2018学年第二学期徐汇区高三数学二模数学及参考答案

1、0,2ê ú4ëûï2018 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 试卷2019.4【考生注意】考试设试卷和答题纸两部分，所有答案必须填涂（选择题）或书写（非选择 题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集 U =R ，若集合 A =1,2,3,4, B = x | 2 £x £3，则 A IUB =_.2.已知点 (2,5)在函

2、数f ( x ) =1 +ax(a >0且a ¹1)的图像上，则f ( x)的反函数f-1( x )=_.3.不等式x+1x>1的解为_.4.已知球的主视图所表示图形的面积为9p，则该球的体积是 .5.函数 f ( x) =cos 2 x -sin x3cos x2在区间é p ùê úë û上的最小值为_.6. 若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x 2 +mx +n =0的一个根，则圆锥曲线x2 y 2+ =1m n的焦距为 .7.设无穷等比数列a的公比为 nq.若a的各项和等于 nq，则首项a1的取

3、值范围是 .8.已知点O (0,0), A(2,0), B (1,-2 3)，P是曲线y = 1 -x 24上一个动点，则uuur uuurOP ×BA的取值范围是 .9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队在每局赢的概率都是 0.5 ，则甲队获得冠军的概率为_.（结果用数值表 示）10. 已 知 函 数f ( x) =x +4x-1， 若 存 在é1 ùx , x , L , x Î , 4 1 2 n， 使 得f ( x ) + f ( x ) +L + f ( x ) = f ( x )

4、 1 2 n -1 n，则正整数 n 的最大值是_.11.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A(3 , 3)，点P ( x , y )ìï 的坐标满足 í3x -y £0 x - 3 y +2 ³0，ïïîy ³01uuur uuur则 OA 在 OP 上的投影的取值范围是 .12. 函 数 f ( x ) =sinwx (w >0)的 图 像 与 其 对 称 轴 在 y 轴 右 侧 的 交 点 从 左 到 右 依 次 记 为A , A , A , L , A , L , 1 2 3 n在点列A

5、n中存在三个不同的点 A , A , Ak lp，使得 DA A A k lp是等腰直角三角形.将满足上述条件的 w 值从小到大组成的数列记为wn，则w2019=_.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.满足条件z -i =3 +4i（i是虚数单位）的复数 z在复平面上对应的点的轨迹是（ ）（A）直线 （B）圆 （C）椭圆 （D）双曲线14. 设 n ÎN*，则“数列a为等比数列”是“数列 na满足 a ×an nn +3=an +1×an +2”的（ ）

6、（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件15.已知直线l : 4 x -3 y +6 =0 和直线 l : x =-1 1 2，则抛物线y 2 =4 x上一动点 P 到直线 l 和直1线 l 的距离之和的最小值是（ ） 2（A）3716（B）11 7（C） 2 （D）5 416.设f ( x)是定义在 R 上的函数，若存在两个不等实数x , x ÎR 1 2,使得f (x +x f ( x ) + f ( x ) 1 2 ) = 1 22 2，则称函数f ( x )具有性质 P ,那么以下函数：f ( x) =ìï

7、37;1x( x ¹0)； f ( x ) =x3； f ( x) = x 2 -1； f ( x ) =x2中，不ïî0 ( x =0)具有性质 P 的函数为（ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置 写出必要的步骤 .17.（本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 2cos 2 A+4cos( B +C ) +3 =0 （1）求角 A 的大小；.（2）若a =3 ， b +c =3

8、 ，求 b 和 c 的值.2A18.（本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）D1C1如图：正四棱柱ABCD -A B C D1 1 1 1中，底面边长为 2，BC1与底面ABCD1B1所成角的大小为 arctan2 ， M 是 DD 的中点， N 是 BD 上的一动点，1M设uuur uuurDN =lDB (0 <l<1).（1）当l=12时，证明：MN与平面ABC D1 1平行；ADNBC（2）若点 N 到平面 BCM 的距离为 d ，试用 l 表示 d ，并求出 d 的取值范围.19.（本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8

9、分）2018 年世界人工智能大会已于 2018 年 9 月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组 受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如下图： A 、 B 两个信号源相距 10 米，O是 AB的中点，过O点的直线l与直线 AB的夹角为 45 0.机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到 A点的信号比接收到 B8点的信号晚 秒(注：信号每秒传 v0播 v0米).在时刻 t 时，测得机器鼠距离 O 点为 4 米.0yl（1）以O为原点，直线 AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线 l 不超过

10、1.5 米的区域运 动时，有“被抓”的风险 .如果机器鼠保持目前的运动轨迹 不变，是否有“被抓”风险？20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题 满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）A O Bx对于项数为m( m ³3)的有穷数列an，若存在项数为 m +1 ，公差为 d 的等差数列bn，使得b <a <b k k k +1，其中k =1,2, , m，则称数列an为“等差分割数列”.（1）判断数列an:1,4,8,13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列an的通项公式为a =2nn( n =1,2,L , m)，求证：当m

11、79;5 时，数列an不是“等差分割数列”；（3）已知数列an的通项公式为 a =4 n +3( n =1,2, L , m )n，且数列an为“等差分割数列”.3112=í2xx -pçú若数列bn的首项b =31，求数列bn的公差 d 的取值范围（用 m 表示） .21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）已知函数y = f1(x)，y = f2(x)，定义函数f(x)ìïf(x),f(x)£f(x) ïîf2(x),f1(x)>f2(x).

12、（1）设函数 f (x)=x, f (x)=1 2æ1 öç ÷è øx -1(x³0),求函数y = f (x)的值域；（2）设函数f (x)=lg(p -x +1) 1（0 <x £12, p为实常数）， f (x)=lg21xæçè0 <x £12ö÷ø，当0 <x £12时，恒有f (x)=f(x),1求实常数 p 的取值范围；（3）设函数f ( x) =2 , f ( x) =3 ×2 , 1 2p

13、为正常数，若关于 x 的方程 f ( x) =m ( m 为实常数）恰有三个不同的解，求 p 的取值范围及这三个解的和（用 p 表示）.一、填空题：(共 54 分，第 1参考答案6 题每题 4 分；第 712 题每题 5 分)1.1，42.log ( x -1) 23.(0,+ ¥)4.36p5.-326.67.æ 1 ù( -2,0) È 0,è 4 û8.-2,439. 10.4611.-3,312.40372p二、选择题：(共 20 分，每题 5 分)13. B 14. A 15. C 16. D三、解答题17、解：（1）由2c

14、os 2 A+4cos( B +C ) +3 =0 ，得 4cos2A +4cos( B +C ) +1 =0，（2 分）因为A +B +C =p，所以 cos( B +C ) =-cos A，故(2 cos A -1) 2 =0，（4 分）42 2 2îî î11所以， cos A =1 p， A =2 3 （6 分）（2）由余弦定理， a =b +c -2bc cos A，得 b 2 +c 2 -bc =3， （8 分）(b +c )2-3bc =3，得bc =2， （10 分）ìb+c =3 , 由 íbc =2 ,ìb =2

15、, ìb =1 , 解得 í 或 íc =1 , c =2 .（14 分）18、解：(1) 因为C1是BC1上的点，且C1在平面ABCD上的射影是C，即BC是BC 在平面 ABCD 上的射影，于是 1ÐC BC1是BC 与底面 ABCD 所成的角， 1CC CC而 tan ÐC BC = 1 = 1 =2 ,所以 CC =4 .BC 2如图，以 D 为原点，直线 DA 为 x 轴，直线 DC 为 y 轴，（2 分）zD1C1直线DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系.1连结 BD ，因为 M 是 DD 的中点， N 是 BD 中点， 1 1MN

16、/ BD所以， （4 分） 1A1MB1于是ur设 n1于是uuuur uuuur uuuur uuuurMN / BD ，令 MN =tBD (t ÎR ) .1 1ur uuuur是平面 ABC D 的法向量，则 n BD ，1 1 1 1ur uuuur ur uuuur ur uuuur ur uuuur n ×MN =n ×(tBD ) =tn ×BD =0 ，即 n MN1 1 1 1 1 1，xADNBCy又因为MN不在平面ABC D1 1内，所以MN与平面ABC D1 1平行. （6 分）z(2)由于 B (2,2,0), C (0,2,

17、0), M (0,0,2) uuur uuuur于是 CB =(2,0,0), CM =(0, -2, 2) .，（8 分）A1D1B1C1uur设平面 BCM 的法向量 n =( x, y, z )2，M因为uur uuur uur uuuur n ×CB =0, n ×CM =02 2ì，于是 íî2 x =0 -2y +2 z =0，DNCy取 y =1 ，则平面 BCM 的一个法向量为 uuur uuur因为 DN =lDB (0 <l<1)，uurn =(0,1,1)2.（10 分）xAB于是N (2l,2 l,0)(0

18、<l<1)，50x 2 y 2x 2 y 2x 2 y 2则uuuurMN =(2l,2l,-2)， （11 分）所以点N到平面BCM的距离d =uuuur uurMN ×nuur 2 = 2 - 2l, | n |2lÎ(0,1)，（13 分）从而d的取值范围是 (0, 2).（14 分）19、解：（1）设机器鼠在点P ( x, y)处，则由题意，得8PA - PB = ×v =8 < ABv0所以， P 为以 A 、 B 为焦点，实轴长为 8，焦距为 10 的双曲线右支上的点，（2 分）该双曲线的方程为- =1 (x³4) 16 9

19、， （4 分）又PO = x2 +y 2=4，解得P (4,0)，即在时刻t0时，机器鼠所在位置的坐标为（4，0）.（6 分）（2）与直线 l 平行且距离不超过1.5 的直线方程为y =x +m ( m £3 22)（8 分）考虑y =x +m ( m £3 22)与- =1 (x³4) 16 9是否有交点，ìx2 y 2 ï - =1í16 9ïy =x +m îÞ 7 x2 +32mx +16 m 2 +144 =0 Þ D=576m 2 -4032（10 分）因为m £3 22，

20、所以D<0（12 分）所以，y =x +m ( m £3 22)与- =1 (x³4) 16 9没有交点，即机器鼠保持目前的运动轨迹不变，没有“被抓”风险.（14 分）20、解：(1)因为存在等差数列 -1,3,7,11,15，满足 -1 <1 <3 <4 <7 <8 <11 <13 <15，（2 分）所以数列an:1,4,8,13是“等差分割数列”.（4 分）(2)当 m ³5时，若存在公差为 d ，项数为 m +1 项的等差数列bn满足：b <a <b k k k +1，其中 k =1,2, ,

21、 m，则有b <2 <b <4 <b <8 <b <16 <b <32 <b < <b 1 2 3 4 5 6 m，（6 分）于是d =b -b <8 -2 =6 3 2，62 13 1m 1213 14 1m 1m 1m -1 1m 1m -1 1m 12ï()x -1ïç÷2()ç÷ çúç÷所以b <b +3 ´6 <8 +18 =26 ，与 b >32 6 3 6矛盾，（8 分）即

22、m ³5时，an不是“等差分割数列”.（10 分）(3)由题意知,b <a <b +d <a <b +2 d <a <b +3d <a <b +4 d <a <b +5d < 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1<b +( m -1)d <a <b +md 1 m 1于是一方面，d >a -b =4, d > 1 11 1 1( a -b ) =4, d > ( a -b ) =4, , d > ( a -b ) =4 2 3 m，所以 d >4.（11 分）另一方

23、面，1 1 1d <a -b , d < ( a -b ), d < ( a -b ), , d < ( a -b )2 3 m -1， （13 分）由于1 1 -4( a -b ) - ( a -b ) =m -1 m -2 ( m -1)(m -2)，又因为 m ³3 ，于是1 1 1 4 m( a -b ) < ( a -b ) ，所以 d < ( a -b ) =m -1 m -2 m -1 m -1.（15 分）综上所述， 4 <d <4 mm -1.（16 分）21、解：（1）因为f (1)=f(1)=1 1 2，当x &#

24、206;0,1时，f (x)=x 1单调递增；当x Î(1,+¥)时， f (x)=2æ1 öç ÷è øx -1单调递减.所以ì x ,0 £x £1 f x =íæ1ö, x >1îèø（2 分）当0 £x £1 时， f(x)Î0,1；当x>1时，f(x)Î(0,1) y = f (x)值域为0,1（4 分）（ 2 ）0 <x £12时，f (x)=f(

25、x)1恒成立，等价于f (x)£f(x), 1 2对0 <x £12恒成立，即1 1 1 1 1lg p -x +1 £lg , p -x +1 £ ， p -x £ -1, - +1 £p -x £ -1x x x x x即x -1 1 1 +1 £p £x + -1 对 0 <x £x x 2恒成立， （5 分）æ 1 Q x - +1è xö æ 1 ù在 x Î 0,ø è 2 û上递增

26、 x =1 æ时，2 è1 öx - +1 =- x ømax12（7 分）7æç÷ çúç÷£3 ×2ï200又Q x +è1x-1ö æ 1 ù在 x Î 0,ø è 2 û上递减， x =1 æ 1 ö 时， x + -1 =2 è x ømin32（9 分）1 3- £ p £2 2（3）Q f ( x ) =

27、 f ( -x), f ( p +x ) = f ( p -x )1 1 2 2（10 分） 函数f ( x), f ( x) 1 2图像分别关于直线 x =0, x = p对称.当 x ÎR 时，若 f ( x ) = f ( x )1恒成立，等价于f ( x) £ f ( x ) 1 2恒成立，即2x x -p即2x -x -p£3，即x -x -p £log 32恒成立.ì-p,( x <0)当 p >0 时，设 g (x)=x-x-p =í2x -p ,(0 £x £ p )ïîp ,( x >p) g ( x )max= p ，故 0 <p £log 32成立.（12 分）0 < p £log 3 时， f ( x) = f ( x)当2 1Q f (x)为