2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学甲卷 (2)

1、绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2b铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸

2、刀。第卷一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 已知集合a=1,2,3,b=x|x2<9,则ab=(a)-2,-1,0,1,2,3(b)-2,-1,0,1,2(c)1,2,3(d)1,2(2) 设复数z满足z+i=3-i,则z=(a)-1+2i(b)1-2i(c)3+2i(d)3-2i(3) 函数y=asin(x+)的部分图像如图所示,则(a)y=2sin(2x-6)(b)y=2sin(2x-3)(c)y=2sin(x+6)(d)y=2sin(x+3)(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(a)12(b

3、)323(c)8(d)4(5) 设f为抛物线c:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与c交于点p,pfx轴,则k=(a)12(b)1(c)32(d)2(6) 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=(a)-43(b)-34(c)3(d)2(7) 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(a)20(b)24(c)28(d)32(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(a)710(b)58(c)38(d)310(9) 中国古

4、代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=(a)7(b)12(c)17(d)34(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(a)y=x(b)y=lg x(c)y=2x(d)y=1x(11) 函数f(x)=cos 2x+6cos(2-x)的最大值为(a)4(b)5(c)6(d)7(12) 已知函数f(x)(xr)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1mxi=(a)

5、0(b)m(c)2m(d)4m第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=. (14) 若x,y满足约束条件x-y+10,x+y-30,x-30,则z=x-2y的最小值为. (15) abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若cosa=45,cosc=513,a=1,则b=. (16) 有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“

6、我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通项公式;()设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.(18) (本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa

7、1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010()记a为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求p(a)的估计值;()记b为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求p(b)的估计值;()求续保人本年度平均保费的估计值.(19) (本小题满分12分)如图,菱形abcd的对角线ac与bd交于点o,点e,f分别在ad,cd上,ae=cf,ef交bd于点h.将def沿ef折到d'ef的位置.()证明:achd'()若ab=5,ac=6,ae=54

8、,od'=22,求五棱锥d'-abcfe的体积.(20) (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).()当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;()若当x(1,+)时,f(x)>0,求a的取值范围.(21) (本小题满分12分)已知a是椭圆e:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交e于a,m两点,点n在e上,mana.()当|am|=|an|时,求amn的面积;()当2|am|=|an|时,证明:3<k<2.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22) (本小

9、题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,在正方形abcd中,e,g分别在边da,dc上(不与端点重合),且de=dg,过d点作dfce,垂足为f.()证明:b,c,g,f四点共圆;()若ab=1,e为da的中点,求四边形bcgf的面积.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中,圆c的方程为(x+6)2+y2=25.()以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求c的极坐标方程;()直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin,(t为参数),l与c交于a,b两点,|ab|=10,求l的斜率.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(

10、x)=|x-12|+|x+12|,m为不等式f(x)<2的解集.()求m;()证明:当a,bm时,|a+b|<|1+ab|.试卷全解全析全国甲卷文科(1)d由x2<9,得-3<x<3,所以b=x|-3<x<3.因为a=1,2,3,所以ab=1,2.故选d.(2)c由z+i=3-i,得z=3-2i,所以z=3+2i,故选c.(3)a由题图知,a=2,周期t=23-6=,所以=2=2,y=2sin(2x+).方法一:因为函数图像过点3,2,所以2=2sin2×3+.所以23+=2k+2(kz).令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6,故选a

11、.方法二:因为函数图像过点-6,-2,所以-2=2sin2×-6+,所以2×-6+=2k-2,kz,即=2k-6,kz.令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6.故选a.(4)a设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=3a2,则r=3.所以该球的表面积为4×(3)2=12,故选a.(5)d因为f为抛物线y2=4x的焦点,所以f(1,0).又因为曲线y=kx(k>0)与抛物线交于点p,pfx轴,如图所示,可知p(1,2),故k1=2,解得k=2,故选d.(6)a由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1

12、)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以|a+4-1|a2+12=1,解得a=-43,故选a.(7)c因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为s=×422+4×4+12×4×(23)2+22=28,故选c.(8)b因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选b.(9)c由题意,得x=2,n=2,k=0,s=0,输入a=2,则s=0×2+2=2,k=1,继续循环;输入a=2,则s=

13、2×2+2=6,k=2,继续循环;输入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,退出循环,输出17.故选c.(10)dy=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+).y=x的定义域和值域均为r;y=lg x的定义域为(0,+),值域为r;y=2x的定义域为r,值域为(0,+);y=1x的定义域与值域均为(0,+).故选d.(11)b因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sinx-322+112,而sin x-1,1,所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选b.(12)b由题意可知,y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图像都关于x=1对称,所以它

14、们的交点也关于x=1对称.当m为偶数时,i=1mxi=2×m2=m;当m为奇数时,i=1mxi=2×m-12+1=m,故选b.(13)-6因为ab,所以-2m-4×3=0,解得m=-6.(14)-5作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x-2y,得y=12x-12z,故当直线y=12x-12z过点a时,-12z最大,z最小.由x-y+1=0,x=3,得a(3,4),所以z的最小值为3-2×4=-5.(15)2113因为cos a=45,cos c=513,且a,c为abc的内角,所以sin a=35,sin c=1213,sin b=sin-(a+c)=s

15、in(a+c)=sin acos c+cos asin c=6365.又因为asina=bsinb,所以b=asinbsina=2113.(16)1和3由丙说的话可知,丙的卡片上的数字可能是“1和2”或“1和3”.若丙的卡片上的数字是“1和2”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和3”,此时与甲说的话一致;若丙的卡片上的数字是“1和3”,则由乙说的话可知,乙的卡片上的数字是“2和3”,甲的卡片上的数字是“1和2”,此时与甲说的话矛盾.综上可知,甲的卡片上的数字是“1和3”.(17)解 ()设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a

16、1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.()由()知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+35<2,bn=1;当n=4,5时,22n+35<3,bn=2;当n=6,7,8时,32n+35<4,bn=3;当n=9,10时,42n+35<5,bn=4.所以数列bn的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(18)解 ()事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50200=0.55,故p(a)的估计值为0.55.()事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1

17、且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200=0.3,故p(b)的估计值为0.3.()由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.(19)解 ()由已知得acbd,ad=cd.又由ae=cf得aead=cfcd,故ace

18、f.由此得efhd,efhd',所以achd'.()由efac得ohdo=aead=14.由ab=5,ac=6得do=bo=ab2-ao2=4.所以oh=1,d'h=dh=3.于是od'2+oh2=(22)2+12=9=d'h2,故od'oh.由()知achd',又acbd,bdhd'=h,所以ac平面bhd',于是acod'.又由od'oh,acoh=o,所以,od'平面abc.又由efac=dhdo得ef=92.五边形abcfe的面积s=12×6×8-12×92&#

19、215;3=694.所以五棱锥d'-abcfe的体积v=13×694×22=2322.(20)解 ()f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f'(x)=ln x+1x-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.()当x(1,+)时,f(x)>0等价于ln x-a(x-1)x+1>0.设g(x)=ln x-a(x-1)x+1,则g'(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.()当a2,

20、x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+)单调递增,因此g(x)>0;()当a>2时,令g'(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.综上,a的取值范围是(-,2.(21)解 ()设m(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线am的倾斜角为4.又a(-2,0),因此直线am的方程为y=

21、x+2.将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此amn的面积samn=2×12×127×127=14449.()将直线am的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|am|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线an的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|an|=12k1+k23k2+4.由2|am|=|an|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增.又f(3)=153-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点k在(3,2)内.所以3<k<2.(22)解 ()因为dfec,所以defcdf,则有gdf