高等数学课件：6-5定积分的换元积分法

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 ( )dbaf xx ( ) ( )dfttt 6.5 定积分的换元积分法定积分的换元公式 假设函数f(x)在区间a, b上连续 令x(t) 如果 (1)(t)在, 上具有连续导数(t) (2)当t从变到时(t)从( )a单调地变到()b 则有注意注意: : (1) (1) 应用定积分的换元法时应用定积分的换元法时, ,与不定积分比较，与不定积分比较，多了一事：换上下限；少了一事：不必回代；多了一事：换上下限；少了一事：不必回代； 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 x从0变到8 所以 当t从0变到2时 则dx3t2dt 令x

2、t3 例 1 求积分830d1xx 282220300d31d3ln(1)3ln3121xttttttx 282220300d31d3ln(1)3ln3121xttttttx 282220300d31d3ln(1)3ln3121xttttttx 282220300d31d3ln(1)3ln3121xttttttx 例 2 求积分220daaxx(a0) 令xasin t(0 xa) 则dxacos tdt 解 x从0变到a 当t从0变到/2时 所以 22200dcoscos daaxxat at t2201 cos2d2tat2220sin21()224atta22200dcoscos daa

3、xxat at t 2201 cos2d2tat2220sin21()224atta2201 cos2d2tat2220sin21()224atta 22xayxoya202d1113ttt20d1113ttt首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例例3 计算.dsincos205xxx解解令,cos xt 2x, 0t0 x, 1 t205dsincosxxx015dtt1066t.61,dsindxxt本题要点:换元时,上限对应上限,下限对应下限.105dtt220505dcoscosdsincosxxxxx026cos61x.61本题又解:利用sinxdx=dcosx,得首页

4、上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 类似地可证 如果 f(x)为奇函数 则( )d0aaf xx 所以 000( )d( )d( )d2( )daaaaaf xxf xxf xxf xx 证 已知 令xt 则 例 3 如果 f(x)是偶函数 则0( )d2( )daaaf xxf xx 00( )d( )d( )daaaaf xxf xxf xx 0000( )d()d()( )d( )daaaaf xxfttf ttf tt 0000( )d()d()( )d( )daaaaf xxfttf ttf tt 0000( )d()d()( )d( )daaaaf xxfttf ttf

5、tt 0000( )d()d()( )d( )daaaaf xxfttf ttf tt 000( )d( )d( )d2( )daaaaaf xxf xxf xxf xx , 0dsin:22xx例如. 2sin2dcos2dcos202022xxxxx4首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 1012111( ) d( )( d )22xtxt 例 5 不计算积分值 比较121( ) d2xx与102 dxx的大小 例 4 求121(23)dxxx 解 121(23)dxxx11211(3)d2 dxxx x 1202 (3)dxx3101162(3 )|33xx121(23)dxxx11211(3)d2 dxxx x 1202 (3)dxx3101162(3 )|33xx 令xt1 当x2时 t1 当x1时 t0 于是 111110002d2d22 dtxxtxx111110002d2d22 dtxxtxx111110002d2d22 dtxxtxx 所以 11201( ) d2 d2xxxx +0 解 对121( ) d2xx进行变量代换 将积分区间调整到0 1上 156首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例例6 计算计算解解令令.d)1 (10222xxx ,tantx 40: t，ttxdsecd