2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷) (2)

1、1 / 9 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(北北京卷京卷) 理科数学理科数学 1.(2017 北京,理 1)若集合 a=x|-2x1,b=x|x3,则 ab=( ) a.x|-2x-1 b.x|-2x3 c.x|-1x1 d.x|1x3 解析 ab=x|-2x-1,故选 a. 答案 a 2.(2017 北京,理 2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数 a的取值范围是( ) a.(-,1) b.(-,-1) c.(1,+) d.(-1,+) 解析设 z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数 z在复平面内对应的

2、点(a+1,1-a)在第二象限,所以 + 1 0,解得 a-1.故选 b. 答案 b 3.(2017 北京,理 3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) a.2 b.32 c.53 d.85 解析当 k=0时,03 成立,第一次进入循环,k=1,s=1+11=2;13 成立,第二次进入循环,k=2,s=2+12=32;23 成立,第三次进入循环,k=3,s=32+132=53;33 不成立,输出 s=53.故选 c. 答案 c 4.(2017 北京,理 4)若 x,y满足 3, + 2, ,则 x+2y的最大值为( ) 2 / 9 a.1 b.3 c.5 d.9 解析由题意画出可行域

3、(如图). 设 z=x+2y,则 z=x+2y 表示斜率为-12的一组平行线,当过点 c(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+2 3=9.故选 d. 答案 d 5.(2017 北京,理 5)已知函数 f(x)=3x-(13),则 f(x) ( ) a.是奇函数,且在 r 上是增函数 b.是偶函数,且在 r 上是增函数 c.是奇函数,且在 r 上是减函数 d.是偶函数,且在 r 上是减函数 解析因为 f(x)的定义域为 r,f(-x)=3-x-(13)-= (13)-3x=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数. 又 y=3x和 y=-(13)在 r 上都是增函数,所以函数 f(x)在

4、r 上是增函数.故选 a. 答案 a 6.(2017 北京,理 6)设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ,使得 m=n”是“m n0”的( ) a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 解析 m,n 为非零向量,若存在 0,使 m=n,即两向量反向,夹角是 180,则 m n=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若 m n0,c=2+ 2= 1 + ,则离心率 e= 1 + = 3,解得 m=2. 答案 2 10.(2017 北京,理 10)若等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则22= . 解析设等差

5、数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q, 由题意知-1+3d=-q3=8, 即-1 + 3 = 8,-3= 8,解得 = 3, = -2. 故22=-1+3-1(-2)=1. 4 / 9 答案 1 11.(2017 北京,理 11)在极坐标系中,点 a 在圆 2-2cos -4sin +4=0上,点 p的坐标为(1,0),则|ap|的最小值为 . 解析设圆心为 c,则圆 c:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|ap|min=|pc|-r=2-1=1. 答案 1 12.(2017 北京,理 12)在平面直角坐标系 xoy 中,角 与角 均以 ox 为始边

6、,它们的终边关于 y 轴对称.若 sin =13,则 cos(-)= . 解析方法 1:因为角 与角 的终边关于 y 轴对称,根据三角函数定义可得 sin =sin =13,cos =-cos ,因此,cos(-)=cos cos +sin sin =-(223)2+ (13)2=-79. 方法 2:由角 与角 的终边关于 y轴对称可得 =(2k+1)-,kz,则 cos(-)=cos2-(2k+1)=-cos 2=2sin2-1=2 (13)2-1=-79. 答案-79 13.(2017 北京,理 13)能够说明“设 a,b,c是任意实数,若 abc,则 a+bc”是假命题的一组整数 a,b

7、,c的值依次为 . 解析答案不唯一,如令 a=-1,b=-2,c=-3,则 abc,而 a+b=-3=c,能够说明“设 a,b,c是任意实数,若abc,则 a+bc”是假命题. 答案-1,-2,-3(答案不唯一) 14. (2017 北京,理 14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点 ai的横、纵坐标分别为第 i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点 bi的横、纵坐标分别为第 i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3. (1)记 qi为第 i名工人在这一天中加工的零件总数,则 q1,q2,q3中最大的是 ; (2)记 pi为第 i名工人在这一天中平均每小

8、时加工的零件数,则 p1,p2,p3中最大的是 . 5 / 9 解析(1)连接 a1b1,a2b2,a3b3,分别取线段 a1b1,a2b2,a3b3的中点 c1,c2,c3,显然 ci的纵坐标即为第 i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点 c1最高,故 q1,q2,q3中最大的是 q1. (2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为 y1,y2,工作时间分别为 x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为 p=1+21+2=1+221+22=koc(c 为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得2 13,故 p1,p2,p3中最大的是 p2. 答案(1)q1 (2)p2 1

9、5.(2017 北京,理 15)在abc 中,a=60,c=37a. (1)求 sin c 的值; (2)若 a=7,求abc 的面积. 解(1)在abc 中,因为a=60,c=37a, 所以由正弦定理得 sin c=sin=3732=3314. (2)因为 a=7,所以 c=377=3. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos a得 72=b2+32-2b 312,解得 b=8 或 b=-5(舍). 所以abc的面积 s=12bcsin a=128 332=63. 16. (2017 北京,理 16)如图,在四棱锥 p-abcd 中,底面 abcd 为正方形,平面 pad平面 abcd,

10、点 m 在线段 pb上,pd平面 mac,pa=pd=6,ab=4. (1)求证:m为 pb的中点; (2)求二面角 b-pd-a 的大小; (3)求直线 mc 与平面 bdp所成角的正弦值. (1)证明设 ac,bd交点为 e,连接 me. 因为 pd平面 mac,平面 mac平面 pdb=me,所以 pdme. 因为 abcd是正方形,所以 e为 bd的中点. 6 / 9 所以 m 为 pb 的中点. (2)解取 ad 的中点 o,连接 op,oe. 因为 pa=pd,所以 opad. 又因为平面 pad平面 abcd,且 op平面 pad,所以 op平面 abcd. 因为 oe平面 ab

11、cd,所以 opoe. 因为 abcd是正方形,所以 oead. 如图建立空间直角坐标系 o-xyz,则 p(0,0,2),d(2,0,0),b(-2,4,0), =(4,-4,0), =(2,0,-2). 设平面 bdp 的法向量为 n=(x,y,z), 则 = 0, = 0,即4-4 = 0,2-2 = 0. 令 x=1,则 y=1,z=2. 于是 n=(1,1,2),平面 pad的法向量为 p=(0,1,0). 所以 cos=|=12. 由题知二面角 b-pd-a 为锐角,所以它的大小为3. (3)解由题意知 m(-1,2,22),c(2,4,0), = (3,2,-22). 设直线 m

12、c 与平面 bdp 所成角为 , 则 sin =|cos|=| | |=269. 所以直线 mc与平面 bdp所成角的正弦值为269. 17.(2017 北京,理 17)为了研究一种新药的疗效,选 100 名患者随机分成两组,每组各 50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 x和 y的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“+”表示未服药者. (1)从服药的 50名患者中随机选出一人,求此人指标 y的值小于 60的概率; (2)从图中 a,b,c,d 四人中随机选出两人,记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数,求 的分布列和数学期望 e(); 7 /

13、 9 (3)试判断这 100名患者中服药者指标 y数据的方差与未服药者指标 y数据的方差的大小.(只需写出结论) 解(1)由图知,在服药的 50名患者中,指标 y 的值小于 60 的有 15人,所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 y的值小于 60 的概率为1550=0.3. (2)由图知,a,b,c,d 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2人:a和 c. 所以 的所有可能取值为 0,1,2. p(=0)=c22c42=16,p(=1)=c21c21c42=23,p(=2)=c22c42=16. 所以 的分布列为 0 1 2 p 16 23 16 故 的期望 e()=01

14、6+123+216=1. (3)在这 100名患者中,服药者指标 y数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差. 18.(2017 北京,理 18)已知抛物线 c:y2=2px 过点 p(1,1).过点(0,12)作直线 l与抛物线 c交于不同的两点 m,n,过点 m作 x轴的垂线分别与直线 op,on交于点 a,b,其中 o为原点. (1)求抛物线 c的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:a 为线段 bm的中点. (1)解由抛物线 c:y2=2px 过点 p(1,1),得 p=12. 所以抛物线 c 的方程为 y2=x. 抛物线 c 的焦点坐标为(14,0),准线方程为 x=-14

15、. (2)证明由题意,设直线 l的方程为 y=kx+12(k0),l与抛物线 c的交点为 m(x1,y1),n(x2,y2). 由 = +12,2= 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则 x1+x2=1-2,x1x2=142. 因为点 p 的坐标为(1,1),所以直线 op的方程为 y=x,点 a 的坐标为(x1,x1),直线 on 的方程为y=22x,点 b 的坐标为(1,212). 因为 y1+212-2x1=12+21-2122 8 / 9 =(1+12)2+(2+12)1-2122 =(2-2)12+12(2+1)2 =(2-2)142+1-222=0, 所以 y1+212=2

16、x1. 故 a 为线段 bm的中点. 19.(2017 北京,理 19)已知函数 f(x)=excos x-x. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间0,2上的最大值和最小值. 解(1)因为 f(x)=excos x-x,所以 f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=1. (2)设 h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则 h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当 x (0,2)时,h(x)0,所以 h(x)在区间0,2上单调递减. 所以对任意 x (0,2有 h(x)h(0)=0, 即 f(x)m;或者存在正整数 m,使得 cm,cm+1,cm+2,是等差数列. (1)解 c1=b1-a1=1-1=0, c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-2 1,3-2 2=-1, c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-3 1,3-3 2,5-3 3=-2. 当