【中考数学压轴题专题突破08】二次函数中的双抛物线问题

1、【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题1如图1,若抛物线11的顶点A在抛物线12上，抛物线12的顶点B也在抛物线11上(点A 与点B不重合)我们称抛物线, 12互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物 线可以有多条(1)如图2,抛物线13：2 - 1与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线第2页（共14页）的对称轴对称，则点 D的坐标为(2) 求以点D为顶点的3的“友好”抛物线14的表达式，并指出13与|4中y同时随X 增大而增大的自变量的取值范围；(3) 若抛物线y= a1 (X- m) 2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y= a2 (X- h) 2+k,写出a1与a2的关式，

2、并说明理由.2 .某班“数学兴趣小组”对函数y = X2 - 2 . . - 3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整（1）自变量X的取值范围是全体实数， X与y的几组对应值列表如下:X-3-5 - 2 - 1 0 17234y07m- 4- 3- 4-3-'044其中，m =（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分,请画出该图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现： 方程X2 - 2 .： - 3= 0有个实数根； 函数图象与直线 y =- 3有个交点，所以对应方程X2 - 2 .； - 3

3、=- 3有个实数根； 关于X的方程X2- 2，. ： - 3= a有4个实数根，a的取值范围是 .3.如图，Rt FHG中， H = 90°, FH / X轴，十=0.6,则称 RtA FHG为准黄金直角三 角形(G在F的右上方).已知二次函数y= a2+bx+c的图象与X轴交于A、B两点，与2 y轴交于点E (0,- 3),顶点为C (1,- 4),点D为二次函数y2= a (X- 1 - m)+0.6m-4 (m> 0)图象的顶点.(1) 求二次函数y1的函数关系式；(2) 若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点 G 的坐标及厶FHG的面积；

4、(3) 设一次函数y= mx+m与函数y1、y的图象对称轴右侧曲线分别交于点 P、Q.且P、 Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点 F、G重合，求m的值，并判断以 C、D、Q、P 为顶点的四边形形状，请说明理由.第10页(共14页)4 定义：由两条与 X轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称 为“月牙线” 如图，抛物线 Ci与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线Ci 与抛物线C2与X轴有相同的交点 M , N (点M在点N的左侧)，与y轴的交点分别为 A，2B且点A的坐标为(0,- 3),抛物线 C2的解析式为y= mx+4mx- 12m, ( m> 0).

5、(1) 请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下.“月牙线”，直接写出两条抛物线 的解析式；(2) 求M , N两点的坐标；(3) 在第二象限内的抛物线 CI上是否存在一点 P,使得 PAM的面积最大？若存在， 求出 PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由.厂O人CIABG25.如图1,抛物线M1 y=- X +4x交X正半轴于点A,将抛物线Mi先向右平移3个单位， 再向上平移3个单位得到抛物线 M2，Mi与M2交于点B，直线OB交M2于点C.(1) 求抛物线 M2的解析式；(2) 点P是抛物线Mi上AB间的一点，作PQ丄X轴交抛物线 M2于点Q,连接CP,CQ.设 点P的横坐标为m,当m

6、为何值时，使 CPQ的面积最大，并求出最大值；(3) 如图2,将直线OB向下平移，交抛物线 Mi于点E, F,交抛物线 M2于点G , H ,26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= X - 2x- 3交X轴于A, B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于 X轴上方的曲线记作 M ,将该抛物线位于 X轴下方的部分沿 X轴 翻折，翻折后所得曲线记作 N ,曲线N交y轴于点C,连接AC, BC.(1) 求曲线N所在抛物线的函数表达式；(2 )求厶ABC外接圆的面积；(3)点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为X轴上的一个动点，若以点 B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q

7、的坐标；(4)在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1,D2,使得求出点Di, D2的坐标；在曲线 M或N上是否存在五个点 T1, T2, T3, T4, T5,使得这?若存在，直接写出这五个点Ti, T2,8五个点分别与点B, C围成的三角形的面积为T3, T4, T5的坐标；若不存在，请说明理由.= sD,BC=SABC.并【中考压轴题专题突破】二次函数中的双抛物线问题参考答案与试题解析X-2)2 1当X = 0时,1 = 1,解答题(共6小题)(1) y=即C点的坐标是(0, 1),抛物线y=二(X- 2) 2- 1的对称轴是直线 X= 2,2点C关于直线X= 2的对称点D的坐标是(4,

8、1),即D点的坐标是(4,1),故答案为：(4, 1);y= ( X-2)2- 1的顶点坐标是(2, - 1),、r2设14的函数解析式是 y= a (X- 4)+1 ,T由“友好”抛物线的定义，14过点(2,- 1),- 1 = a ( 2 - 4) 2+1 ,解得：a =-二，2214的函数解析式是 y = a ( X- 4)+1 , 13与14中y同时随X增大而增大的自变量的取值范围是2 X 4;(3) a1+a2= 0,理由是：抛物线 y= a1 (X - m) 2+n与抛物线y= a2 (X - h) 2+k互为"友好”抛物线, k- a 1 (h-m) +n 2 ，n=a

9、 9 (m-h) +k. 2方程的两边相加得： k+ n=( a1+a2) (m - h) +n+k,即(a1+a2) (m - h) 2 = 0,/ m h, a1+a2 = 02. 解：(1)根据函数的对称性可得 m=- 3,故答案为：-3(2) 画出的函数图象如图所示；(3) 由函数图象知： 函数 y=-2-3 的图象关于y轴对称；当x> 1时，y随X的增大而增大；(4) 函数图象与X轴有2个交点，所以对应的方程 X2 -2f-3=0有2个实数根；由函数图象知；的图象与直线y=- 3有3个交点，方程；.:有3个实数根；由函数图象知：关于 X的方程x2- 2 I:- 3= a有4个实

10、数根, a的取值范围是-4 V a<- 3,故答案为：2, 3, 3, - 4< a<- 3.3. 解：(1设二次函数yi的函数关系式为yi= a (X- 1) 2 - 4, 将 E (0, - 3)代入得 a- 4 =- 3,解得a= 1, yi =( X- 1) 2- 4= X2 - 2x- 3;(2)设 Gp, 0.6 ( p+1),代入函数关系式，得，(P - 1) 2 - 4 = 0.6 ( p+1),解得 p1= 3.6, p2=- 1 (舍去)，所以点G坐标为(3.6, 2.76).由 X 2x- 3= 0 知 X1=- 1, X2 = 3, A (- 1, 0

11、)、B (3, 0),则 AH = 4.6, GH = 2.76, SAFHG = × 4.6 × 2.76 = 6.348 ;(3). y= mx+m = m (x+1),当 X=- 1 时，y = 0,直线y= mx+m过点A, 延长QH ,交X轴于点R, 由平行线的性质得，QRX轴. FH / X 轴， / QPH = QAR, / PHQ = ARQ= 90°, AQRsA PHQ,QRQHARPH第8页（共14页）设 Qn, 0.6 ( n+1),代入 y= mx+m 中，得 mn+m = 0.6 (n+1),整理，得：m ( n+1) = 0.6 (

12、n+1), n+1 0,. m= 0.6.四边形CDPQ为平行四边形，理由如下：连接CD ,并延长交X轴于点S,过点D作DK丄X轴于点K ,延长KD ,过点C作CT垂 直KD延长线，垂足为T,.点D由点C向右平移m个单位，再向上平移 0.6m个单位所得,(3)存在，理由如下:竺=SK= 0.6,SK AR tan KSD = tan QAR, KSD = QAR, AQ/ CS,即卩 CD / PQ .AQ/ CS,由抛物线平移的性质可得，CT = PH , DT = QH , PQ= CD,四边形CDPQ为平行四边形.X+1所围成的封闭曲线即24.解：(1)如图1,抛物线y=- X +2x+

13、3与抛物线y=-为开口向下的“月牙线”(2)在抛物线 C2的解析式y= m2+4m- 12m中, 当 y = 0 时，mx2+4 mx- 12m= 0, m 0,2 X +4x- 12= 0,解得，X1=- 6, X2 = 2,点M在点N的左边， M (- 6, 0), N (2, 0);第9页(共14页)如图 2,连接 AM, PO, PM , PA,抛物线Cl和抛物线C2与X轴有着相同的交点，并且开口方向相同, 可设抛物线 Ci的解析式y= nX2+4nX- 12n (n>0),抛物线Ci与y轴的交点为A (0,- 3),- 12n =- 3,第14页(共14页)抛物线CI的解析式为

14、y= 2+- 3,可设点P的坐标为(t, t2+t - 3),_ 3+2_ 9弓,× 6×(-丄t2 - t+3)+ × 3×I- t)- 2422 SPAM = SPMO + S FAO - SAOM× 6× 3-(t+3) 2+ -4根据二次函数的图象和性质知，当m=- 3时，即点P的坐标为(-3,-=)时, PAM的面积有最大值，最大值为42 23个单位的解析式为：y=-( X- 5) 2+7=-5.解：(1) y=- X +4x=-( X- 2) +4 ,将其先向右平移 3个单位，再向上平移2X +10X- 18;(2) 抛物

15、线Mi与M2交于点B,2 2- X +4x=- X +10X- 18,解得，X= 3, B (3, 3), 将点B (3, 3)代入y= kX, 得，k= 1,yoB = x,抛物线M2与直线OB交于点C, X=- x2+10x- 18,解得，X1= 3, X2= 6, C (6, 6),点P的横坐标为m,点 P (m, - m2+4m),则 Q ( m, - m +I0m- 18),2 2 QP=- m +10m - 18-(- m +4m)= 6m- 18 , SPQC = (6m 18) (6- m)2O=-3m2+27m- 54 ,在 y =- m2+4m 中，当 y= 0 时,1 =

16、 0 , X2 = 4 , A (4 , 0), B ( 3 , 3), 3 m 4 ,根据二次函数的图象及性质可知，当m = 4时， PCQ有最大值，最大值为 6;(3) 的值是定值1,理由如下:设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线 EH , 贝U yEH = X - k ,令 X- k=- x2+4x ,解得,X1=, X27 ,2 , 2 , 349+4k3-/9+4k XF =一, XE =2令 X- k=- X +10x- 18 ,解得,X1=, X2='：*, XH94V9+4k99+½-,XG = _ME=XG - XE=FN = XH - XF =g4H

17、业分别过G , H作y轴的平行线，过 E , F作X轴的平行线，交点分别为则 HFN = GEM, HNF = GME = 90° , GEMHFN ,GEEHWFNGEEH=3=1WFN31 ?二L的值是定值1.HF图26.解：(I)： N与M图象下方的部分关于 X轴对称， N所在函数解析式为 y=- x2+2x+3;2(2) 令 x2- 2x- 3= 0,解得 X=- 1 或 X= 3, A (- 1, 0), B (3, 0),曲线N交y轴于点C, C (0, 3),分别作BC与AB的垂直平分线交于点 O',则0'ABC的外接圆, Rt BOC为等腰直角三角形，

18、 00'= OH = 0'H = 1, HB = 2, 0'B =匚0'B是厶ABC外接圆的半径， ABC外接圆的面积=5;(3) 当 P 点在 M 上时，设 P ( m, m2- 2m- 3), Q (n, 0), m 3 或 m- 1;当BQ/ PC ,BQ = PC时，B、C的中点为(,),P、Q的中点为(÷n),32 一m -m-322 1 ,3迎也,解得n =22怏川或n= 2+ i2-解得 m= 1+ r或 m= 1 -".i Q (2-: 0)或 Q (2+ . 0)；当BP/ CQ , BP= CQ时，B、Q的中点为(n+3,

19、0), P、C的中点为(),第18页（共14页）0,解得m= 0或m= 2 (都不符合);r ' :当 P 点在 N 上时，设 P (m, - m2+2m+3), Q (n , 0),),当BQll PC,BQ = PC时，B、C的中点为（丄,3）,P、Q的中点为（吐比,2 2 22二= 1- :,解得 m= 0 或 m= 2,2 23 =m÷解得n3 或 n 一 122?A)十I寸 Q(1 ,0)或Q(3 , 0),V Q(3 ,0)与B(3 , 0)重合, Q(1 ,0)；当 BPl CQ,BP = CQ 时，B、Q 的中点为（一 , O）, P、C 的中点为（一L , 一丁; JL ）,2.F ；2口+旨=0,解得m= 1+街或m= 1 -街（都不符合）；综上所述：Q（ 1, 0）或Q（2 -.二0）或Q（2+ ", 0）时以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形;