高等数学课件：5-1不定积分的概念

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、原函数二、不定积分三、不定积分的几何意义5.1 不定积分的概念首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、原函数 例1 如果已知物体的运动方程为sf(t) 则此物体的速度是距离s对时间t的导数 一个相反问题是 已知物体运动的速度v是时间t的函数vv(t) 求物体的运动方程sf(t) 使它的导数f (t)等于已知函数v(t) 例2 如果已知某产品的产量P是时间t的函数PP(t) 则该产品产量的变化率是产量对时间t的导数PP(t) 一个相反问题是 已知某产量的变化率是时间t的函数P(t) 求该产品的产量函数P(t) 首页上一页下一页结

2、束微积分 (第三版) 教学课件 定义51(原函数) 设f(x)是定义在某区间上的已知函数 如果存在一个函数F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数 例3 在区间(, )内 已知函数f(x)2x 由于函数F(x)x2满足 F (x)(x2)2x 同理 x21 x2C(C是常数)都是2x的原函数 所以F(x)x2是f(x)2x的一个原函数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 21()2sgtgt 21()2gtCgt 因为212sgt及212gtC(C 是常数)满足 例4 在0 T上 已知函

3、数vgt(g是常数) 定义51(原函数) 设f(x)是定义在某区间上的已知函数 如果存在一个函数F(x) 对于该区间上每一点都满足 F (x)f(x) 或dF(x)f(x)dx则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数 所以212sgt和212gtC都是 gt 的原函数 问题：问题：(1)一个函数的原函数是否存在？(2) 如果原函数存在如果原函数存在,是否唯一？首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 因此初等函数在其定义域内都有原函数因此初等函数在其定义域内都有原函数 .原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.唯一性？唯

4、一性？（1 1）若若)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则对对任任何何常常数数C, , CxF )(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数； （2 2）设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则)(xf的的任任一一个个原原函函数数)(xG与与)(xF最最多多相相差差一一个个常常数数, ,即即CxFxG )()(. . )()( )()(xGxFxGxF 0)()( xfxf.)()(CxFxG 所以所以首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 其中记号称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式 x 称为积分变量 ( )df xx 二

5、、不定积分 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分 记作 根据定义 如果F(x)是f(x)的一个原函数 则其中C是任意常数 称为积分常数 定义52(不定积分) ( )d( )f xxF xC 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 所以 233dxxxC ( )d( )f xxF xC 二、不定积分 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记作 如果F(x)是f(x)的一个原函数 则f(x)的不定积分为定义52(不定积分) 解 例5 求函数f(x)3x2的不定积分 因为 (x3)3x2 其中C是任意常数 称为积分常数 ( )df xx 首页上一页下一页结束微积分 (第

6、三版) 教学课件 1dln| |xxCx(x0) 1dln()xxCx(x0) 1dlnxx Cx(x0) 解 解 当 x0 时 xx1)(ln 当 x0 时 xxx1) 1(1 )ln(合并上面两式 得到 当 x0 时 xxx1) 1(1 )ln(xxx1) 1(1 )ln( 所以 xxx1) 1(1 )ln( 所以 解 当 x0 时 xx1)(ln 所以 xx1)(ln 所以 例 6 求函数xxf1)(的不定积分 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 由三、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 因为函数f(x)的原函数有无限多个 所以函数f(x)的积分曲线也有无限多条 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线 而f(x)正是积分曲线的斜