2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)文 (2)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第卷每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题:本大题共

2、10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013江西,文1)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在(). a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案:d解析:z=i(-2-i)=1-2i,在复平面上的对应点为(1,-2),在第四象限,故选d.2.(2013江西,文2)若集合a=xr|ax2+ax+1=0中只有一个元素,则a=().a.4b.2c.0d.0或4答案:a解析:当a=0时,显然不成立;当a0时.由=a2-4a=0,得a=4.故选a.3.(2013江西,文3)若sin 2=33,则cos =().a.-2

3、3b.-13c.13d.23答案:c解析:cos =1-2sin22=1-2×332=13.故选c.4.(2013江西,文4)集合a=2,3,b=1,2,3,从a,b中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是().a.23b.12c.13d.16答案:c解析:从a,b中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为26=13.故选c.5.(2013江西,文5)总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5

4、列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481a.08b.07c.02d.01答案:d解析:所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选d.6.(2013江西,文6)下列选项中,使不等式x<1x<x2成立的x的取值范围是().a.(-,-1)b.(-1,0)c.(0,1)d.(1,+)答案:a解析:原不等式等价于x>0,x2<1<x3,或x<0,x2>1>x3,无解,解得x<-1

5、.故选a.7.(2013江西,文7)阅读如下程序框图,如果输出i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是().a.s<8b.s<9c.s<10d.s<11答案:b解析:i=2,s=5;i=3,s=8;i=4,s=9,结束.所以填入的条件是“s<9”.故选b.8.(2013江西,文8)一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为().a.200+9b.200+18c.140+9d.140+18答案:a解析:由三视图可知,该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成.所以体积v=4×10×5+12×·32·2=2

6、00+9.故选a.9.(2013江西,文9)已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,射线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|mn|=().a.25b.12c.15d.13答案:c解析:射线fa的方程为x+2y-2=0(x0).如图所示,知tan =12,sin =55.由抛物线的定义知|mf|=|mg|,|fm|mn|=|mg|mn|=sin =55=15.故选c.10.(2013江西,文10)如图,已知l1l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆o在t=0时与l2相切于点a,圆o沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos

7、x,则y与时间t(0t1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为().答案:b解析:假设经过t秒后,圆心移到o1,则有eo1f=2ao1f,且cosao1f=1-t.而x=1·eo1f,y=cos x=cos eo1f=cos 2ao1f=2cos2ao1f-1=2(1-t)2-1=2t2-4t+1=2(t-1)2-1,t0,1.故选b.第卷注意事项:第卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答,答案无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013江西,文11)若曲线y=x+1(r)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则=. 答

8、案:2解析:切线斜率k=2-01-0=2,又y'=x-1在点(1,2)处,y'|x=1=,故=2.12.(2013江西,文12)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nn*)等于. 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以sn=2(1-2n)1-2=2(-1+2n)100,2n51,n6.13.(2013江西,文13)设f(x)=3sin 3x+cos 3x,若对任意实数x都有|f(x)|a,则实数a的取值范围是. 答案:2,+)解析:f(x)=3sin

9、 3x+cos 3x=2sin3x+6-2,2,又|f(x)|a恒成立,a2.14.(2013江西,文14)若圆c经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆c的方程是. 答案:(x-2)2+y+322=254解析:圆心在直线x=2上,所以切点坐标为(2,1).设圆心坐标为(2,t),由题意,可得4+t2=(1-t)2,t=-32,半径r2=254.所以圆c的方程为(x-2)2+y+322=254.15.(2013江西,文15)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且abcd,则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为. 答案:4解析:作fo平面

10、ced,则eocd,fo与正方体的侧棱平行,所以平面eof一定与正方体的左、右侧面平行,而与其他四个面相交.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(2013江西,文16)(本小题满分12分)正项数列an满足:an2-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=1(n+1)an,求数列bn的前n项和tn.解:(1)由an2-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于an是正项数列,所以an=2n.(2)由an=2n,bn=1(n+1)an,则bn=12n(n+1)=121n-1n+1,tn=121

11、-12+12-13+1n-1-1n+1n-1n+1=121-1n+1=n2(n+1).17.(2013江西,文17)(本小题满分12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知sin asin b+sin bsin c+cos 2b=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若c=23,求ab的值.解:(1)由已知得sin asin b+sin bsin c=2sin2b,因为sin b0,所以sin a+sin c=2sin b.由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由c=23,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0

12、,所以ab=35.18.(2013江西,文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以o为起点,再从a1,a2,a3,a4,a5,a6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为x,若x>0就去打球,若x=0就去唱歌,若x<0就去下棋.(1)写出数量积x的所有可能取值;(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.解:(1)x的所有可能取值为-2,-1,0,1.(2)数量积为-2的有oa2·oa5,共1种;数量积为-1的有oa1·oa5,oa1·oa6,oa2·oa4,oa2

13、·oa6,oa3·oa4,oa3·oa5,共6种;数量积为0的有oa1·oa3,oa1·oa4,oa3·oa6,oa4·oa6,共4种;数量积为1的有oa1·oa2,oa2·oa3,oa4·oa5,oa5·oa6,共4种.故所有可能的情况共有15种.所以小波去下棋的概率为p1=715;因为去唱歌的概率为p2=415,所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-415=1115.19.(2013江西,文19)(本小题满分12分)如图,直四棱柱abcda1b1c1d1中,abcd,adab,a

14、b=2,ad=2,aa1=3,e为cd上一点,de=1,ec=3.(1)证明:be平面bb1c1c;(2)求点b1到平面ea1c1的距离.(1)证明:过b作cd的垂线交cd于f,则bf=ad=2,ef=ab-de=1,fc=2.在rtbfe中,be=3.在rtcfb中,bc=6.在bec中,因为be2+bc2=9=ec2,故bebc.由bb1平面abcd得bebb1,所以be平面bb1c1c.(2)解:三棱锥ea1b1c1的体积v=13aa1·sa1b1c1=2.在rta1d1c1中,a1c1=a1d12+d1c12=32.同理,ec1=ec2+cc12=32,a1e=a1a2+ad

15、2+de2=23.故sa1c1e=35.设点b1到平面ea1c1的距离为d,则三棱锥b1a1c1e的体积v=13·d·sa1c1e=5d,从而5d=2,d=105.20.(2013江西,文20)(本小题满分13分)椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,a+b=3.(1)求椭圆c的方程;(2)如图,a,b,d是椭圆c的顶点,p是椭圆c上除顶点外的任意一点,直线dp交x轴于点n,直线ad交bp于点m,设bp的斜率为k,mn的斜率为m.证明:2m-k为定值.解:(1)因为e=32=ca,所以a=23c,b=13c.代入a+b=3,得c=3,a=

16、2,b=1.故椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)方法一:因为b(2,0),p不为椭圆顶点,则直线bp的方程为y=k(x-2)k0,k±12,代入x24+y2=1,解得p8k2-24k2+1,-4k4k2+1.直线ad的方程为:y=12x+1.与联立解得m4k+22k-1,4k2k-1.由d(0,1),p8k2-24k2+1,-4k4k2+1,n(x,0)三点共线知-4k4k2+1-18k2-24k2+1-0=0-1x-0,解得n4k-22k+1,0.所以mn的斜率为m=4k2k-1-04k+22k-1-4k-22k+1=4k(2k+1)2(2k+1)2-2(2k-1)2=2k+1

17、4,则2m-k=2k+12-k=12(定值).方法二:设p(x0,y0)(x00,±2),则k=y0x0-2,直线ad的方程为:y=12(x+2),直线bp的方程为:y=y0x0-2(x-2),直线dp的方程为:y-1=y0-1x0x,令y=0,由于y01可得n-x0y0-1,0,联立y=12(x+2),y=y0x0-2(x-2),解得m4y0+2x0-42y0-x0+2,4y02y0-x0+2,因此mn的斜率为m=4y02y0-x0+24y0+2x0-42y0-x0+2+x0y0-1=4y0(y0-1)4y02-8y0+4x0y0-x02+4=4y0(y0-1)4y02-8y0+4

18、x0y0-(4-4y02)+4=y0-12y0+x0-2,所以2m-k=2(y0-1)2y0+x0-2-y0x0-2=2(y0-1)(x0-2)-y0(2y0+x0-2)(2y0+x0-2)(x0-2)=2(y0-1)(x0-2)-2y02-y0(x0-2)(2y0+x0-2)(x0-2)=2(y0-1)(x0-2)-12(4-x02)-y0(x0-2)(2y0+x0-2)(x0-2)=12(定值).21.(2013江西,文21)(本小题满分14分)设函数f(x)=1ax,0xa,11-a(1-x),a<x1.a为常数且a(0,1).(1)当a=12时,求ff13;(2)若x0满足f(f

19、(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设a(x1,f(f(x1),b(x2,f(f(x2),c(a2,0),记abc的面积为s(a),求s(a)在区间13,12上的最大值和最小值.解:(1)当a=12时,f13=23,ff13=f23=21-23=23.(2)f(f(x)=1a2x,0xa2,1a(1-a)(a-x),a2<xa,1(1-a)2(x-a),a<x<a2-a+1,1a(1-a)(1-x),a2-a+1x1.当0xa2时,由1a2x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<xa时,由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-a2+a+1(a2,a),因fa-a2+a+1=1a·a-a2+a+1=1-a2+a+1a-a2+a+1,故x=a-a2+a+1为f(x)的二阶周期点:当a<x<a2-a+1时,由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-a(a,a2-a+1),因f12-a=11-a·1-12-a=12-a,故x=12-a不是f(x)的