 （注意： 手写体不可能是黑体，因此我们书写向量时一定要写成AB ）向量的概念a. 向量，向量的模，向量的分量表达示、向量的坐标表达示b. 单位向量、向量的方向余弦a0a1ax , ay ,azcos,cos , cosaacos, cosax , ay , az, cosax2ay2a z2向量的运算a. 加减运算b. 数乘运算c. 向量

2、的数量积（点积、内积）a b = a b cos= ax bxa ybyazbz运算律：交换律分配律结合律a bb aabca cb caba bd. 向量的向量积（叉积、外积）ca b sin，为 a与 b 之间夹角； c 的指向满足右手法则；ijkc abaxa yazbxbybz运算律：反交换律 abba分配律 abc ac b c结合律abab3.平面 （注意： 很多问题都是通过与 n 的关系解决的 ） 平面方程a.点法式： A( xx0 ) B( yy0 ) C ( zz0 )0b.一般式： AxByCz D0c.xyz截距式：b1ac 几个特殊位置的平面方程（针对“b 一般式”进行

3、分析）一般式： AxByCz D0 （注意： 平面过三个点即可求出这个平面方程，总的思路是用同一个字母表达这个平面，然后约去这个字母）D 0 过原点A 0 平行于 x 轴B 0 平行于 y 轴C 0 平行于 z 轴D0, A0 过 x 轴D0, B0 过 y 轴D0,C0 过 y 轴A 0, B 0 平行于 xoy 面或垂直于 z 轴B 0, C 0 平行于 yoz 面或垂直于 x 轴A 0, C 0 平行于 zox 面或垂直于 y 轴 点到平面、直线的距离4.空间直线直线方程x x0y y0z z0a. 点向式（对称式） ：npmb.A1 xB1 yC1 zD10 (1)一般式B2 yC2

4、zD2(*) 其中 A1 , B1 ,C1与A2 , B2C2不成比例A2 x0 (2)xx0mtc.参数式： yy0ntzz0pt5. 夹角 向量（ 0, ）cosa ba xbxaybyaz bz（注意 ：求向量夹角问题中，从已知条a bax2ay2a z2bx2by2bz2件中要学会利用a aa2 ）两个非零向量之间的特殊关系：axayaza / bb a(为实数，且0)a b 0 （注意：的正负决定bxbybz了两个向量的方向是否相同）a ba b 0axbxaybyazbz0线线（0,）2cosm1m2n1n2p1 p2（注意： 结合图形，多多考虑这个绝对值在n12p12m22n22

5、m12p22此所起的作用 ）两直线之间的特殊关系：两直线互相垂直s1 s2m1m2n1n2 p1 p2 0两直线互相平行面面（0,）2cosA1 A2B1 B2C1C2（注意： 结合图形，多多考虑这个绝对值在A12B12C12A22B22C 22此所起的作用 ）两个面之间的特殊关系：平面1 与2 互相垂直n1n20即A1 A2B1B2C1C2 0平面1 与2 互相平行n1n2即 A1B1C1A2B2C 2平面1 与2 互相重合n1n2即 A1B1C1D1（注意：两个面平行的基础上，A2B2C 2D 2随便取一个点进行代入验证） 线面（ 0,）2sinAmBnCp（注意： 结合图形，多多考虑这个

6、绝对值在B2C 2m2n 2A2p2此所起的作用 ）直线 L 与平面垂直s 与 n 平行ABCmnp直线 L 与平面平行s 与 n 垂直AmBnCp 0直线 L 在平面上6. 二次曲面二次曲面的标准方程球面 ( x x0 )2( y y0 )2( z z0 )2R2椭球面 x2y 2z21a2b 2c 2单叶双曲面 x2y2z21a2b2c2双叶双曲面 x2y2z21a2b2c 2椭圆抛物面双曲抛物面圆锥面柱面方程（ 注意： 实质是缺项问题）分析：在知道平面图形的基础上，分别针对缺少 x, y, z 项进行分析；圆柱面椭圆面双曲面抛物面旋转曲面设曲线 L ： f ( x, y) 0, z0；（ 1）曲线绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：