2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(天津卷)理 (2)

1、1 / 9 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类) 选择题:共 40 分 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 天津,理 1)i 是虚数单位,复数7+i3+4i=( ). a.1-i b.-1+i c.1725+3125i d.-177+257i 答案:a 解析:7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,故选 a. 2.(2014 天津,理 2)设变量 x,y 满足约束条件 + -2 0,-2 0, 1,则目标函数 z=x+2y 的最小值为( ). a.2 b.3 c.4 d

2、.5 答案:b 解析:画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分). 由 z=x+2y,得 y=-12x+12z, 作直线 l:y=-12x,平移 l,由图形可知当 l 经过可行域中的点 a(1,1)时,z 取最小值,且 zmin=1+21=3,故选 b. 3.(2014 天津,理 3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,输出 s 的值为( ). a.15 b.105 c.245 d.945 答案:b 解析:第一次执行循环体 t=21+1=3,s=13=3,i=2; 第二次执行循环体 t=22+1=5,s=35=15,i=3; 第三次执行循环体 t=23+1=7,s=157=105,i=4. 这

3、时满足 i4,跳出循环,输出 s=105,故选 b. 4.(2014 天津,理 4)函数 f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间为( ). a.(0,+) b.(-,0) c.(2,+) d.(-,-2) 答案:d 2 / 9 解析:由 x2-40 得 x2 或 x0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ). a.25220=1 b.22025=1 c.322532100=1 d.321003225=1 答案:a 解析:由于双曲线焦点在 x 轴上,且其中一个焦点在直线 y=2x+10 上,所以 c=5. 又因为一条渐近线

4、与 l 平行,因此=2,可解得 a2=5,b2=20,故双曲线方程为25220=1,故选 a. 6.(2014 天津,理 6)如图,abc 是圆的内接三角形,bac 的平分线交圆于点 d,交 bc 于点 e,过点 b的圆的切线与 ad 的延长线交于点 f.在上述条件下,给出下列四个结论:bd 平分cbf;fb2=fd fa;ae ce=be de;af bd=ab bf.则所有正确结论的序号是( ). a. b. c. d. 答案:d 解析:由弦切角定理知fbd=bad, ad 平分bac,cbd=cad, bad=dbc. fbd=cbd,即 bd 平分cbf,正确; 由切割线定理知,正确;

5、 由相交弦定理知,aeed=beec,不正确; abfbdf,=. afbd=abbf,正确.故选 d. 7.(2014 天津,理 7)设 a,br,则“ab”是“a|a|b|b|”的( ). a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充要条件 d.既不充分又不必要条件 答案:c 解析:令 f(x)=x|x|,则 f(x)=2,x 0,-2,x bf(a)f(b),故“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件,故选 c. 8.(2014 天津,理 8)已知菱形 abcd 的边长为 2,bad=120 ,点 e,f分别在边 bc,dc 上,be=bc,df=dc.若 =1, =-23,则 +=(

6、 ). a.12 b.23 c.56 d.712 答案:c 3 / 9 解析:由于菱形边长为 2,所以 be=bc=2,df=dc=2,从而 ce=2-2,cf=2-2. 由 =1, 得( + )( + ) = + + + =22cos 120 +2(2)+22+22cos 120 =-2+4(+)-2=1, 所以 4(+)-2=3. 由 =-23,得(2-2)(2-2)(-12)=-23,所以 =+-23, 因此有 4(+)-2(+)+43=3, 解得 +=56,故选 c. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.(2014 天津,理 9)某大学为了解在校本科生对

7、参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4556,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 答案:60 解析:依题意知,应从一年级本科生中抽取44+5+5+6300=60(名). 10.(2014 天津,理 10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3. 答案:203 解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其上部是一个圆锥,且底面圆半径为 2,高为 2;下部是一个圆柱,底面圆半径为 1,高为 4,故该几何体的体积 v=13222+124=8

8、3+4=203. 11.(2014 天津,理 11)设an是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,sn为其前 n 项和.若 s1,s2,s4成等比数列,则 a1的值为 . 答案:-12 解析:由已知得 s1=a1,s2=a1+a2=2a1-1,s4=4a1+432(-1)=4a1-6,而 s1,s2,s4成等比数列,所以(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理得 2a1+1=0,解得 a1=-12. 12.(2014 天津,理 12)在abc 中,内角 a,b,c 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=14a,2sin b=3sin c,则 cos a的值为 . 答案:-14 解析:由

9、2sin b=3sin c,结合正弦定理得 2b=3c, 又 b-c=14a,所以 b=32c,a=2c. 由余弦定理得 cos a=2+2-22 4 / 9 =(32c)2+2-(2c)2232cc=-14. 13.(2014 天津,理 13)在以 o 为极点的极坐标系中,圆 =4sin 和直线 sin =a 相交于 a,b两点,若aob是等边三角形,则 a 的值为 . 答案:3 解析:由 =4sin 可得 2=4sin ,所以 x2+y2=4y. 所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,其圆心为 c(0,2),半径 r=2; 由 sin =a,得直线的直角坐标方程为 y=a,由于aob是

10、等边三角形,所以圆心 c 是等边三角形 oab的中心,若设 ab的中点为 d(如图). 则 cd=cbsin 30 =212=1,即 a-2=1,所以 a=3. 14.(2014 天津,理 14)已知函数 f(x)=|x2+3x|,xr.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为 . 答案:(0,1)(9,+) 解析:在同一坐标系中分别作出函数 f(x)与 y=a|x-1|的图象,由图知,当 a=0 时,两函数的图象只有 2 个交点,当a0. 若曲线 y=-x2-3x(-3x0)与直线 y=-a(x-1)(x1)相切,联立方程得 x2+(3-a)x+

11、a=0,则由 =0 得 a=1(a=9 舍去),因此当 0a0)与直线 y=a(x-1)(x1)相切,联立方程得 x2+(3-a)x+a=0,则由 =0 可得 a=9(a=1 舍去), 因此当 a9 时,f(x)的图象与 y=a|x-1|的图象有 4 个交点,故当方程有 4 个互异实数根时,实数 a 的取值范围是(0,1)(9,+). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)(2014 天津,理 15)已知函数 f(x)=cos x sin( +3) 3cos2x+34,xr. (1)求 f(x)的最小正周期; (2

12、)求 f(x)在闭区间-4,4上的最大值和最小值. 分析:(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式,化简函数解析式为一个角的三角函数的形式,再求周期. (2)可利用函数 f(x)在区间-4,4上的单调性求最值. 解:(1)由已知,有 f(x)=cos x(12sin +32cos) 3cos2x+34=12sin xcos x-32cos2x+34=14sin 2x-34(1+cos 2x)+34=14sin 2x-34cos 2x=12sin(2-3). 所以,f(x)的最小正周期 t=22=. (2)因为 f(x)在区间-4,-12上是减函数,在区间-12,4上是增函数,

13、f(-4)=-14,f(-12)=-12,f(4) =14, 所以,函数 f(x)在闭区间-4,4上的最大值为14,最小值为-12. 5 / 9 16.(本小题满分 13 分)(2014 天津,理 16)某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 x为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 x 的分布列和数学期望. 分析:

14、(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解. (2)根据随机变量 x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列,再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望. 解:(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 a,则 p(a)=c31c72+c30c73c103=4960. 所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量 x的所有可能值为 0,1,2,3. p(x=k)=c4c63-c103(k=0,1,2,3). 所以,随机变量 x的分布列为 x 0 1 2 3 p 16 12 310 130 随机变量 x的数学期望 e(x)=016+112+2310+

15、3130=65. 17.(本小题满分 13 分)(2014 天津,理 17)如图,在四棱锥 p-abcd 中,pa底面abcd,adab,abdc,ad=dc=ap=2,ab=1,点 e为棱 pc 的中点. (1)证明:bedc; (2)求直线 be与平面 pbd 所成角的正弦值; (3)若 f为棱 pc 上一点,满足 bfac,求二面角 f-ab-p的余弦值. 分析:方法一:用向量方法解.通过建立空间直角坐标系,确定相关点的坐标.(1)用向量积为 0,证线线垂直.(2)设平面 pbd 的一个法向量.利用垂直关系确定法向量坐标,再由向量夹角公式求线面角.(3)确定出二面角的两个面的一个法向量,

16、由向量夹角公式求二面角余弦值.注意共线向量定理的应用. 方法二:几何证明法:(1)取 pd 中点 m.通过证明 abem 为平行四边形来证明线线平行.由已知线面垂直证线线垂直,再证线面垂直.由此证得 cdam,故可得结论.(2)由线与面、线与线、面与面的垂直,寻找并证明线面角,再通过解三角形,求出线面角的正弦值.(3)利用垂直关系寻找并证明二面角的平面角为pag,再通过解三角形,利用余弦定理,求出二面角的余弦值. 方法一:依题意,以点 a为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 b(1,0,0),c(2,2,0),d(0,2,0),p(0,0,2). 由 e为棱 pc 的中点,得 e(1,1,1

17、). (1)证明:向量 =(0,1,1), =(2,0,0), 故 =0.所以 bedc. (2)解:向量 =(-1,2,0), =(1,0,-2). 6 / 9 设 n=(x,y,z)为平面 pbd 的法向量, 则bd = 0,pb = 0,即- + 2 = 0,-2 = 0. 不妨令 y=1,可得 n=(2,1,1)为平面 pbd 的一个法向量. 于是有 cos=be |be |=262=33. 所以,直线 be与平面 pbd 所成角的正弦值为33. (3)解:向量 =(1,2,0), =(-2,-2,2), =(2,2,0), =(1,0,0). 由点 f在棱 pc 上,设 = ,01.

18、 故 = + = + =(1-2,2-2,2). 由 bfac,得 =0, 因此,2(1-2)+2(2-2)=0,解得 =34. 即 = (-12,12,32). 设 n1=(x,y,z)为平面 fab 的法向量, 则1ab = 0,1bf = 0,即 = 0,-12x +12y +32z = 0. 不妨令 z=1,可得 n1=(0,-3,1)为平面 fab的一个法向量. 取平面 abp的法向量 n2=(0,1,0). 则 cos=12|1|2|=-3101=-31010. 易知,二面角 f-ab-p是锐角,所以其余弦值为31010. 方法二:(1)证明:如图,取 pd 中点 m,连接 em,

19、am. 由于 e,m 分别为 pc,pd 的中点,故 emdc,且 em=12dc, 又由已知,可得 emab且 em=ab,故四边形 abem 为平行四边形,所以 beam. 因为 pa底面 abcd,故 pacd,而 cdda,从而 cd平面 pad, 因为 am平面 pad,于是 cdam, 又 beam,所以 becd. (2)解:连接 bm.由(1)知 cd平面 pad,得 cdpd,而 emcd,故 pdem. 又因为 ad=ap,m 为 pd 的中点,故 pdam,可得 pdbe, 所以 pd平面 bem,故平面 bem平面 pbd. 所以,直线 be在平面 pbd 内的射影为直

20、线 bm,而 beem, 可得ebm 为锐角,故ebm 为直线 be与平面 pbd 所成的角. 依题意,有 pd=22,而 m 为 pd 中点,可得 am=2,进而 be=2. 故在直角三角形 bem 中,tanebm=12,因此 sinebm=33. 所以,直线 be与平面 pbd 所成角的正弦值为33. (3)解:如图.在pac 中,过点 f 作 fhpa交 ac 于点 h. 因为 pa底面 abcd,故 fh底面 abcd,从而 fhac. 7 / 9 又 bfac,得 ac平面 fhb,因此 acbh. 在底面 abcd 内,可得 ch=3ha,从而 cf=3fp. 在平面 pdc 内

21、,作 fgdc 交 pd 于点 g,于是 dg=3gp. 由于 dcab,故 gfab,所以 a,b,f,g 四点共面. 由 abpa,abad,得 ab平面 pad,故 abag. 所以pag 为二面角 f-ab-p 的平面角. 在pag 中,pa=2,pg=14pd=22,apg=45 ,由余弦定理可得 ag=102,cospag=31010. 所以二面角 f-ab-p的余弦值为31010. 18.(本小题满分 13 分)(2014 天津,理 18)设椭圆22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 f1,f2,右顶点为 a,上顶点为 b.已知|ab|=32|f1f2|. (1)求椭圆的离心

22、率; (2)设 p为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 pb为直径的圆经过点 f1,经过原点 o 的直线 l 与该圆相切,求直线 l的斜率. 分析:(1)由题知 a(a,0),b(0,b),|f1f2|=2c,因此可由已知条件结合 b2=a2-c2,求出离心率. (2)由(1)可设出只含一个参数 c 的椭圆标准方程,设出 p 点坐标.由以 pb为直径的圆过 f1知 pf1bf1,得 p点坐标关系.由 p点在椭圆上,得 p点坐标另一关系,由此确定 p点坐标.再根据过原点的直线 l 与圆相切,列出斜率 k 的方程,即可求出 k 值. 解:(1)设椭圆右焦点 f2的坐标为(c,0). 由|ab|=32|

23、f1f2|,可得 a2+b2=3c2, 又 b2=a2-c2,则22=12. 所以椭圆的离心率 e=22. (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. 故椭圆方程为222+22=1. 设 p(x0,y0). 由 f1(-c,0),b(0,c), 有1p =(x0+c,y0),1b =(c,c). 由已知,有1p 1b =0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c0,故有 x0+y0+c=0. 又因为点 p在椭圆上,故0222+022=1. 由和可得 302+4cx0=0. 而点 p不是椭圆的顶点,故 x0=-43c, 代入得 y0=3,即点 p的坐标为(-43,3). 设圆的圆心为 t(x1

24、,y1),则 x1=-43c+02=-23c,y1=3+c2=23c,进而圆的半径 r=(1-0)2+ (1-c)2=53c. 设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx. 由 l 与圆相切,可得|1-1|2+1=r, 即|(-23)-23|2+1=53c, 整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4 15. 所以,直线 l 的斜率为 4+15或 4-15. 19.(本小题满分 14 分)(2014 天津,理 19)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 m=0,1,2,q-1,集合a=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xim,i=1,2,n. (1)当 q

25、=2,n=3 时,用列举法表示集合 a; (2)设 s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中 ai,bim,i=1,2,n.证明:若 anbn,则 st. 8 / 9 分析:在第(1)问中,由于 q 和 n 的值已给出,因此集合 m 确定,从而 xi的取值确定.只需列出 x 的所有可能的取值,即得集合 a.在第(2)问中,考虑到 s 和 t 表达式的结构特点,应采用作差法证明它们的大小关系.在 s-t 的表达式中,由于 ai与 bi(i=1,2,3,n-1)的大小关系不确定,因此可将 ai-bi(i=1,2,n-1)统一放大为其最大值 q-1,而 anbn

26、,可将 an-bn放大为其最大值-1,然后将 s-t 的表达式用等比数列求和公式化简,即可证得 s-t0. (1)解:当 q=2,n=3 时,m=0,1,a=x|x=x1+x22+x322,xim,i=1,2,3. 可得,a=0,1,2,3,4,5,6,7. (2)证明:由 s,ta,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,bim,i=1,2,n 及 anbn, 可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1 (q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1 =(-1)(1-1)1-qn-1=-10. 所以,st. 20.(本小题满分 14 分)(2014 天津,理 20)设 f(x)=x-aex(ar),xr.已知函数 y=f(x)有两个零点 x