2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用2b铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.选择题每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准

2、使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.作答选做题时,请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:台体的体积公式v=13(s1+s1s2+s2)h,其中s1,s2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013广东,理1)设集合m=x|x2+2x=0,xr,n=x|x2-2x=0,xr,则mn=(). a.0b.0,2c.-2,0d.-2,0,2答案:d解析:

3、m=-2,0,n=0,2,mn=-2,0,2.2.(2013广东,理2)定义域为r的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是().a.4b.3c.2d.1答案:c解析:y=x3,y=2sin x为奇函数;y=x2+1为偶函数;y=2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选c.3.(2013广东,理3)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是().a.(2,4)b.(2,-4)c.(4,-2)d.(4,2)答案:c解析:由iz=2+4i,得z=2+4ii=(2+4i)·(-i)i·(-i)=4-2i,故z对应点的坐标为

4、(4,-2).4.(2013广东,理4)已知离散型随机变量x的分布列为x123p35310110则x的数学期望e(x)=().a.32b.2c.52d.3答案:a解析:e(x)=1×35+2×310+3×110=1510=32.5.(2013广东,理5)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是().a.4b.143c.163d.6答案:b解析:方法一:由三视图可知,原四棱台的直观图如图所示,其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形,且dd1面abcd,上底面面积s1=12=1,下底面面积s2=22=4.又dd1=2,v台=13(s1+s1s2+s2)h=13(

5、1+1×4+4)×2=143.方法二:由四棱台的三视图,可知原四棱台的直观图如图所示.在四棱台abcd-a1b1c1d1中,四边形abcd与四边形a1b1c1d1都为正方形,ab=2,a1b1=1,且d1d平面abcd,d1d=2.分别延长四棱台各个侧棱交于点o,设od1=x,因为od1c1odc,所以od1od=d1c1dc,即xx+2=12,解得x=2.vabcd-a1b1c1d1=v棱锥o-abcd-v棱锥o-a1b1c1d1=13×2×2×4-13×1×1×2=143.6.(2013广东,理6)设m,n是两

6、条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是().a.若,m,n,则mnb.若,m,n,则mnc.若mn,m,n,则d.若m,mn,n,则答案:d解析:选项a中,m与n还可能平行或异面,故不正确;选项b中,m与n还可能异面,故不正确;选项c中,与还可能平行或相交,故不正确;选项d中,m,mn,n.又n,.故选d.7.(2013广东,理7)已知中心在原点的双曲线c的右焦点为f(3,0),离心率等于32,则c的方程是().a.x24-y25=1b.x24-y25=1c.x22-y25=1d.x22-y25=1答案:b解析:由曲线c的右焦点为f(3,0),知c=3.由离心率e=32,知ca=3

7、2,则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线c的方程为x24-y25=1.8.(2013广东,理8)设整数n4,集合x=1,2,3,n,令集合s=(x,y,z)|x,y,zx,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立.若(x,y,z)和(z,w,x)都在s中,则下列选项正确的是().a.(y,z,w)s,(x,y,w)sb.(y,z,w)s,(x,y,w)sc.(y,z,w)s,(x,y,w)sd.(y,z,w)s,(x,y,w)s答案:b解析:由(x,y,z)s,不妨取x<y<z,要使(z,w,x)s,则w<x&

8、lt;z或x<z<w.当w<x<z时,w<x<y<z,故(y,z,w)s,(x,y,w)s.当x<z<w时,x<y<z<w,故(y,z,w)s,(x,y,w)s.综上可知,(y,z,w)s,(x,y,w)s.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(913题)9.(2013广东,理9)不等式x2+x-2<0的解集为. 答案:x|-2<x<1解析:x2+x-2<0即(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故原不等式的解集为x|-2

9、<x<1.10.(2013广东,理10)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=. 答案:-1解析:y'=k+1x.因为曲线在点(1,k)处的切线平行于x轴,所以切线斜率为零,由导数的几何意义得y'|x=1=0,故k+1=0,即k=-1.11.(2013广东,理11)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为. 答案:7解析:i=1,s=1,i4,s=1+0=1;i=2,s=1,i4,s=1+1=2;i=3,s=2,i4,s=2+2=4;i=4,s=4,i4,s=4+3=7;i=5,此时i>4,故s=7

10、.12.(2013广东,理12)在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=. 答案:20解析:因为数列an的等差数列,所以由等差数列的性质得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10.所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.13.(2013广东,理13)给定区域d:x+4y4,x+y4,x0.令点集t=(x0,y0)d|x0,y0z,(x0,y0)是z=x+y在d上取得最大值或最小值的点,则t中的点共确定条不同的直线. 答案:6解析:由区域d:x+4y4,x+y4,x0,画出可行域如图所示.满足条件的(x0,y0)

11、有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故t中的点共确定6条不同的直线.(二)选择题(1415题,考生只能从中选做一题)14.(2013广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线c的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),c在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为. 答案:sin+4=2解析:曲线c的参数方程为x=2cost,y=2sint(t为参数),其普通方程为x2+y2=2.又点(1,1)在曲线c上,切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为co

12、s +sin =2,即sin+4=2.15.(2013广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,ab是圆o的直径,点c在圆o上.延长bc到d使bc=cd,过c作圆o的切线交ad于e.若ab=6,ed=2,则bc=. 答案:23解析:连接oc.ab为圆o的直径,acbc.又bc=cd,ab=ad=6,bac=cad.又ce为圆o的切线,则occe.ace为弦切角,ace=b.ace+cad=90°.cead.又accd,cd2=ed·ad=2×6=12,即cd=23.bc=23.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

13、.16.(2013广东,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cosx-12,xr.(1)求f-6的值;(2)若cos =35,32,2,求f2+3.解:(1)f-6=2cos-6-12=2cos-4=2cos 4=1.(2)f2+3=2cos2+3-12=2cos2+4=cos 2-sin 2.因为cos =35,32,2,所以sin =-45.所以sin 2=2sin cos =-2425,cos 2=cos2-sin2=-725.所以f2+3=cos 2-sin 2=-725-2425=1725.17.(2013广东,理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人,随机抽取6

14、名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人?(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.解:(1)样本均值为17+19+20+21+25+306=1326=22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26=13,故推断该车间12名工人中有12×13=4名优秀工人.(3)设事件a:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则p(a)=c41c81c122=1633.18.(2013广东,理18)(本小题满

15、分14分)如图(1),在等腰直角三角形abc中,a=90°,bc=6,d,e分别是ac,ab上的点,cd=be=2,o为bc的中点.将ade沿de折起,得到如图(2)所示的四棱锥a'bcde,其中a'o=3.图(1)图(2)(1)证明:a'o平面bcde;(2)求二面角a'cdb的平面角的余弦值.解:(1)由题意,得oc=3,ac=32,ad=22.如图,连结od,oe,在ocd中,由余弦定理可得od=oc2+cd2-2oc·cdcos45°=5.由翻折不变性可知a'd=22,所以a'o2+od2=a'd2,

16、所以a'ood.同理可证a'ooe,又odoe=o,所以a'o平面bcde.(2)传统法:过o作ohcd交cd的延长线于h,连结a'h,因为a'o平面bcde,所以a'hcd.所以a'ho为二面角a'cdb的平面角.结合题图(1)可知,h为ac中点,故oh=322,从而a'h=oh2+oa'2=302,所以cosa'ho=oha'h=155.所以二面角a'-cd-b的平面角的余弦值为155.向量法:以o点为原点,建立空间直角坐标系o-xyz如图所示.则a'(0,0,3),c(0,-3

17、,0),d(1,-2,0),所以ca'=(0,3,3),da'=(-1,2,3).设n=(x,y,z)为平面a'cd的法向量,则n·ca'=0,n·da'=0,即3y+3z=0,-x+2y+3z=0,解得y=-x,z=3x.令x=1,得n=(1,-1,3).由(1)知,oa'=(0,0,3)为平面cdb的一个法向量,所以cos<n,oa'>=n·oa'|n|oa'|=35·3=155,即二面角a'-cd-b的平面角的余弦值为155.19.(2013广东,理19)(

18、本小题满分14分)设数列an的前n项和为sn.已知a1=1,2snn=an+1-13n2-n-23,nn*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a2+1an<74.解:(1)依题意,2s1=a2-13-1-23,又s1=a1=1,所以a2=4.(2)当n2时,2sn=nan+1-13n3-n2-23n,2sn-1=(n-1)an-13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-13(3n2-3n+1)-(2n-1)-23,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即an+1n+1-ann

19、=1.又a22-a11=1,故数列ann是首项为a11=1,公差为1的等差数列,所以ann=1+(n-1)×1=n.所以an=n2.(3)当n=1时,1a1=1<74;当n=2时,1a1+1a2=1+14=54<74;当n3时,1an=1n2<1(n-1)n=1n-1-1n,此时1a1+1a2+1an=1+14+132+142+1n2<1+14+12-13+13-14+1n-1-1n=1+14+12-1n=74-1n<74.综上,对一切正整数n,有1a1+1a2+1an<74.20.(2013广东,理20)(本小题满分14分)已知抛物线c的顶点为原

20、点,其焦点f(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为322.设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程;(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(3)当点p在直线l上移动时,求|af|·|bf|的最小值.解:(1)依题意,设抛物线c的方程为x2=4cy,由|0-c-2|2=322,结合c>0,解得c=1.所以抛物线c的方程为x2=4y.(2)抛物线c的方程为x2=4y,即y=14x2,求导得y'=12x,设a(x1,y1),b(x2,y2)其中y1=x124,y2=x224

21、,则切线pa,pb的斜率分别为12x1,12x2,所以切线pa的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x-x122+y1,即x1x-2y-2y1=0,同理可得切线pb的方程为x2x-2y-2y2=0,因为切线pa,pb均过点p(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线ab的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|af|=y1+1,|bf|=y2+1,所以|af|·|bf|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程x0

22、x-2y-2y0=0,x2=4y,消去x整理得y2+(2y0-x02)y+y02=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02,所以|af|·|bf|=y1y2+(y1+y2)+1=y02+x02-2y0+1.又点p(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.所以y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2y0+122+92.所以当y0=-12时,|af|·|bf|取得最小值,且最小值为92.21.(2013广东,理21)(本小题满分14分)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(kr).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k12,1时,求函数f(x)在0,k上的最大值m.解:(1)当k=1时,f(x)=(x-1)ex-x2,f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2