圆锥曲线的知识点整理

1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点F、F2 的距离的和等于常数2 a （大于| F F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆11的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF1 | |MF2 |2a 。椭圆的标准方程为：x2y21（ aby2x 21（ ab 0）（焦点在 y 轴a2b20 ）（焦点在 x 轴上）或2b 2a上）。注：以上方程中a,b 的大小 a b0 ，其中 b2a2c2 ；在 x2y21 和 y2x21 两个方程中都有 ab0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的分a2b2a2b2母的大小。例如椭圆x2

2、y21（ m 0 ， n0 ， mn ）当 m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆；当 mn 时mn表示焦点在y 轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程x2y21 知 | x | a ， | y | b ，说明椭圆位于直线 xa ， yb 所围成的矩形里；a2b2对称性：在曲线方程里，若以y 代替 y 方程不变，所以若点(x, y) 在曲线上时，点(x, y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x 代替 x ， y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原

3、点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x0 ，得yb ，则 B1(0,b) ，B2(0, b)是椭圆与y 轴的两个交点。同理令y0 得xa ，即A1 (a,0)，A2(a,0)是椭圆与x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段A1A2 、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在 RtOB2 F2 中，| OB2 |b ，|

4、OF2 | c ，| B2 F2 | a ，且 |OF2 |2 | B2 F2 |2| OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；离心率： 椭圆的焦距与长轴的比eca c 0 ，0e1，且 e 越接近 1， c 就叫椭圆的离心率 。a越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0， c 就越接近于0，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b 时， c0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。2双曲线（ 1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1 | | PF2 |2a ）。注 意 ： 式 中 是 差 的

5、绝 对 值 ， 在 0 2a | F1 F2 | 条 件 下 ； | PF1 | PF2 | 2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ；|PF2 | |PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1 的一支）；当 2a | F1F2 | 时， | PF1 | PF2 |2a表示两条射线；当 2a | F1F2|时， |PF1 | PF2 |2a 不表示任何图形；两定点F1 , F2 叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距。（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程x 2y2xa 的外侧。即a 21 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线b2x2a 2 ， xa 即双曲线在两条直线 xa 的外侧。对

6、称性：双曲线x 2y 21关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a2b2是双曲线 x 2y 21的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2b 2x2y 21的方程里，对称轴是x, y 轴，所顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线b2a 2以令 y 0 得 xa ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A ( a,0) A2 ( a,0)，他们是双曲线x 2y21 的顶点。a 2b2令 x0，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。22叫做双曲线的实轴

7、，它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2）实轴：线段A ABB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x2y2a21 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。b2等轴双曲线：1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ab ；2）等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为： yx ；（ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3a b220x 轴，）注意到

8、等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在当0时焦点在 y 轴上。注意 x 2y 21与 y2x21 的区别：三个量a,b, c 中 a,b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标169916轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（ p ,0 ），它的准线方程是xp；22（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同

9、，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22 px ， x22 py ， x 22 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：y22 pxy22 px标准方程0)( p0)( pylyoFxlloFx图形焦点坐标( p ,0)(p ,0)22准线方程xpxp22范围x0x0对称性x 轴x 轴顶点(0,0)(0,0)离心率e1e1说明：（1）通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；的距离。x22 pyx22 py( p0)( p0)yFox(0,p(0,p)22ypyp22

10、y0y0y 轴y 轴(0,0)(0,0)e 1e 1；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶（ 3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C 上f(x 0,y 0) 0。C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0) 在曲线C 上f(x0,y0)

11、=0 ；点P0(x0,y0) 不在曲线两条曲线的交点：若曲线C1， C2 的方程分别为f 1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0) 是C1， C2 的交点f1( x0 , y0 )0n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没f 2 ( x0 , y0 )方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有0有交点。二、圆：1、定义： 点集 M OM=r ，其中定点 O为圆心，定长 r 为半径 .2、方程： (1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x2+y 2=r 2(2) 一般方程：当D

12、2+E2-4F 0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(D ,E) 半径D ) 2+(y+E)2=D222是D 2E 24 F 。配方，将方程x2+y 2+Dx+Ey+F=0化为 (x+E2 -4F2224当22(-D ,-E );D +E -4F=0 时，方程表示一个点22当 D2+E2-4F 0 时，方程不表示任何图形 .（ 3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x00点 M在圆 C内，,y ) ，则 MC rMC =r点 M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =(x 0 - a)2(y 0 - b

13、) 2 。（ 4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法； (ii) 利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离 dAaBb CA2B2与半径 r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y) 到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数 e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0 e1 时，轨迹为椭圆；当

14、e=1 时，轨迹为抛物线；当 e 1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线1到两定点 F ,F2的距离之1到两定点 F ,F的距离之差的112和为定值 2a(2a>|F F |) 的绝对值为定值 2a(0<2a<|FF |)1212定义点的轨迹的点的轨迹与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .2与定点和直线的距离之2与定点和直线的距离之比为比为定值 e 的点的轨迹 .定值 e 的点的轨迹 . （ e>1）（ 0<e<1）点集： (M MF+ MF点集： M MF - MF .点集 M MF =点 M到直1212轨迹条件=± 2a

15、, F2F2 2a.线 l 的距离 .=2a, F 1F2 2a.图形方x2y 2x 2y 2标准1( a b >0)1(a>0,b>0)方程a 2b2a 2b2程参数xa cosxasecyb sinyb tan方程(参数 为离心角）(参数 为离心角）范围 a x a， b y b|x|a ，y R中心原点 O（ 0，0）原点 O（ 0， 0）顶点(a,0), ( a,0),(a,0), ( a,0)(0,b) , (0, b)对称轴x 轴， y 轴；x 轴， y 轴 ;长轴长 2a, 短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点F1(c,0), F2( c,0)F1(c,

16、0), F2( c,0)y22 pxx2 pt 2 (t 为参数 )y 2 ptx 0(0,0)x 轴F ( p ,0)2x=± a 2x=± a 2x=- p准线cc2准线与焦点位于顶点两侧，准线垂直于长轴，且在椭圆准线垂直于实轴， 且在两顶点的且到顶点的距离相等 .外 .内侧 .焦距2c （ c= a 2b2）2c （ c=a2b2）离心率ec (0e1)ec (e 1)e=1aa【备注 1】双曲线： 等轴双曲线： 双曲线 x 2y2a 2 称为等轴双曲线， 其渐近线方程为yx ，离心率 e2 .共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线， 叫做已知双曲

17、线的共轭双曲线. x2y2与a 2b 2x2y 2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：x 2y2a 2b 2a 20 .b2共渐近线的双曲线系方程：x2y 2(0) 的渐近线方程为x 2y 20 如果双曲线的渐近线为xy0 时，a2b 2a 2b 2ab它的双曲线方程可设为x 2y2(0) .a 2b 2【备注 2】抛物线：（1）抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点坐标是 (p ,0) ，准线方程 x=- p ，开口向右；抛物线22y2 =-2px(p>0)的焦点坐标是 (-p ,0) ，准线方程 x=p ，开口向左；抛物线x2 =2py(p>0)的焦点坐标是 (0,p

18、) ，222准线方程 y=-p，开口向上；2p ），准线方程 y=p ，开口向下 .抛物线 x2=-2py （ p>0）的焦点坐标是（0,-22（ 2）抛物线 y 2=2px(p>0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离 MFx0p ；抛物线 y2=-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)p2与焦点 F 的距离MFx02p ，顶点到准线的距离p ，焦点（ 3）设抛物线的标准方程为y2 =2px(p>0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为22到准线的距离为p.（ 4）已知过抛物线 y 2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B 两点，则线段 AB称为

19、焦点弦， 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = x1x2 +p 或 AB2 p( 为直线 AB的倾斜角 ) ， y1 y2p 2 ， x1 x2p2, AFx1p (AFsin 242叫做焦半径 ).五、坐标的变换：（ 1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（ 3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原

20、坐标系 xOy 中的坐标是（ x,y) ，在新坐标系 x O y中的坐标是 ( x' , y' ) . 设新坐标系的原点O在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,k)，则xx'h 或x'xhyy'ky'yk叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 .（ 4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程(x - h) 2+ (y - k) 2=1a2b2椭圆(x - h) 2+ (y - k) 2=1b 2a 2(x - h) 2- (y - k) 2=1a2b2双曲线(y - k) 2- (x - h) 2=1a 2b 2(y-k)2=2p(x-h)(y

21、-k)2=-2p(x-h)抛物线(x-h) 2=2p(y-k)(x-h) 2=-2p(y-k)焦点焦线( ± c+h,k)x=± a2+hc(h,± c+k)y=± a2+kc( ± c+h,k)x=± a2+kc(h,± c+h)y=± a2+kc( p +h,k)x=-p +h22(-p +h,k)x=p +h22(h,p +k)y=-p +k22(h,-py=p+k)+k22对称轴x=hy=kx=hy=kx=hy=kx=hy=ky=ky=kx=hx=h六、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT 平分 P

22、F1F2在点 P 处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21 上，则过x0 xy0 y1.a2b2P0 的椭圆的切线方程是b2a26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21 外，则过 P0 作椭圆的两条切线切点为P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是a2b2x0 xy0 y1.a2b27.x2y21 (a b 0) 的

23、左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点椭圆2b2a角形的面积为 S F PFb2 tan .1228.x2y21 （a b 0）的焦半径公式椭圆2b2a| MF1 | aex0 ,|MF2 |aex0 ( F1 ( c,0) ,F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、 N 两点，则 MF NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、 Q, A 、 A 为椭圆长轴上的顶点，AP和 AQ交于点 M，AP和

24、AQ121221交于点 N，则 MF NF.11.AB是椭圆 x2y21的不平行于对称轴的弦， M( x0 , y0 ) 为 AB的中点，则 kOMkABb2a2b2a2 ，即K ABb 2 x0。a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y2Po 所平分的中点弦的方程是x0 x y0 y x0 2y0 2a2b2 1 内，则被a22a2b2 ；b【推论】：1、若 P0(x0x2y21x2y2x0 x y0 yx2y2, y0 ) 在椭圆2b2内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是2b2a2b2 。椭圆a2b21aa（ a b o）的两个顶点为A1(a,0) , A2 (a,0

25、) ，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、 P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 x2y21.a2b22、过椭圆x2y21 (a 0, b 0) 上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直a2b2线 BC有定向且 kBCb2 x0 （常数） .a2 y03、若 P 为椭圆 x2y21（ ab 0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点 ,PF1F2,PF2 F1，a2b2则 actanco t2.ac24、设椭圆 x2y21（ a b 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2 中，记a2b2

26、F1 PF2,PF1F2,F1 F2 P，则有sincsine.sina5、若椭圆 x2y21（ a b 0）的左、右焦点分别为121时，可在椭圆上a2b2F 、F ，左准线为 L，则当 0e 2求一点 P，使得 PF 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 的比例中项 .126、 P 为椭圆 x2y21（ a b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点， A 为椭圆内一定点，则a2b22a | AF2 | | PA |PF1|2a| AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .7、椭圆 (xx0 ) 2( yy0 ) 21与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是

27、a2b2A2a 2B2b 2( Ax0By 0C)2 .8、已知椭圆 x2y21（ a b 0）， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点，且OP OQ .（1）a2b21111224a2b2a2b22 .22a22 ; （ 2） |OP| +|OQ|的最大值为a2b2 ;（3）S OPQ的最小值是2b|OP| |OQ|ba9、过椭圆x2y21（ ab 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴于 P，a2b2则|PF|e .|MN |210、已知椭圆 x2y21（ a b 0） ,A 、B、是椭圆上的两点， 线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(

28、x0 ,0) ,a2b2则a2b2x0a2b2aa.11、设 P 点是椭圆 x2y2 1 （ a b0）上异于长轴端点的任一点,F 1、 F2 为其焦点记F1 PF2，则a2b2(1) | PF1 | PF2|2b2.(2)S PF1F2b2 tan .1cos212、设 A、 B 是椭圆 x2y2 1（ a b0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,a2b2PBA,BPA， c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) | PA | 2ab2 | cos| .(2)a2c2 cos2tan tan2S PAB2a2b21 e.(3)b2a2 cot .13、已知椭圆 x2y21（ a

29、b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于A、a2b2B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与

30、非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2、 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .4、以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切：P 在右支；外切：P 在左支）x2y21（ a 0,b 0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是x0 xy0 y1.5、若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线2b2a2b2a6、若P0 (x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为12，则切点弦a2b2P、 PP1P2 的直线方程是x0 xy0 y