2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷)文

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学(文科)第卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014江西,文1)若复数z满足z(1+i)=2i(i为虚数单位),则|z|=(). a.1b.2c.2d.3答案:c解析:z(1+i)=2i,|z|·|1+i|=|2i|.|z|·2=2.|z|=2.2.(2014江西,文2)设全集为r,集合a=x|x2-9<0,b=x|-1<x5,则a(rb)=().a.(-3,0)b.(-3,-1)c.(-3,-1d.(-3,3)答案:c解析:由已知可

2、得a=x|-3<x<3,rb=x|x-1或x>5,故arb=x|-3<x-1=(-3,-1.3.(2014江西,文3)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于().a.118b.19c.16d.112答案:b解析:掷两颗均匀的骰子,共有36个基本事件,其中和为5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4个.故所求概率为436=19.4.(2014江西,文4)已知函数f(x)=a·2x,x0,2-x,x<0(ar),若ff(-1)=1,则a=().a.14b.12c.1d.2答案:a解析:由题意可知f(-1)=21=2,则ff(-1

3、)=f(2)=a·22=4a=1.故a=14.5.(2014江西,文5)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则2sin2b-sin2asin2a的值为().a.-19b.13c.1d.72答案:d解析:3a=2b,由正弦定理得ab=sinasinb=23.sin2asin2b=49.2sin2b-sin2asin2a=2×sin2bsin2a-1=2×94-1=92-1=72.6.(2014江西,文6)下列叙述中正确的是().a.若a,b,cr,则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b2-4ac0”b.若a,b,cr,则“ab2>

4、;cb2”的充要条件是“a>c”c.命题“对任意xr,有x20”的否定是“存在xr,有x20”d.l是一条直线,是两个不同的平面,若l,l,则答案:d解析:对于a项,当a<0时不成立.对于b项,当b=0时,“a>c”推不出“ab2>cb2”.对于c项,否定应为存在xr,x2<0,故c不正确.对于d项,由线面垂直的性质可得成立.故选d.7.(2014江西,文7)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是().表1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总

5、计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652a.成绩b.视力c.智商d.阅读量答案:d解析:根据2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),代入题中数据计算得d选项2最大.故选d.8.(2014江西,文8)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为().a.7b.9c.10d.11答案:b解析:i=1,s=0,s=0+lg13=lg13,执行“否”:i=3,s=0+lg13+lg35=lg15,执

6、行“否”:i=5,s=lg15+lg57=lg17,执行“否”:i=7,s=lg17+lg79=lg19,执行“否”:i=9,s=lg19+lg911=lg111<-1,执行“是”:输出i=9.结束.故选b.9.(2014江西,文9)过双曲线c:x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线,与c的一条渐近线相交于点a,若以c的右焦点为圆心,半径为4的圆经过a,o两点(o为坐标原点),则双曲线c的方程为().a.x24-y212=1b.x27-y29=1c.x28-y28=1d.x212-y24=1答案:a解析:设双曲线的右顶点为b,则b(a,0).不妨取渐近线y=bax,则a点的坐标为(a

7、,b),从而可知|oa|=c.由已知可得|of|=|af|=c=4,oaf为边长是c的等边三角形.又abof,|ob|=a=2,|ab|=b=23.故所求的双曲线方程为x24-y212=1.10.(2014江西,文10)在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+a2与y=a2x3-2ax2+x+a(ar)的图像不可能的是().答案:b解析:显然当a=0时,d中图象是可能的,当a0时,由y=a2x3-2ax2+x+a(ar)求导得y'=3a2x2-4ax+1,令y'=0,得x=1a或x=13a.函数y=ax2-x+a2的图像的对称轴为x=12a,不管a>0还是a<0,都

8、有12a在1a与13a之间,而由b中图像可知1a<13a<12a.因此b项中图像不可能.当a>0时,可判断得a,c项中图像都有可能.第卷二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014江西,文11)若曲线y=xln x上点p处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点p的坐标是. 答案:(e,e)解析:设切点p的坐标为(x0,y0),由y=xln x,得y'=ln x+1,则切线的斜率k=ln x0+1.由已知可得ln x0+1=2.x0=e.y0=x0ln x0=e.切点的坐标为(e,e).12.(2014江西,文12)已知单位向量e1,e2

9、的夹角为,且cos =13,若向量a=3e1-2e2,则|a|=. 答案:3解析:由题意知|a|2=a2=(3e1-2e2)2=9e12+4e22-12e1·e2=9+4-12×13=9.故|a|=3.13.(2014江西,文13)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为sn,当且仅当n=8时sn取得最大值,则d的取值范围为. 答案:-1,-78解析:由题意知当d<0时,sn存在最大值,a1=7>0,数列an中所有非负项的和最大.又当且仅当n=8时,sn取最大值,a80,a9<0.7+7d0,7+8d<0,解得-1d<

10、;-78.14.(2014江西,文14)设椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为f1,f2,过f2作x轴的垂线与c相交于a,b两点,f1b与y轴相交于点d,若adf1b,则椭圆c的离心率等于. 答案:33解析:连接af1,odab,o为f1f2的中点,d为bf1的中点.又adbf1,|af1|=|ab|.|af1|=2|af2|.设|af2|=n,则|af1|=2n,|f1f2|=3n.e=ca=|f1f2|af1|+|af2|=3n3n=33.15.(2014江西,文15)x,yr,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,则x+y的取值范围为.&#

11、160;答案:0,2解析:|x|+|x-1|x-(x-1)|=1,当且仅当0x1时取等号,|y|+|y-1|y-(y-1)|=1,当且仅当0y1时取等号,|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2,只有当0x1,0y1时,两式同时成立.0x+y2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014江西,文16)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)为奇函数,且f4=0,其中ar,(0,).(1)求a,的值.(2)若f4=-25,2,求sin+3的值.分析:(1)由函数f(x

12、)为奇函数,可知函数y=cos(2x+)为奇函数,求出的值,再把x=4代入f(x)中求a的值.(2)由(1)化简f(x),利用f4=-25,求出sin ,进而利用平方关系求出cos ,再用两角和的正弦公式求解.解:(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)是奇函数,而y1=a+2cos2x为偶函数,所以y2=cos(2x+)为奇函数.又(0,),得=2,所以f(x)=-sin 2x·(a+2cos2x),由f4=0得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)得,f(x)=-12sin 4x,因为f4=-12sin =-25,即sin =45,又2,从而cos =-35

13、,所以有sin+3=sin cos 3+cos sin 3=4-3310.17.(本小题满分12分)(2014江西,文17)已知数列an的前n项和sn=3n2-n2,nn*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n>1,都存在mn*,使得a1,an,am成等比数列.分析:(1)利用an=s1,n=1,sn-sn-1,n2求出通项公式.(2)运用分析法,寻求使a1,an,am成等比数列时,m,n的关系,分析对n>1时,m的值是否为自然数,且m>n是否成立,进行证明.(1)解:由sn=3n2-n2,得a1=s1=1,当n2时,an=sn-sn-1=3n-2,所以数列an

14、的通项公式为:an=3n-2.(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要an2=a1·am,即(3n-2)2=1·(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mn*,且m>n.所以对任意的n>1,都存在mn*,使得a1,an,am成等比数列.18.(本小题满分12分)(2014江西,文18)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的值.分析:(1)按照求单调区间的步骤进行,第一步:求定义域;第二步:计算f'(x);第三步:在定义

15、域上,求f'(x)>0的解集得递增区间;(2)第一步:计算f'(x),并求f'(x)=0的x值,得出f(x)的单调性;第二步:f(x)的解析式可化为f(x)=(2x+a)2x,分析出f(x)0且f-a2=0;第三步:结合第一,二步的分析,只需讨论x=-a2与区间1,4的关系,求出f(x)在1,4上的最小值,建立a的方程求解.解:(1)当a=-4时,由f'(x)=2(5x-2)(x-2)x=0得x=25或x=2,由f'(x)>0得x0,25或x(2,+),故函数f(x)的单调递增区间为0,25和(2,+).(2)因为f'(x)=(10x

16、+a)(2x+a)2x,a<0,由f'(x)=0得x=-a10或x=-a2.当x0,-a10时,f(x)单调递增;当x-a10,-a2时,f(x)单调递减,当x-a2,+时,f(x)单调递增,易知f(x)=(2x+a)2x0,且f-a2=0.当-a21时,即-2a<0时,f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±22-2,均不符合题意.当1<-a24时,即-8a<-2时,f(x)在1,4上的最小值为f-a2=0,不符合题意.当-a2>4时,即a<-8时,f(x)在1,4上的最小值可能在x=1或x=4上取得

17、,而f(1)8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上有,a=-10.19.(本小题满分12分)(2014江西,文19)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,aa1bc,a1bbb1.(1)求证:a1ccc1;(2)若ab=2,ac=3,bc=7,问aa1为何值时,三棱柱abc-a1b1c1体积最大,并求此最大值.分析:(1)证明线线垂直可用线面垂直证明,即用已知的线线垂直证明线面垂直,利用线面垂直的性质得线线垂直.(2)设出变量,建立体积函数求最值.解法一:设

18、a1a=x,求出a1b,a1c的长,利用余弦定理求cosba1c,sinba1c,进而得出sa1bc,从而求出体积函数,配方后求出最值.解法二:过a1作bc的垂线a1d,利用线面垂直证明adbc,设a1a=x,利用等面积法求出ad,再利用勾股定理求出a1d,表示出sa1bc,从而求出体积函数,配方后求出最值.(1)证明:由aa1bc知bb1bc,又bb1a1b,故bb1平面bca1,即bb1a1c,又bb1cc1,所以a1ccc1.(2)解法一:设aa1=x,在rta1bb1中,a1b=a1b12-bb12=4-x2,同理,a1c=a1c12-cc12=3-x2.在a1bc中,cosba1c=

19、a1b2+a1c2-bc22a1b·a1c=-x2(4-x2)(3-x2),sinba1c=12-7x2(4-x2)(3-x2),所以sa1bc=12a1b·a1c·sinba1c=12-7x22.从而三棱柱abc-a1b1c1的体积v=s直·l=sa1bc·aa1=x12-7x22.因x12-7x2=12x2-7x4=-7x2-672+367,故当x=67=427时,即aa1=427时,体积v取到最大值377.解法二:过a1作bc的垂线,垂足为d,连接ad.由aa1bc,a1dbc,故bc平面aa1d,bcad.又bac=90°,所

20、以sabc=12ad·bc=12ab·ac得ad=2217.设aa1=x,在rtaa1d中,a1d=ad2-aa12=127-x2,sa1bc=12a1d·bc=12-7x22.从而三棱柱abc-a1b1c1的体积v=s直·l=sa1bc·aa1=x12-7x22.因x12-7x2=12x2-7x4=-7x2-672+367,故当x=67=427时,即aa1=427时,体积v取到最大值377.20.(本小题满分13分)(2014江西,文20)如图,已知抛物线c:x2=4y,过点m(0,2)任作一直线与c相交于a,b两点,过点b作y轴的平行线与直

21、线ao相交于点d(o为坐标原点).(1)证明:动点d在定直线上;(2)作c的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点n1,与(1)中的定直线相交于点n2,证明:|mn2|2-|mn1|2为定值,并求此定值.分析:(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),设出ab的直线方程,与抛物线方程x2=4y联立求出x1x2,利用a,b坐标写出ao与bd的直线方程,解出点d的坐标,消去参数x1,x2,y1,y2即可.(2)设出切线l的方程,利用直线与抛物线相切,简化l的方程,进而求出n1与n2的坐标,代入|mn2|2-|mn1|2中化简即可.(1)证明:依题意可设ab方程为y=kx+2,代入x2=

22、4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则有x1x2=-8,直线ao的方程为y=y1x1x;bd的方程为x=x2.解得交点d的坐标为x=x2,y=y1x2x1,注意到x1x2=-8及x12=4y1,则有y=y1x1x2x12=-8y14y1=-2.因此d点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得n

23、1,n2的坐标为n12a+a,2,n2-2a+a,-2.则|mn2|2-|mn1|2=2a-a2+42-2a+a2=8,即|mn2|2-|mn1|2为定值8.21.(本小题满分14分)(2014江西,文21)将连续正整数1,2,n(nn*)从小到大排列构成一个数123n,f(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,f(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n2 014时,求f(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),s=n|h(n)=1,n100,nn*,求当ns时p(n)的最大值.分析:(1)由题意先将1100按序排好,确定1位数,2位数和3位数的个数,即