华南师范大学1999-2000,2002-2011,2013-2014年数学分析考研真题

1、1999年华南师范大学数学分析一、计算1、已知极限 lim? 0?2? ? +3 ?0?- sin ?= 2,其中 ，为非零常数，求 ，的值；2、求积分ln? (? +1 + ?2) ?;3、函数 u=u(x) 由方程组u=f(x,y,z),g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0所确定，求?4、求积分i=? ?2+ ?2+( ? + ? )2其中 a0,是以原点为中心，a 为半径的上半球面。二、1、设数列 ? 收敛且 ? 0 ?= 1,2, ，求证： lim?1?2 ?= lim?；2、若 ? 0 ?= 1,2, ，且 lim? +1?存在，求证：lim?= lim? +1?；3、求 li

2、m? +1? ！?。三计算函数 z = 1 -?2?2+?2?2在点 p?2，?2沿曲线?2?2+?2?2= 1在此点的内法线方向上的导数。四、设 f（ x）在 a,b上具有二阶连续导数，且f（a）=f（b）及 |f (x)| m 对 x? a,b ,证明对一切x a,b 有|f (x)| ?2( ? - ? ) 。五、若 ?，? ,?在点 ?0，?0处存在，?，? ,?在点 ?0，?0处连续，证明? ,?在 ?0，?0处可微。六、证明xnn=1(1 -x)2在 0,1 上一致收敛。七、设 c 为位于平面 xcos ?+ ? cos?+ ? cos? -1 = 0(cos ?,cos ?,co

3、s? 为平面之法线的方向余弦）上并包围面积为 s 的按段光滑封闭曲线，求? cos ?- ycos ? +? cos ? -? cos ? +? cos ?-? cos ?,?其中 c 是依正方向进行的。八、求证广义积分sin ?2?0?在|p|1 上收敛。2000年华南师范大点学数学分析一、填空题（ 3*10=30 分）1.设_lim_,lim,2, 1,4sin)1(nnnnnnaanna则；2.设处连续；在则为无理数为有理数_)(,)(xxfrxxxxxxf3._;1lim10dxxxnn4._;)cos(sinlim10 xxxx5.方程)(032为实常数ccxx在区间 0,1 中至多

4、有 _个根；6._;_), 1()(1122nnnniinnaxdxi的递推公式，写出为自然数设7.设_;_)(,)(),(cossin0dutfdttfyxuyx是可微函数，则8.),(yxf设在 p0(2,0)处可微，且在p0处指向 p1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在 p0处指向 p2(1,2)的方向导数是_; 9.写出函数在x=0 处的幂级数展开式：_;_sin2x10.曲线20,sin,cos33ttaytax的弧长 s=_. 二、 (12 分 )设 f(x) 在0,+)上连续，)(limxfx存在，证明：f(x) 在0,+)上可取得最大值或最小值. 三、 (

5、12 分 )设函数 z=z(x,y), 由方程)(222yzyfzyx所确定，其中f 是可微函数，试证：xzyzxyxzzyx22)(222. 四、（ 12 分）求极限：)22211(lim222nnnnnnnn. 五、（ 12 分）已知a,b 为实数，且1a 1)(2)lim? 0(1 + ?2)1?二、证明：若f(x) 在a, + )上连续，且 lim?f x= a(有限数 )，则 f(x) 在a, + )上一致力连续。三、求 f(x)=lnx 在 x=1 处的泰勒公式。四、证明：函数列?(? )在a,b上一致收敛于f(x) 的充要条件是 lim? - ? = 0五、求函数f(x,y)=

6、?2+ ?2在条件 x+y-1=0 下的条件极值。六、 c 是平面上任一条无重点、光滑的包含原点的封闭曲线，其方向是逆时针方向，计算?-?2+ ?2?七、求由球面 ?2+ ?2+ ?2= ?2和圆柱面 ?2+ ?2=?24所围成空间区域的体积。八、计算i=?-?-?-?+ 0?,其中 0 ? 0,且 ?递减趋于零，证明( - 1)? =1?1+ ?2+ +?收敛2003年华南师范大学数学分析一、 (12 分 )求极限).) 12)(12(1531311(limnnn二、 (12 分 )设.,11, 11:),(2dxdyxyyxyxdd求积分三、 (12 分)证明1331nxnnx在a,b上一

7、致收敛 (其中， 0ab+);在(0,+)上不一致收敛；并证明：函数s(x)=1331nxnnx在(0,+)上连续 . 四、 (12 分 )求第二型曲线积分dyxdxyl333132，其中，12:22yxl，取逆时针方向。五、 (12 分)f(x) 是(a,+)上的连续函数，求证：如果)(limxfax和)(limxfx都存在 (有限 )，那么， f(x) 在(a,+)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。六、 (15 分 )设dxyxfa),(关于,dcy一致收敛，而且，对于每个固定的,dcy，f(x,y) 关于 x 在a,+)上单调减少。求证：当x时，函数xf(

8、x,y) 和 f(x,y) 关于,dcy一致地收敛于0. 2004年华南师范大学数学分析1.(12 分)设, 2, 1,)11(nnann证明数列na严格单调增加且收敛。2.(12 分)求函数0, 00,1sin)(2xxxxxf的导函数，并讨论导函数的连续性。3.(12 分)求幂级数nnnnxn)21()1(21的收敛半径和收敛域。4.(12 分)求函数xxxf0,00, 1)(的 fourier 级数，并由此求数列级数：121)1(51311nn的和。5.(12 分 )设f(x) 在 a,b 上连续，在(a,b)内可导(0a0. 7.(20 分)设 l 是平面区域的边界曲线， l 光滑。

9、u(x,y)在上二阶连续可微，用格林公式证明：dsnudxdyyuxul)(2222.其中 n是 l 上的单位外法向量，nu是 u沿 n 方向的方向导数 . 8.(20 分)设 f(x)的导函数)(xf在0,1上连续，且)0(f0，证明瑕积分)1( ,)0()(10pdxxfxfp.当 1p0 时，maaan21，证明na收敛。5.已知函数 f(x)在a,+)上连续， g(x)在a,+)上一致连续，)()(limxgxfx存在，证明f(x) 在a,+)上一致连续。6.f(x)在(- ,0)上有),1()(lim)(lim),()(03fxfxfxfxfxx且. 7.f(x)、g(x)在a,+)

10、上可微，当,)()(xgxfax时，有8.f(x,y) 在 d 内关于偏导数y 连续，),(yxfx在 d 上存在且有界，求证f(x,y) 在 d 上连续。9.已知一条封闭曲线l,n 为它的外法向量,l是任意方向的向量，求证.0),cos(dsnll2011年华南师范大学数学分析1.设12,.,naaa为 n 个正数，求xxnxxxxaaa121lim,xxnxxxxaaa1210lim2. 设xf 连续，f(0)=1,试讨论函数cos,00 ,0fxxxg xxfx的导函数在x=0 处的连续性，并求出0g的值3. 证明 f(x)=1sinx在, 0上非一致连续)0,(),1()(xfxf求证

11、.)()()()(agxgafxf求4. 设 f(x) 在a,b可积，且对任意的,xa b,0 xf,存在,xa b使得0lim0 xfxx，则有0dxxfba5. 判断当0时，反常积分dxxx1sin110的绝对收敛与条件收敛6. 证明函数项级数121nnxx在1 ,0上一致收敛，但11nnxx在1 ,0上非一致收敛7. 证明函数221sin,0,0,0,0,0 xyx yxyfx yx y在原点0,0连续，偏导存在，可微，但偏导在0, 0点不连续。8. 设 幂 级 数1nnnxa在1x内 收 敛 于xf， 如 果0limnnna，sxfx0lim， 试 证1nnsa9. 求22xdyydx

12、xy, 曲线是以1,1为圆心，以r为半径的圆，其中2r2014年华南师范大学数学分析一、 （15 分）设lim,limnnnnaabb，证明：1211limnnnna ba ba babn. 二、 （15 分）设lim( ),lim( ),uxf uag x证明：lim( )xf g xa. 三、 （15分） 设( )01f x 在，上连续， 在01 ，上可导， 并且(1)=0f， 证明： 存在0,1，使得3 ( )( )ff. 四、 （15 分）设3,3,( )21,39,13 sin,99xxxf xxxxxx讨论( )f x的连续性，并指出其间断点的类型. 五、 （20 分） 设( )(

13、 ),f xxa b、在上可积，试证明：01lim() ()( ) ( )nbiiiatifxf xx dx，其中,ii是t所属区间1,(1,2, )iixxin中的任意两点 . 六、 （20 分）设na为单调递增的正数列，试证明级数11(1)nnnaa收敛的充要条件是数列na收敛. 七、 （20 分） 设00( , )(,)xfx yxy在存在，00( , )(,)yfx yxy在连续，证明：( , )f x y在00(,)xy 可微. 八、 （ 15分 ） 设d是 以 光 滑 闭 曲 线l为 边 界 的 平 面 区 域 ，( ,)( , )u x yv x yd，在上有二阶连续偏导数，2222uuuxy记，n是l上区域d的外法向量.利用 g