高中数学必修一第三章 3.3

1、1 / 13 33 幂函数幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握 yx1，12，1，2，3 的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x是自变量，是常数 知识点二 五个幂函数的图象与性质 1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)y12x；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图 2五个幂函数的性质 yx yx2 yx3 12yx= yx1 定义域 r r r 0，) x|x0 值域 r 0，) r 0，) y|y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调

2、性 增 在0，) 上增， 在(，0 上减 增 增 在(0，)上减， 在(，0)上减 知识点三 一般幂函数的图象特征 1所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1) 2当 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当 1时，幂函数的图象下凸；当 01 时，幂函数的图象上凸 2 / 13 3当 1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列 预习小测 自我检验 1下列函数中不是幂函数的是_ yx0； yx3； y2x； yx1. 答案 2设 1，1，12，3 ，则使函数 yx的定义域为 r 且为奇函数的所有 的值为_ 答案 1,3

3、解析 当幂函数为奇函数时，1,1,3， 又函数的定义域为 r， 所以 1，所以 1,3. 3当 x(0,1)时，x2_x3.(填“”“”或“ 4已知幂函数 f(x)x图象过点2，22，则 f(4)_. 答案 12 一、幂函数的概念 例 1 (1)下列函数： yx3；y12x；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a1)其中幂函数的个数为( ) a1 b2 c3 d4 答案 b 解析 幂函数有两个 (2)已知222()2223mymmxn是幂函数，求 m，n 的值 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 3 / 13 解 由题意得 m22m21，2n30， 解得 m3，n32或

4、 m1，n32. 所以 m3 或 1，n32. 反思感悟 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量 x前的系数为 1. (2)底数为自变量 x. (3)指数为常数 跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)k x的图象过点12，22，则 k 等于( ) a.12 b1 c.32 d2 答案 c 解析 由幂函数的定义知 k1. 又 f 1222，所以1222， 解得 12，从而 k32. (2)已知 f(x)ax2a1b1是幂函数，则 ab等于( ) a2 b1 c.12 d0 答案 a 解析 因为 f(x)ax2a1b1是幂函数， 所以 a1，b10， 即 a1，b1，则 ab2. 二、幂函数的图象

5、及应用 例 2 (1)已知幂函数 f(x)x的图象过点 p2，14，试画出 f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间 解 因为 f(x)x的图象过点 p2，14， 所以 f(2)14，即 214， 得 2，即 f(x)x2， f(x)的图象如图所示， 4 / 13 定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0) (2)下列关于函数 yx与 yx1，12，2，3的图象正确的是( ) 答案 c 反思感悟 (1)幂函数图象的画法 确定幂函数在第一象限内的图象：先根据 的取值，确定幂函数 yx在第一象限内的图象 确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函

6、数 f(x)在其他象限内的图象 (2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数 yx(r)，由于 的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同同时，注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 2 (1)如图所示，c1，c2，c3为幂函数 yx在第一象限内的图象，则解析式中的指数 依次可以取( ) a.43，2，34 b2，34，43 c2，43，34 d.34，43，2 答案 c 5 / 13 (2)在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax1a的图象可能是( ) 考点 幂函数的图象 题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 c 解析 选项 a 中，幂函数的指数 a1，

7、则直线 yax1a应为增函数，b错误； 选项 d中，幂函数的指数 a0，直线 yax1a在 y 轴上的截距为正，d错误 三、比较幂值的大小 例 3 比较下列各组数的大小 (1)250.5与130.5； (2)231与351； (3)1332与1413. 解 (1)因为幂函数 yx0.5在(0，)上是单调递增的， 又2513，所以250.5130.5. (2)因为幂函数 yx1在(，0)上是单调递减的， 又23351. (3)因为13yx=在(0，)上是单调递增的， 所以11333211， 又14yx=在(0，)上是单调递增的， 所以11441311，所以13143213. 反思感悟 此类题在构

8、建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变比较大小的问题主要6 / 13 是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数 0 和 1 是常用的中间量 跟踪训练 3 比较下列各组数的大小： (1)523和523.1； (2)254.1，233.8和()351.9. 解 (1)函数 y52x在(0，)上为减函数， 又 33.1，所以525233.1. (2)5252114.1 ；2323011;3.8=()351.90, 所以()2235353.81 .1.94. 幂函数性质的应用 典例 已知幂函数 yx3m9 (mn*)的图象关于 y 轴对称且在(0，)上单调递减，求满足 ()()3

9、3312mmaa+的 a的取值范围 考点 幂函数的性质 题点 利用幂函数的性质解不等式 解 因为函数在(0，)上单调递减，所以 3m90， 解得 m32a0或 32aa10或 a1032a， 解得23a32或 a1. 故 a的取值范围是a a1或23a322 d7878819 答案 a 3函数 yx3在区间4，2上的最小值是_ 答案 18 解析 因为函数 yx31x3在(，0)上单调递减， 所以当 x2时，ymin(2)31(2)318. 4若幂函数( )22231()mmf xmmx 在(0，)上是减函数，则实数 m_. 答案 2 解析 令 m2m11，得 m2 或 m1. 当 m2 时，m

10、22m33符合要求 当 m1时，m22m30不符合要求 故 m2. 5先分析函数23yx=的性质，再画出其图象 解 2323yxx=，定义域为 r，在0，)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下： 8 / 13 1知识清单： (1)幂函数的定义 (2)几个常见幂函数的图象 (3)幂函数的性质 2方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式 (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想 3常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如 yx( 为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数 1下列函数中是幂函数的是( ) ayx4x2 by10 x cy1x3 dyx1 考点 幂函数的概念

11、 题点 判断函数是否为幂函数 答案 c 解析 根据幂函数的定义知，y1x3是幂函数， yx4x2，y10 x，yx1 都不是幂函数 2下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的是( ) ayx2 byx1 cyx2 dy13x 答案 a 解析 其中 yx2和 yx2是偶函数，yx1和 y13x不是偶函数，故排除选项 b，d，又yx2在区间(0，)上单调递增，不合题意，yx2在区间(0，)上单调递减，符合题意，故选 a. 9 / 13 3已知 f(x)12x，若 0ab1，则下列各式中正确的是( ) af(a)f(b)f 1af 1b bf 1af 1bf(b)f(a) cf(a)f

12、(b)f 1bf 1a df 1af(a)f 1bf(b) 考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 c 解析 因为函数 f(x)12x在(0，)上是增函数， 又 0ab11b1a，故 f(a)f(b)f 1bf 1a，故选 c. 4已知 y(m2m5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则 m 的值为( ) a3 b2 c3或 2 d3 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 a 解析 由 y(m2m5)xm是幂函数，知 m2m51，解得 m2 或 m3.该函数在第一象限内是单调递减的，m2.5，则 的取值范围是_ 答案 0 解析 因为 02.42.5， 所以 yx

13、在(0，)上为减函数故 0. 7已知 m(a23)1(a0)，n31，则 m与 n 的大小关系为_ 答案 m30，f(x)在(0，)上是减函数， 则 f(a23)f(3)，即(a23)131， 故 mg(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)； 当 x1 时，f(x)g(x)；当 x(0,1)时，f(x)g(x) 11已知幂函数 f(x)xm3(mn*)为奇函数，且在区间(0，)上是减函数，则 m 等于( ) a1 b2 c1或 2 d3 答案 b 解析 因为 f(x)xm3在(0，)上是减函数， 所以 m30. 所以 m3. 又因为 mn*， 所以 m1,2. 又因为 f(x)xm3是奇函

14、数， 所以 m3是奇数， 所以 m2. 12函数 y12x1 的图象关于 x轴对称的图象大致是( ) 答案 b 解析 y12x1 的定义域为0，)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以 y12x1 关于 x轴对称的图象是下降的，故选 b. 12 / 13 13若12(1)a12(32 )a，则 a 的取值范围是_ 答案 1，23 解析 函数 y12x在0，)上是增函数， 所以 a10，32a0，a132a，解得1a23. 14已知幂函数 f(x)的图象过点(9,3)，则 f 12_，函数 f 1x1 的定义域为_ 答案 22 (0,1 解析 令 f(x)x，f(9)3，即 93，12， 故 f

15、(x)12x x，f 1222. 令1x10解得 0 x1， 故 f 1x1 的定义域为(0,1 15已知幂函数 y223mmx (mz)的图象与 x轴和 y轴没有交点，且关于 y轴对称，则 m等于( ) a1 b0,2 c1,1,3 d0,1,2 答案 c 解析 幂函数 y223mmx(mz)的图象与 x 轴、y轴没有交点，且关于 y 轴对称， m22m30，且 m22m3(mz)为偶数， 由 m22m30，得1m3，又 mz， m1,0,1,2,3. 当 m1时，m22m31230，为偶数，符合题意； 当 m0 时，m22m33，为奇数，不符合题意； 当 m1 时，m22m31234，为偶数，符合题意； 当 m2 时，m22m34433，为奇数，不符合题意； 当 m3 时，m22m396