2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)文 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.1.(2014湖北,文1)已知全集u=1,2,3,4,5,6,7,集合a=1,3,5,6,则ua=().a.1,3,5,6b.2,3,7c.2,4,7d.2,5,7答案:c解析:由补集的定义,集合a在u中的补集指u中除a外其他元素构成的集合.故选c.2.(2014湖北,文2)i为虚数单位,1-i1+i2=().a.1b.-1c.id.-i答案:b解析:因为1-i1+i=(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)=-2i2=-i,所以1-i1+i2=(-i)2=-1,故选b.3.(20

2、14湖北,文3)命题“xr,x2x”的否定是().a.xr,x2xb.xr,x2=xc.xr,x2xd.xr,x2=x答案:d解析:全称命题“xm,p(x)”的否定为特称命题“xm,􀱑p(x)”,故选d.4.(2014湖北,文4)若变量x,y满足约束条件x+y4,x-y2,x0,y0,则2x+y的最大值是().a.2b.4c.7d.8答案:c解析:画出x,y的约束条件限定的可行域为如图阴影区域,令u=2x+y,则y=-2x+u,先画出直线y=-2x,再平移直线y=-2x,当经过点a(3,1)时,代入u,可得最大值为7,故选c.5.(2014湖北,文5)随机掷两枚质地均匀的骰子

3、,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则().a.p1<p2<p3b.p2<p1<p3c.p1<p3<p2d.p3<p1<p2答案:c解析:由题意可知,p1=1036=518,p2=1-p1=1318,p3=1836=12.故选c.6.(2014湖北,文6)根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为y=bx+a,则().a.a>0,b<0b.a>0,b>0c.a<0,b<0d.a<0,b>

4、;0答案:a解析:可大致画出散点图如图所示,可判断a>0,b<0,故选a.7.(2014湖北,文7)在如图所示的空间直角坐标系o-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为().a.和b.和c.和d.和答案:d解析:正视图将四个点全影射到yoz面上,分别为(0,0,2),(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),再根据看不见的线画虚线可得图,俯视图全影射到xoy面上,分别为(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),(2,2,0)可画得图,故选d.8.(2014

5、湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cos +tsin =0的两个不等实根,则过a(a,a2),b(b,b2)两点的直线与双曲线x2cos2-y2sin2=1的公共点的个数为().a.0b.1c.2d.3答案:a解析:可解方程t2cos +tsin =0,得两根0,-sincos.由题意可知不管a=0还是b=0,所得两个点的坐标是一样的.不妨设a=0,b=-sincos,则a(0,0),b-sincos,sin2cos2,可求得直线方程y=-sincosx,因为双曲线渐近线方程为y=±sincosx,故过a,b的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选a.9.(2014

6、湖北,文9)已知f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为().a.1,3b.-3,-1,1,3c.2-7,1,3d.-2-7,1,3答案:d解析:当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(-x)2+3x=-x2-3x,易求得g(x)解析式g(x)=x2-4x+3,x0,-x2-4x+3,x<0,当x2-4x+3=0时,可求得x1=1,x2=3,当-x2-4x+3=0时可求得x3=-2-7,x4=-2+7(舍去),故g(x)的零点为1,3,-2-7,故选d.10.(2014湖北,文10)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北

7、省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h,计算其体积v的近似公式v136l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式v275l2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为().a.227b.258c.15750d.355113答案:b解析:由题意可知:l=2r,即r=l2,圆锥体积v=13sh=13r2h=13·l22h=112l2h275l2h,故112275,258,故选b.二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题

8、卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.(2014湖北,文11)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为件. 答案:1 800解析:分层抽样的关键是确定样本容量与总体容量的比,比值为804 800=160,设甲设备生产的产品数为x,则x×160=50,x=3 000,乙设备生产的产品总数为4 800-3 000=1 800.故答案为1 800.12.(2014湖北,文12)若向量oa=(1,-3),|oa|=|ob|,oa

9、83;ob=0,则|ab|=. 答案:25解析:设b(x,y),由|oa|=|ob|,可得10=x2+y2,oa·ob=x-3y=0,由得x=3,y=1或x=-3,y=-1,所以b(3,1)或b(-3,-1),故ab=(2,4)或ab=(-4,2),|ab|=25,故答案为25.13.(2014湖北,文13)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知a=6,a=1,b=3,则b=. 答案:3或23解析:由正弦定理asina=bsinb,代入可求得sin b=32,故b=3或b=23.故答案为3或23.14.(2014湖北,文14)阅读如图所示的程序框图

10、,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出s的值为. 答案:1 067解析:该程序框图为循环结构.第一步,经判断19,执行“是”,计算s=0+21+1=3,k=2,执行第二步,29,计算s=0+21+1+22+2=9,k=3,依次执行,至第九步,99,执行“是”,计算s=0+21+1+22+2+29+9=1 067,k=10,下一步109,执行“否”,输出s.故答案为1 067.15.(2014湖北,文15)如图所示,函数y=f(x)的图象由两条射线和三条线段组成.若xr,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为. 答案:0,16解析:由题意可知,f(x-1)是

11、由f(x)向右平移1个单位得到的,要保证xr,f(x)>f(x-1),f(x-1)的图象则应由原图象至少向右平移6a个单位,需满足6a<1,即a<16,又因为a为正实数,故答案为0,16.16.(2014湖北,文16)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量f(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为f=76 000vv2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大

12、车流量增加辆/小时. 答案:(1)1 900(2)100解析:(1)l=6.05,则f=76 000vv2+18v+121=76 000v+18+121v,由基本不等式v+121v2121=22,得f76 00022+18=1 900(辆/小时),故答案为1 900.(2)l=5,f=76 000vv2+18v+100=76 000v+18+100v,由基本不等式v+100v2100=20,得f76 00020+18=2 000(辆/小时),增加2 000-1 900=100(辆/小时),故答案为100.17.(2014湖北,文17)已知圆o:x2+y2=1和点a(-2,0),若定点

13、b(b,0)(b-2)和常数满足:对圆o上任意一点m,都有|mb|=|ma|,则(1)b=; (2)=. 答案:(1)-12(2)12解析:因为对圆o上任意一点m,都有|mb|=|ma|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),满足|b+1|=,|b-1|=3,解得b=-12或b=-2(舍去),b=-12,=12,故答案为(1)-12,(2)12.三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)(2014湖北,文18)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t

14、-sin12t,t0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度;(2)求实验室这一天的最大温差.分析:在第(1)问中,可将t=8直接代入函数解析式求出结果.在第(2)问中,可转化为求函数的最大值最小值问题,先根据辅助角公式将函数转化为f(t)=10-2sin12t+3,再根据t的范围可求出12t+3的范围,依次又可求出sin12t+3的范围,最终可求出f(t)的范围,从而可求出最大温差.解:(1)f(8)=10-3cos12×8-sin12×8=10-3cos23-sin23=10-3×-12-32=10.故实验室上午8时的温度为10 .(2)因为f(t)=10

15、-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,又0t<24,所以312t+3<73,-1sin12t+31.当t=2时,sin12t+3=1;当t=14时,sin12t+3=-1.于是f(t)在0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .19.(本小题满分12分)(2014湖北,文19)已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.分

16、析:在第(1)问中,可先将a2,a5转化成a1+d,a1+4d,再依据成等比数列列出相应关系式求出d,从而可求得数列an的通项公式.在第(2)问中,由数列an的通项公式,可先求得sn,由于第(1)问求得数列an有两种情况,故sn也有两种情况,需分类讨论,利用题中已知的不等式解出n的范围,依据n的范围可求得正整数n的最小值.解:(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-

17、2.(2)当an=2时,sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得sn>60n+800成立.当an=4n-2时,sn=n2+(4n-2)2=2n2,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.20.(本小题满分13分)(2014湖北,文20)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f,p,q,m,n分别是棱ab,ad,dd1

18、,bb1,a1b1,a1d1的中点,求证:(1)直线bc1平面efpq;(2)直线ac1平面pqmn.分析:在第(1)问中,可考虑利用线线平行去证明线面平行,连接ad1,可先证明ad1和fp平行,从而可证ad1和平面efpq平行,又易证明bc1平行于ad1,从而可证bc1平行于平面efpq.在第(2)问中,可考虑利用线线垂直去证线面垂直,需证ac1与平面mnpq内两条相交直线垂直.证明:(1)连接ad1,由abcd-a1b1c1d1是正方体,知ad1bc1,因为f,p分别是ad,dd1的中点,所以fpad1.从而bc1fp.而fp平面efpq,且bc1平面efpq,故直线bc1平面efpq.(

19、2)如图,连接ac,bd,则acbd.由cc1平面abcd,bd平面abcd,可得cc1bd.又accc1=c,所以bd平面acc1.而ac1平面acc1,所以bdac1.因为m,n分别是a1b1,a1d1的中点,所以mnbd,从而mnac1.同理可证pnac1.又pnmn=n,所以直线ac1平面pqmn.21.(本小题满分14分)(2014湖北,文21)为圆周率,e=2.718 28为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=lnxx的单调区间;(2)求e3,3e,e,e,3,3这6个数中的最大数与最小数.分析:在第(1)问中,考查利用导数求函数单调区间,需注意函数的定义域.在第(2)问中,由y

20、=ln x,y=ex,y=x在定义域上的单调性可先比较出3e,e,3及e3,e,3的大小,从而可确定最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.再由e<3<,由第(1)问f(x)的单调性,从而可确定最大值、最小值.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+).因为f(x)=lnxx,所以f'(x)=1-lnxx2.当f'(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e<3<,所以eln

21、3<eln ,ln e<ln 3,即ln 3e<ln e,ln e<ln 3.于是根据函数y=ln x,y=ex,y=x在定义域上单调递增,可得3e<e<3,e3<e<3.故这6个数的最大数在3与3之中,最小数在3e与e3之中.由e<3<及(1)的结论,得f()<f(3)<f(e),即ln <ln33<ln ee.由ln <ln33,得ln 3<ln 3,所以3>3;由ln33<ln ee,得ln 3e<ln e3,所以3e<e3.综上,6个数中的最大数是3,最小数是3e.2

22、2.(本小题满分14分)(2014湖北,文22)在平面直角坐标系xoy中,点m到点f(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点p(-2,1).求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.分析:在第(1)问中,可先设点m(x,y),由题意可求得点m的轨迹方程.在第(2)问中,可先由点斜式把直线方程写出来,将直线方程与第(1)问所求的轨迹方程联立,需注意考虑k=0及k0的情况,当k0时,联立后得到的关系式,还需讨论方程的判别式及直线与x轴交点的横坐标的正负.解:(1)设点m(x,y),依题意得|mf|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|