高中数学选修一2.4.1分层演练综合提升

1、1 / 6 a 级 基础巩固 1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是 ( ) a.(-2,3),1 b.(2,-3),3 c.(-2,3),2 d.(2,-3),2 解析:由圆的标准方程可得,圆心坐标为(2,-3),半径为2. 答案:d 2.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的标准方程为 ( ) a.x2+(y-4)2=25 b.x2+(y+4)2=25 c.(x-4)2+y2=25 d.(x+4)2+y2=25 解析:由题意,得两圆的半径 r=(0-3)2+ (4-0)2=5,故圆的标准方程为 x2+(y-4)2=25. 答案:a 3.已知圆 c:(x-6)2+(y-8)

2、2=4,o为坐标原点,则以 oc为直径的圆的标准方程为 ( ) a.(x-3)2+(y+4)2=100 b.(x+3)2+(y-4)2=100 c.(x-3)2+(y-4)2=25 d.(x+3)2+(y-4)2=25 解析:由题意,得线段 oc的中点坐标为(3,4),以 oc为直径的圆的半径为32+ 42=5, 所以以 oc为直径的圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 答案:c 2 / 6 4.经过原点,圆心在 x轴的负半轴上,半径为 2 的圆的标准方程是(x+2)2+y2=4. 解析:由题意,得圆心是(-2,0).因为半径为 2,所以圆的标准方程是(x+2)2+y2=4. 5.

3、若点(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26内,则 a 的取值范围是0,1). 解析:因为点(5+1,)在圆内,所以(5+1-1)2+()226,解得a1.因为 a0,所以 a 的取值范围是0,1). 6.求下列圆的标准方程: (1)圆心是(4,0),且过点(2,2); (2)圆心在 y轴上,半径为 5,且过点(3,-4). 解:(1)由题意,得圆的半径 r=(2-4)2+ (2-0)2=22, 所以圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为 c(0,b), 则(3-0)2+(-4-b)2=52, 解得 b=0 或 b=-8, 所以圆心为(0,0)或(0,-8). 因为圆的半径 r

4、=5, 所以圆的标准方程为 x2+y2=25 或 x2+(y+8)2=25. b 级 拓展提高 7.圆心为 c(-1,2),且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的标准方程是 ( ) a.(x-1)2+(y+2)2=5 3 / 6 b.(x-1)2+(y+2)2=20 c.(x+1)2+(y-2)2=5 d.(x+1)2+(y-2)2=20 解析:因为一条直径的两个端点在两坐标轴上,所以该圆一定过原点,所以半径 r=(-1-0)2+ (2-0)2=5.又因为圆心为 c(-1,2),所以圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 答案:c 8.直线 x+y+2=0 分别与 x轴、y轴交于 a

5、,b 两点,点 p在圆(-2)2+y2=1上,则abp 面积的取值范围是 ( ) a.2,22 b.2,4 c.1,2 d.1,3 解析:由题意得 a(-2,0),b(0,-2),圆心为(2,0),所以|ab|=2,圆心到直线 ab 的距离为|2+0+2|12+12=2,所以点 p 到直线 ab 的最小距离为 2-1=1,最大距离为 2+1=3,所以abp 面积的最小值为12 2 1=1,最大值为12 2 3=3.所以abp 面积的取值范围为1,3. 答案:d 9.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线 x-y=2的距离的最大值是2+1. 解析:由题意知圆心为(1,1),半径为 1.因为

6、圆心到直线 x-y=2的距离 d=|1-1-2|2=2,所以圆上的点到直线 x-y=2的距离的最大值为2+1. 10.在abc中,边 ab,ac,bc所在直线的方程分别为 y=-1,x-3y-5= 0,x+2y-5=0. 4 / 6 (1)求 bc边上的高所在直线的方程; (2)若圆 e 过直线 x-y-5=0上一点及点 a,则当圆 e 面积最小时,求其标准方程. 解:(1)联立 = -1,-3-5 = 0,解得 = 2, = -1, 所以点 a 的坐标为(2,-1). 因为直线 bc的斜率为-12,所以 bc边上的高所在直线的方程为y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0. (2)过点 a

7、 向直线 x-y-5=0作垂线,垂足记为 d(图略),显然,当圆 e以线段 ad 为直径时面积最小. 易知直线 ad 的斜率为-1, 则直线 ad 的方程为 y+1=-(x-2). 由-5 = 0, + 1 = -(-2),解得 = 3, = -2, 所以点 d 的坐标为(3,-2). 所以圆 e 的圆心为(52,-32), 半径为(3-52)2+ (-2 +32)2=22, 所以当圆 e面积最小时,其标准方程为(-52)2+( +32)2=12. 11.如图,矩形 abcd的两条对角线交于 m(3,0),边 ab所在直线的方程为 x-3y-7=0,点 e(0,1)在边 bc所在直线上. (1

8、)求边 ad所在直线的方程; (2)求点 a 的坐标以及矩形 abcd 外接圆的标准方程. 5 / 6 解:(1)设直线 bc的方程为 3x+y+s=0. 因为直线 bc过点 e(0,1), 所以 3 0+1+s=0,解得 s=-1. 所以直线 bc的方程为 3x+y-1=0. 设直线 ad 的方程为 3x+y+t=0. 因为 m 为矩形对角线的交点, 所以|33+0+|1+9=|33+0-1|1+9, 解得 t=-1(舍去)或 t=-17. 所以边 ad 所在直线的方程为 3x+y-17=0. (2)由3 + -17 = 0,-3-7 = 0,得 =295, = -25, 所以点 a 的坐标

9、为(295,-25), 所以|am|=(295-3)2+ (-25-0)2 =22, 所以矩形 abcd 的外接圆的标准方程为(x-3)2+y2=8. c 级 挑战创新 12.多空题若圆经过 a(2,5),b(-2,1)两点,并且圆心在直线 y=12x上,则圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16,圆上的点到直线 3x-4y+23=0 的最小距离为 1. 6 / 6 解析:由题意,得线段 ab 的中点为(0,3), 因为经过 a(2,5),b(-2,1)的直线的斜率为5-12+2=1, 所以线段 ab 的垂直平分线的方程为 y=-x+3,与直线方程 y=12x联立,解得圆心坐标为(2,1), 所以圆的半径 r=(2-2)2+ (5-1)2=4, 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16. 因为圆心到直线 3x-4y+23=0 的距离 d=|32-41+23|32+(-4)2=5,所以圆上的点到直线 3x-4y+23=0 的最小距离为 d-r=1. 13.多空题已知圆 c1:(x+1)2+(y-3)2=25,圆 c2与圆 c1关于点(2,1)对称,则圆 c2的圆心坐标为(5,-1),圆 c2的标准方程为(x-5)2+(y+1)2=25. 解析:由圆 c1:(x+1)2+(y-3)2=25,可得圆心 c