选修22导数及其应用典型例题

1、第一章导数及其应用1.1变化率与导数【知识点归纳】1平均变化率：2瞬时速度：3导数及导函数的概念：4. 导数的几何意义：拓展知识：5. 平均变化率的几何意义:6. 导数与切线的关系：【典型例题】 题型一求平均变化率: 例1.已知函数y二f(x) =2x2 -1的图像上一点(1,1)及其邻近一点 (V ：x,V ：y)，则x 变式训练：1 21.以Vo(Vo 0)速度竖直向上抛出一物体，t秒时的高度为s(t)二v°t-?gt，求物体在to到 to 氏这段时间的平均速度 V.312.求正弦函数"nx在x = 0和附近的平均变化率，并比较他们的大小题型二实际冋题中的瞬时速度cm,

2、时间单位：s)例2已知质点M按规律s =2t2 3做直线运动(位移单位:(1)当 t =2,. ：t =0.01 时,(2)当 t =2, . ：t =0.001 时,3(3)求质点M在t=2时的瞬时速度题型三求函数的导数及导函数的值1例3求函数y二x 在X = 1处的导数.X题型四曲线的切线问题例4 (1)已知曲线y = 2x2上一点A( 1，2)，求点A处的切线方程(2) 求过点(-1，-2)且与曲线y=2x-x3想切的直线方程.1(3) 求曲线f(x)x3-x2 5在x=1处的切线的倾斜角.(4)曲线y=x3在点P处的切线斜率为 3,求点P的坐标.1.2导数的计算【知识点归纳】1常见函数

3、的导数:2基本初等函数的导数公式:3导数的运算法则:4复合函数的导数:【典型例题】题型一基本初等函数导数公式运用例1给出下列结论：J!JT11(cos)'-si n；若 y 2，则 y> -2x"；若 f(x)=3x，则f 1 3=662x 1 若=坂，贝y y"=_yx3其中正确的是.题型二导数运算法则的应用例2求下列函数的导数：(1) y=1x5+'x3 ； (2) y=lgx-ex ； (3) -iLcosx ; (4) y=x si n Jcos'.53Vx22变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正| -| 21 cos

4、x 2x(1 cosx) x sin x() -xx题型三复合函数求导的应用例7求下列函数的导数.3 2 1(1) y = (1 cos2x) ; (2) y = sinx变式训练：求函数y =(2x2 -3)、. 1 x2的导数题型四切线方程及应用例4曲线y =sin x ex在点(0，1)处的切线方程是?3变式训练：曲线y=xx-2在P处的切线平行于直线y=4x-1，则点 P的坐标为题型 五 利用导数求参数问题例5若曲线y = x3 + ax在坐标原点处的切线方程是2x - y = 0 ,则实数a=xe变式训练：若函数f (x) 在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值 题型 六 对

5、数求导数的应用（选讲） 例6求下列函数的导数(1) y =(x _1)(x _2)(x_3)(x3);(2) (x 1)(x 2)(x 3)/1、(2) y(x );2x+12题型七求导数的实际应用例7有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s （单位：m）关于时间t （单位s）的函数为s =s（t） =5 - J25-9t2 求函数在t=时的导数，并解释它的实际意义 .151.3导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数 【知识点归纳】1函数的单调性与其导数的关系：2利用导数求函数的单调区间：3导数的绝对值的大小与图像的关系(选讲)：【典型例题】题型一里用导数的信息确定函

6、数大致图像例1已知导函数f(X)的下列信息：当 2 x : 3 时，f(x厂：0 ；当 x 3 或 x：2 时，f (x) . 0 ；当 x =3或 x =2时，f (x) =0 ；试画出函数f (x)图像的大致形状.题型二判断或者证明函数的单调性例2试判断函数f (x) = In x x在其定义域上的单调性、.In x变式训练：证明：函数f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数题型三求函数的单调性例3确定函数f (x) =2x3 -6x27的单调区间变式训练：求函数y = x -X3的单调性.题型 四 含有参数的函数的单调性例4已知函数f (x) = In x -ax2 (2 -a)x，讨论

7、f (x)的单调性a的取值范围ax +1变式训练：已知函数f(x)二二在 W内单调递增，求实数1.3.2导数的极值与导数【知识点归纳】1导数的极值的概念:2导数的极值的判断和求法:【典型例题】题型一求函数的极值 例1求下列函数的极值:(2) y = x21n x.(1) y 二 x2 _7x 6 ；一32变式训练：设 f(x)二X ax bx 1的导数f (x)满足f (1) = 2a, f (2)二-b，其中常数a,b R.(1)求曲线y二f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)设g(x)二f (x)e»，求函数g(x)的极值.题型二判断函数极值点的情况例2判断下列函数有无极

8、值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由.11 2（1） f（x） x 4 ；（ 2） f（x） x x 4x ；（ 3） f （x） = 1 - （x - 2）3 33、 . ” 2变式训练：设函数f （x） = ax bln x，其中ab = 0证明：当ab 0时，函数f （x）没有 极值点，当ab :0时屈数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值题型三导函数的图像与函数极值的关系例3函数f （x）的定义域为开区间（a，b），导函数f' （乂）在（a, b）内的图象如图所示，则函数f （x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A 1个 B.2个 C.3个D.4个题型

9、四极值的逆向问题例4已知函数f (x) = ax4 In x bx4 _c(x 0)在x=1处取得极值-3-c,其中(1) 试确定a, b的值.(2) 讨论函数f (x)的单调区间.综上：a，b为常数.没有“拐点”若说明函数没有极值， 一般不讨论有无导数， 而是在区间上只有一个单调性,1.3.3函数的最大小值与导数【知识点归纳】1最大小值与极值的关系:2求最大小值的步骤：3.开区间的最值问题：【典型例题】题型 一利用导数求函数最值问题例1求函数f(xx5 5x4 5x31在区间-1,4上的最大值和最小值一 _.3变式训练：设函数f(x)=ax bx飞心=0)为奇函数，其图像在(1,f(1)处的

10、切线与直线 x-6y -7 =0垂直，导数的最小值为-12.(1 )求a，b，c的值.(2)求函数f (x)的单调递增区间，并求函数f (x)在-1,3上的最大小值题型二含参数最值问题例2设a为常数，求函数f （x）二-x33ax（0 zx乞1）的最大值.11变式训练：1设 f （x） - - - x3- x22ax32（1） 若f （x ）在（？，：）上存在单调递增区间，求a的取值范围316（2） 当0 ： a ： 2时,f（x）在1,4上的最小值为，求f （x）在该区间上的最大值3题型 三 由函数的最值求参数的值2 3 32V6例3设 a ： 1，函数f （x）二x ax 飞（-仁乂二1）

11、的最大值为1，最小值为3 22求a， b的值.(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出L的最大值Q(m).1.4生活中的优化问题【知识点归纳】 利用求函数的最大小值的方法求实际应用中的最优化问题函数的极值与端点值的比较【典型例题】题型一利润最大问题例1某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可 以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0乞X乞21)的平方成正比，已知商品单价降低 2元时，一星期多卖出 24件.(1) 将一星期的商品销售利润表示成x的函数(2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大变式训练：某

12、分公司经销某种品牌的产品， 每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公 司交m (3<m<5)元的管理费，预计当每件产品的售价为 x (9$<11)元时，一年的销售量 为(12-x) 2万件.(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式；题型二用料最省、费用最低问题例2如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x, y (单位：米)的矩形，上部是斜边长为 x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.(I)求x, y的关系式，并求x的取值范围；(H)问x, y分别为多少时用料最省？变式训练：某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，

13、长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为空立方米，且I K2r 假设该容器的建3造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c> 3)千元设该容器的建造费用为y千元.(I)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(H)求该容器的建造费用最小时的r 题型三面积、体积最值问题2例3如图在二次函数 f(x)=4x-X的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD ,求这个内接矩形的最大面积 变式训练：请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图

14、所示).试问当帐篷的顶点 0到底面中心的距离为多少时，帐篷 的体积最大？1.5定积分的概念【知识点归纳】 定积分的概念：定积分的性质：【典型例题】题型一利用定义计算积分24 (3x 2)dx例1利用定积分定义，计算题型二求曲边梯形的面积3例2利用定积分的定义求出直线x=1，x=2和y=0及曲线y = x围成的图形的面积1.6微积分基本定理【知识点归纳】1牛顿一莱布尼茨公式:2定积分的取值：3.定积分的一些性质:【典型例题】题型一求简单函数的定积分例1求下列函数的定积分：（1）21 2(x ) dX ；( 2) 2sinxdx ；1X一2(3)4 '、x(1, x)dx ；题型二求分段函

15、数的定积分例2求函数f（X）二 X2,2X,X 0,1X 1,2在区间0，3上的定积分x 2,3(2)。2口莎dx2 2变式训练：求定积分：(1 ) (° x-1dx ；题型三定积分的实际应用例3汽车以每小时 36 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车的减速度为2a =1.8 m /s刹车，求从开始停车到停车，汽车的走过的距离变式训练：等比数列 3鳥中，a3 =6，前三项和Sj = ：4xdx，则公比q的值是多少?1.7 定积分的简单应用【知识点归纳】1常见的平面图形的面积求法:2定积分在物理公式中的应用:【典型例题】题型 一用定积分求平面图形的面积例1求曲线y=x2与y=x所围成的图形的面积变式训练：求由抛物线2X2y =5，y-x-