2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)

1、1 / 11 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(北北京卷京卷) 文科数学文科数学 1.(2017 北京,文 1)已知全集 u=r,集合 a=x|x2,则ua=( ) a.(-2,2) b.(-,-2)(2,+) c.-2,2 d.(-,-22,+) 解析因为 a=x|x2,所以ua=x|-2x2.故选 c. 答案 c 2.(2017 北京,文 2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a的取值范围是( ) a.(-,1) b.(-,-1) c.(1,+) d.(-1,+) 解析设 z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i

2、,因为复数 z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以 + 1 0,解得 a-1.故选 b. 答案 b 3.(2017 北京,文 3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) 2 / 11 a.2 b.32 c.53 d.85 解析当 k=0时,03 成立,第一次进入循环,k=1,s=1+11=2;13 成立,第二次进入循环,k=2,s=2+12=32;23 成立,第三次进入循环,k=3,s=32+132=53;33 不成立,输出 s=53.故选 c. 答案 c 4.(2017 北京,文 4)若 x,y满足 3, + 2, ,则 x+2y的最大值为( ) a.1 b.3 c.

3、5 d.9 解析由题意画出可行域(如图). 设 z=x+2y,则 z=x+2y 表示斜率为-12的一组平行线,当过点 c(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2 3=9.故选 d. 答案 d 5.(2017 北京,文 5)已知函数 f(x)=3x-(13),则 f(x) ( ) a.是偶函数,且在 r 上是增函数 b.是奇函数,且在 r 上是增函数 c.是偶函数,且在 r 上是减函数 d.是奇函数,且在 r 上是减函数 解析因为 f(x)的定义域为 r,f(-x)=3-x-(13)-= (13)-3x=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. 3 / 11 又 y=3x和 y=-(13

4、)在 r 上都为增函数,所以函数 f(x)在 r 上是增函数.故选 b. 答案 b 6.(2017 北京,文 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) a.60 b.30 c.20 d.10 解析由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为 5,3,4的长方体中的三棱锥 a-bcd,如图所示.故该几何体的体积是 v=1312 5 3 4=10.故选 d. 答案 d 7.(2017 北京,文 7)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ,使得 m=n”是“m n0”的( ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 4 / 11 解

5、析 m,n 为非零向量,若存在 0,使 m=n,即两向量反向,夹角是 180,则 m n=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若 m n0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数 ,使得m=n,所以“存在负数 ,使得 m=n”是“m n0,c=2+ 2= 1 + ,则离心率 e= 1 + = 3,解得 m=2. 答案 2 11.(2017 北京,文 11)已知 x0,y0,且 x+y=1,则 x2+y2的取值范围是 . 5 / 11 解析 x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x0,1,所以当 x=0或 1时,x2+y2取最大值 1;当 x=1

6、2时,x2+y2取最小值12.因此 x2+y2的取值范围为12,1. 答案12,1 12.(2017 北京,文 12)已知点 p 在圆 x2+y2=1上,点 a的坐标为(-2,0),o为原点,则 的最大值为 . 解析方法 1:设 p(cos ,sin ),r,则 =(2,0), =(cos +2,sin ), =2cos +4. 当 =2k,kz 时,2cos +4 取得最大值,最大值为 6. 故 的最大值为 6. 方法 2:设 p(x,y),x2+y2=1,-1x1, =(2,0), =(x+2,y), =2x+4,故 的最大值为 6. 答案 6 13.(2017 北京,文 13)能够说明“

7、设 a,b,c是任意实数,若 abc,则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b,c的值依次为 . 解析答案不唯一,如令 a=-1,b=-2,c=-3,则 abc,而 a+b=-3=c,能够说明“设 a,b,c是任意实数,若abc,则 a+bc”是假命题. 答案-1,-2,-3(答案不唯一) 14.(2017 北京,文 14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: ()男学生人数多于女学生人数; ()女学生人数多于教师人数; ()教师人数的两倍多于男学生人数. 若教师人数为 4,则女学生人数的最大值为 ; 该小组人数的最小值为 . 解析设男学生人数为 x,女学生人数为 y,教

8、师人数为 z, 6 / 11 则 x,y,z 都是正整数,且 , ,2 ,n*, 即 2zxyz,x,y,zn*. 教师人数为 4,即 z=4,8xy4,所以 y的最大值为 6,故女学生人数的最大值为 6. 由题意知 2zxyz,x,y,zn*. 当 z=1时,2xy1,x,y不存在; 当 z=2时,4xy2,x,y不存在; 当 z=3时,6xy3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为 5+4+3=12. 答案6 12 15.(2017 北京,文 15)已知等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求an的通项公式; (2)求和:b1+b

9、3+b5+b2n-1. 解(1)设等差数列an的公差为 d. 因为 a2+a4=10,所以 2a1+4d=10. 解得 d=2.所以 an=2n-1. (2)设等比数列bn的公比为 q. 因为 b2b4=a5,所以 b1qb1q3=9. 解得 q2=3.所以 b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 从而 b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3-12. 16.(2017 北京,文 16)已知函数 f(x)=3cos(2-3)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; 7 / 11 (2)求证:当 x-4,4时,f(x)-12. (1)解 f(x)=32cos

10、2x+32sin 2x-sin 2x =12sin 2x+32cos 2x =sin(2 +3). 所以 f(x)的最小正周期 t=22=. (2)证明因为-4x4, 所以-62x+356. 所以 sin(2 +3)sin(-6)=-12. 所以当 x-4,4时,f(x)-12. 17.(2017 北京,文 17)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100名学生,记录他们的分数,将数据分成 7 组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的 400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于 7

11、0的概率; (2)已知样本中分数小于 40的学生有 5 人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70,且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 8 / 11 解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于 70 的频率为(0.02+0.04) 10=0.6,所以样本中分数小于 70的频率为 1-0.6=0.4. 所以从总体的 400名学生中随机抽取一人,其分数小于 70 的概率估计为 0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于 50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02) 10=0.9,分数在区

12、间40,50)内的人数为 100-100 0.9-5=5. 所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为 4005100=20. (3)由题意可知,样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.02+0.04) 10 100=60,所以样本中分数不小于 70的男生人数为 6012=30. 所以样本中的男生人数为 30 2=60,女生人数为 100-60=40,男生和女生人数的比例为 6040=32. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为 32. 18. (2017 北京,文 18)如图,在三棱锥 p-abc中,paab,pabc,abbc,pa=ab=bc=2,d 为线段 ac

13、 的中点,e为线段 pc上一点. (1)求证:pabd; (2)求证:平面 bde平面 pac; (3)当 pa平面 bde 时,求三棱锥 e-bcd的体积. (1)证明因为 paab,pabc,所以 pa平面 abc. 又因为 bd平面 abc,所以 pabd. (2)证明因为 ab=bc,d为 ac中点,所以 bdac. 由(1)知,pabd,所以 bd平面 pac. 9 / 11 所以平面 bde平面 pac. (3)解因为 pa平面 bde,平面 pac平面 bde=de,所以 pade. 因为 d为 ac的中点, 所以 de=12pa=1,bd=dc=2. 由(1)知,pa平面 ab

14、c,所以 de平面 abc. 所以三棱锥 e-bcd的体积 v=16bd dc de=13. 19.(2017 北京,文 19)已知椭圆 c的两个顶点分别为 a(-2,0),b(2,0),焦点在 x轴上,离心率为32. (1)求椭圆 c 的方程; (2)点 d 为 x 轴上一点,过 d 作 x轴的垂线交椭圆 c 于不同的两点 m,n,过 d作 am 的垂线交 bn于点e.求证:bde 与bdn的面积之比为 45. (1)解设椭圆 c的方程为22+22=1(ab0). 由题意得 = 2,=32,解得 c=3. 所以 b2=a2-c2=1. 所以椭圆 c的方程为24+y2=1. (2)证明设 m(

15、m,n),则 d(m,0),n(m,-n). 由题设知 m2,且 n0. 直线 am的斜率 kam=+2, 故直线 de的斜率 kde=-+2. 所以直线 de 的方程为 y=-+2(x-m),直线 bn的方程为 y=2-(x-2). 10 / 11 联立 = -+2(-), =2-(-2), 解得点 e 的纵坐标 ye=-(4-2)4-2+2. 由点 m 在椭圆 c上,得 4-m2=4n2. 所以 ye=-45n. 又 sbde=12|bd| |ye|=25|bd| |n|,sbdn=12|bd| |n|, 所以bde与bdn 的面积之比为 45. 20.(2017 北京,文 20)已知函数 f(x)=excos x-x. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间0,2上的最大值和最小值. 解(1)因为 f(x)=excos x-x,所以 f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为 f(0)=1,所以曲