高一数学必修4课件：平面向量数量积的物理背景及其含义

1、高一数学必修高一数学必修4第二章第二章一个物体在力一个物体在力f的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）fs那么力那么力f所做的功所做的功w为：为：从运算结果知，从运算结果知，功的大小等于两向量的模功的大小等于两向量的模与其夹角余弦的乘积与其夹角余弦的乘积.情景引入情景引入w=|f| |s|cos 其中其中是是f与与s的夹角的夹角数量积的定义数量积的定义规定：规定： 000aa （1）两向量的数量积是一个数量，）两向量的数量积是一个数量，注意注意| | |cosa ba b 已知两个已知两个非零向量非零向量a 和和b ，它们的夹，它们的夹角为角为 ，我们把，我们把数量数量 叫做叫做a

2、 与与b 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作a b ，即即| | |cosa b （2） a b不能写成不能写成ab ，不能省不能省.例题讲解例题讲解例例1已知已知|a |=5，|b |=4，a与与b的夹角的夹角 ，求，求a b.120 ex:如图的菱形如图的菱形abcd中，角中，角a等于等于 ， ab=2,求下列各数量积求下列各数量积.60dabc,.ab ad ab bc ab cdab dc ba bc ac bd 物理上力所做的功实际上是将力正交分物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功解，只有在位移方向上的力做功sf 对非零向量对非零向量a与与b，

3、定义定义| b | cos叫叫向量向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影| a | cos叫叫向量向量a在在b 方向上的投影方向上的投影数量积的几何意义数量积的几何意义oaaobb 作，过点，过点b作作1bboa直线则则 的数量的数量是是| b | cos1ob（不是向量）（不是向量） a b的几何意义：的几何意义：数量积数量积a b等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上投影的方向上投影|b|cos 的乘积的乘积。 为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0数量积的几何意义数量积的几何意义 oabbab

4、1b1oab baoab ba数量积的性质：数量积的性质：2| | |a aaaa a 或（3）cos| | |a ba b 设设a，b都是都是非零向量非零向量，则：，则：（1 1）ab a b=0（4）|a b | | a | | b |（2 2）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b = 当当a 与与b 反向时，反向时， | a | | b |，a b =| a | | b |判断垂直的又一条件判断垂直的又一条件求模的方法求模的方法求角求角特别地特别地:回顾实数运算中有关的运算律，类比数回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律量积得运算律: 在实数中在实数中 在向量运算中在向量运

5、算中交换律交换律: ab=ba ( )结合律：结合律： (ab)c=a(bc) ( ) ( )分配律：分配律： (a+b)c=ab+bc ( )消去律消去律: ab=bc(b0) a=c ( )a bb a ()()a b ca b c ()()()a ba bab ()ab ca cb c (0)a bb c bac 数量积的运算律数量积的运算律 则： (a + b) c = on |c| = (om + mn) |c| = om|c| + mn|c| = ac + bc . onma+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是om、mn、 on, 证明运算律证明运算律(3)数

6、量积的运算律数量积的运算律已知向量已知向量a、b、c和实数和实数 ，则，则:(1);(2) ()()()(3)a bb aaba bababca cb c 判断正误，并说理判断正误，并说理.1.已知向量已知向量a、b、c和实数和实数1 1若若a b= =0，则，则a、b中至少有一个为中至少有一个为02. 2. 若若b0，abcb ，则，则a=c4. 对任意向量对任意向量 a 有有22| |aa3. (ab)c=a(bc)5.0().abb时，与 的方向相同巩固练习巩固练习2. 已知已知abc中中, ab=a, ac=b, 当当 ab 0, ab =0时时, abc各是什么各是什么三角形？三角形

7、？当当a b0时，时， cos 0，为钝角三角形为钝角三角形当当a b=0时，时，为直角三角形为直角三角形巩固练习巩固练习3. 3. 在在abcabc中中a=5,b=8,c=60a=5,b=8,c=60o o, , 求求bc ca 典型例题典型例题222221)2(2) () ()abaa bbababab （）(例例1.已知向量已知向量a，b,求证下列各式求证下列各式证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算2.| 6,| 4,60 ,(1)(2 ) (3 )abababab例 已知与 夹角为求：(2)2 |.ab729612366cos663-22222 |b|b| |a|a|b|ba|a|bbbaa ababa）（）解解：（3.| 3,| 4,.,()()ababkakbakb例 已知且 与 不共线为何值时？解：解：a+