高考数学一轮复习第3章 第2节 利用导数解决函数的单调性问题 (2)

1、1 / 17 利用导数解决函数的单调性问题 考试要求 1.了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次) 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数 yf(x)在 区间(a，b)上可导 f(x)0 f(x)在(a，b)内单调递增 f(x)0 f(x)在(a，b)内单调递减 f(x)0 f(x)在(a，b)内是常数函数 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 常用结论 1在某区间内 f(x)0(f(x)0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件 2可导函数

2、f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且 f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)在(a，b)内 f(x)0，且 f(x)0 的根有有限个，则 f(x)在(a，b)内是减函数( ) (2)若函数 f(x)在定义域上都有 f(x)0，则函数 f(x)在定义域上一定单调递减( ) (3)已知函数 f(x)在区间a，b上单调递增，则 f(x)0恒成立( ) 答案 (1) (2) (3) 2 / 17 二、教材习题衍生 1.如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x)的图象，则下面判断正确

3、的是( ) a在区间(3,1)上 f(x)是增函数 b在区间(1,3)上 f(x)是减函数 c在区间(4,5)上 f(x)是增函数 d在区间(3,5)上 f(x)是增函数 c 由图象可知，当 x(4,5)时，f(x)0，故 f(x)在(4,5)上是增函数 2函数 f(x)cos xx在(0，)上的单调性是( ) a先增后减 b先减后增 c增函数 d减函数 d 因为 f(x)sin x10在(0，)上恒成立， 所以 f(x)在(0，)上是减函数，故选 d. 3函数 f(x)xln x的单调递减区间为_ (0,1 函数 f(x)的定义域为x|x0，由 f(x)11x0，得 0 x1， 所以函数 f

4、(x)的单调递减区间为(0,1 4已知 f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数 a 的最大值是_ 3 f(x)3x2a0，即 a3x2， 又因为 x1， )，所以 a3，即 a的最大值是 3. 考点一 不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求 f(x) (3)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递增区间 (4)在定义域内解不等式 f(x)0，得单调递减区间 1已知函数 f(x)x22cos x，若 f(x)是 f(x)的导函数，则函数 f(x)的图3 / 17 象大致是( ) a b c d a 设 g(x)f(x)2x2sin x，则 g

5、(x)22cos x0. 所以函数 f(x)在 r 上单调递增，故选 a. 2(2020 河北九校联考)函数 yx3x2ln x的单调递减区间是( ) a(3,1) b(0,1) c(1,3) d(0,3) b y13x22xx22x3x2(x0)， 令 y0得 x22x30 x0，解得 0 x1，故选 b. 3(2019 天津高考改编)函数 f(x)excos x 的单调递增区间为_ 2k34，2k4(kz) f(x)excos xexsin xex(cos xsin x)， 令 f(x)0 得 cos xsin x， 2k34x2k4，kz， 即函数 f(x)的单调递增区间为2k34，2k

6、4(kz) 点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降 (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错 考点二 含参数的函数的单调性 4 / 17 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和函数的间断点 典例 1 已知函数 f(x)ex(exa)a2x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)0，求 a 的取值范围 解

7、 (1)函数 f(x)的定义域为(，)， f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa) 若 a0，则 f(x)e2x在(，)上单调递增 若 a0，则由 f(x)0得 xln a. 当 x(，ln a)时，f(x)0； 当 x(ln a，)时，f(x)0. 故 f(x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增 若 a0，则由 f(x)0得 xlna2. 当 x，lna2时，f(x)0； 当 xlna2， 时，f(x)0. 故 f(x)在，lna2上单调递减， 在lna2， 上单调递增 (2)若 a0，则 f(x)e2x，所以 f(x)0. 若 a0，则由(1)得，当 xln

8、a时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)a2ln a， 从而当且仅当a2ln a0，即 0a1 时，f(x)0. 若 a0，则由(1)得，当 xlna2时，f(x)取得最小值， 5 / 17 最小值为 f lna2a234lna2，从而当且仅当 a234lna20， 即2e34a0时，f(x)0. 综上，a的取值范围是2e34，1 点评：要使 f(x)0，只需 f(x)min0；要使 f(x)0，只需 f(x)max0. 跟进训练 已知函数 f(x)ln xax2(2a1)x.若 a0，试讨论函数 f(x)的单调性 解 因为 f(x)ln xax2(2a1)x， 所以 f(x)2ax

9、2(2a1)x1x(2ax1)(x1)x， 由题意知函数 f(x)的定义域为(0，)， 令 f(x)0 得 x1或 x12a， (1)若12a1，即 a12， 由 f(x)0 得 x1或 0 x12a， 由 f(x)0 得12ax1，即函数 f(x)在0，12a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减； (2)若12a1，即 0a12，由 f(x)0得 x12a或 0 x1， 由 f(x)0 得 1x12a，即函数 f(x)在(0,1)， 12a， 上单调递增，在1，12a上单调递减； (3)若12a1，即 a12，则在(0，)上恒有 f(x)0， 即函数 f(x)在(0，)上单调递增

10、综上可得：当 0a12时，函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在1，12a上单调递减，在12a， 上单调递增； 6 / 17 当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递增； 当 a12时，函数 f(x)在0，12a上单调递增，在12a，1 上单调递减，在(1，)上单调递增 考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间 d上单调，实际上就是在该区间上 f(x)0(或f(x)0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“”是否可以取到 (2)可导函数在区间 d上存在单调区间，实际上就是 f(x)0(或 f(x)0)在该区间上存

11、在解集，即 f(x)max0(或 f(x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围 (3)若已知 f(x)在区间 d上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 d是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围 典例 2 已知函数 f(x)ln x，g(x)12ax22x(a0) (1)若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求 a的取值范围； (2)若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围 解 (1)h(x)ln x12ax22x，x(0，)， 所以 h(x)1xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区

12、间， 所以当 x(0，)时，1xax20有解， 即 a1x22x有解 设 g(x)1x22x， 所以只要 ag(x)min即可 而 g(x)1x121， 所以 g(x)min1. 7 / 17 所以 a1且 a0，即 a的取值范围是(1,0)(0，) (2)由 h(x)在1,4上单调递减得， 当 x1,4时，h(x)1xax20恒成立， 即 a1x22x恒成立 所以 ag(x)max，而 g(x)1x121， 因为 x1,4，所以1x14，1 ， 所以 g(x)max716(此时 x4)， 所以 a716且 a0，即 a 的取值范围是716，0 (0，) 母题变迁 1本例条件不变，若函数 h(

13、x)f(x)g(x)在1,4上存在单调递减区间，求a 的取值范围 解 h(x)在1,4上存在单调递减区间， 则 h(x)0 在1,4上有解， 所以当 x1,4时，a1x22x有解， 又当 x1,4时，1x22xmin1， 所以 a1且 a0，即 a的取值范围是(1,0)(0，) 2本例条件不变，若函数 h(x)f(x)g(x)在1,4上不单调，求 a的取值范围 解 因为 h(x)在1,4上不单调， 所以 h(x)0 在(1,4)上有解， 即 a1x22x有解， 令 m(x)1x22x，x(1,4)， 则1m(x)716， 8 / 17 所以实数 a的取值范围为1，716. 点评：注意区分在区间

14、a，b上单调递增(减)和在区间a，b上存在单调递增(减)区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转化为不等式有解 跟进训练 已知函数 f(x)ln x，g(x)12axb. (1)若 f(x)与 g(x)的图象在 x1 处相切，求 g(x)； (2)若 (x)m(x1)x1f(x)在1，)上是减函数，求实数 m 的取值范围 解 (1)由已知得 f(x)1x， 所以 f(1)112a，所以 a2. 又因为 g(1)12abf(1)0，所以 b1.所以 g(x)x1. (2)因为 (x)m(x1)x1f(x)m(x1)x1ln x 在1，)上是减函数 所以 (x)x2(2m2)x1x(x1)2

15、0在1，)上恒成立， 即 x2(2m2)x10在1，)上恒成立， 则 2m2x1x，x1，)， 因为 x1x2，当且仅当 x1时取等号， 所以 2m22，即 m2. 故实数 m 的取值范围是(，2 考点四 函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小 一般地，在不等式中若同时含有 f(x)与 f(x)，常需要通过构造含 f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果 常见构造的辅助函数形式有： (1)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)； 9 / 17 (2)xf(x)f(x)xf(x)； (3)xf(x)f(x)f(x)x； (4)f(x)f(x)e

16、xf(x)； (5)f(x)f(x)f(x)ex. 比较大小 典例 31 (1)已知定义域为 r 的奇函数 yf(x)的导函数为 yf(x)，当x0 时，xf(x)f(x)0，若 af(e)e，bf(ln 2)ln 2，cf(3)3，则 a，b，c 的大小关系正确的是( ) aabc bbca cacb dcab (2)已知函数 yf(x)对于任意的 x0，2满足 f(x) cos xf(x)sin x1ln x，其中 f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列不等式成立的是( ) a. 2f 3f 4 b 2f 3f 4 c. 2f 6 3f 4 d 2f 3f 6 (1)d (2)b (1)

17、设 g(x)f(x)x，则 g(x)xf(x)f(x)x2， 当 x0时，xf(x)f(x)0，则 g(x)xf(x)f(x)x20， 即函数 g(x)在 x(0，)时为减函数 由函数 yf(x)为奇函数知 f(3)f(3)，则 cf(3)3f(3)3. af(e)eg(e)，bf(ln 2)ln 2g(ln 2)，cf(3)3g(3) 且 3eln 2， g(3)g(e)g(ln 2)， 即 cab，故选 d. (2)设 g(x)f(x)cos x，则 g(x)f(x)cos xf(x)sin xcos2x1ln xcos2x，x0，2. 10 / 17 令 g(x)0 得 x1e，当 x0

18、，1e时 g(x)0，函数 g(x)单调递减， 当 x1e，2时，g(x)0，函数 g(x)单调递增 1e6432， g6g4g3， 即f 312f 422f 632， 化简得 2f 3f 4， 3f 3f 6， 3f 4 2f 6，故选 b. 解不等式 典例 32 (1)已知函数 f(x)的定义域为 r，f(1)2，且对任意 xr，f(x)2，则 f(x)2x4的解集为( ) a(1,1) b(1，) c(，1) d(，) (2)已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则实数 a的取值范围是_ (1)b (2)1，12 (1)由 f(x)

19、2x4，得 f(x)2x40.设 f(x)f(x)2x4，则 f(x)f(x)2.因为 f(x)2，所以 f(x)0在 r 上恒成立，所以f(x)在 r 上单调递增又 f(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40 等价于 f(x)f(1)，所以 x1，故选 b. (2)因为 f(x)x32x1exexf(x)，所以函数 f(x)是奇函数因为f(x)3x22exex3x222 ex ex0，所以函数 f(x)在 r 上单调递增 又 f(a1)f(2a2)0，所以 f(2a2)f(1a)，所以 2a21a，即 2a2a11 / 17 10，解得1a12， 故实数 a的取值范围为1，

20、12. 点评：构造函数 f(x)，把所求不等式转化为 f(a)f(b)或 f(a)f(b)的形式，然后根据 f(x)的单调性得到 ab或 ab. 跟进训练 1已知 f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为 f(x)，且不等式 xf(x)2f(x)恒成立，则( ) a4f(1)f(2) b4f(1)f(2) cf(1)4f(2) df(1)4f(2) b 令 g(x)f(x)x2(x0)，则 g(x)xf(x)2f(x)x3， 由不等式 xf(x)2f(x)恒成立知 g(x)0，即 g(x)在(0，)是减函数， g(1)g(2)，即f(1)1f(2)4，即 4f(1)f(2)，故选 b.

21、 2设 f(x)和 g(x)分别是定义在 r 上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)分别为其导数，当 x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是( ) a(3,0)(3，) b(3,0)(0,3) c(，3)(3，) d(，3)(0,3) d 令 h(x)f(x)g(x)，当 x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，则 h(x)在 (，0)上单调递增，又 f(x)，g(x)分别是定义在 r 上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以 h(x)在(0，)上单调递增又由 g(3)0，可得 h(3)h(3)0，所以当 x3 或 0

22、x3时，h(x)0，故选 d. 3已知 f(x)是定义在 r 上的连续函数 f(x)的导函数，若 f(x)2f(x)0，且 f(1)0，则 f(x)0 的解集为( ) a(，1) b(1,1) c(，0) d(1，) a 设 g(x)f(x)e2x，则 g(x)f(x)2f(x)e2x0在 r 上恒成立，所以 g(x)在r 上单调递减因为 f(x)0，所以 g(x)0，又 g(1)0，所以 x1. 12 / 17 备考技法 2 导数中的函数构造问题 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现. 利用 f(x)与 xn构造函数

23、 1若 f(x)xnf(x)， 则 f(x)nxn1f(x)xnf(x)xn1nf(x)xf(x)； 2若 f(x)f(x)xn， 则 f(x)f(x)xnnxn1f(x)x2nxf(x)nf(x)xn1； 由此得到结论： (1)出现 nf(x)xf(x)形式，构造函数 f(x)xnf(x)； (2)出现 xf(x)nf(x)形式，构造函数 f(x)f(x)xn. 技法展示1 (1)已知偶函数 f(x)(x0)的导函数为 f(x)，且满足 f(1)0，当 x0时，2f(x)xf(x)，则使得 f(x)0成立的 x 的取值范围是_ (2)设 f(x)是定义在 r 上的偶函数，当 x0时，f(x)

24、xf(x)0，且 f(4)0，则不等式 xf(x)0 的解集为_ (1)(1,0)(0,1) (2)(，4)(0,4) (1) 构造 f(x)f(x)x2， 则 f(x)f(x) x2f(x)x3， 当 x0时，xf(x)2f(x)0，可以推出当 x0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减f(x)为偶函数，x2为偶函数，f(x)为偶函数，f(x)在(，0)上单调递增根据 f(1)0可得 f(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知 f(x)0的解集为(1,0)(0,1) (2)构造 f(x)xf(x)，则 f(x)f(x)xf(x)，当 x0时，f(x)xf(x

25、)0，可以推出当 x0 时，f(x)0， 13 / 17 f(x)在(，0)上单调递减f(x)为偶函数，x 为奇函数， f(x)为奇函数，f(x)在(0，)上也单调递减根据 f(4)0可得f(4)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)0的解集为(，4)(0,4) 评析 构造函数后可根据条件判断构造函数的单调性、奇偶性，画出相应函数的图象，再根据图象写出解集 技法应用 设 f(x)是定义在 r 上的偶函数，且 f(1)0，当 x0时，有 xf(x)f(x)0恒成立，则不等式 f(x)0 的解集为_ (，1)(1，) 构造 f(x)f(x)x，则 f(x)f(x)

26、 xf(x)x2，当 x0时，xf(x)f(x)0，可以推出当 x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增f(x)为偶函数，x 为奇函数，f(x)为奇函数， f(x)在(0，)上也单调递增根据 f(1)0可得 f(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知 f(x)0的解集为(，1)(1，) 利用 f(x)与 ex构造函数 1若 f(x)enxf(x)， 则 f(x)n enxf(x)enxf(x)enxf(x)nf(x)； 2若 f(x)f(x)enx， 则 f(x)f(x)enxnenxf(x)e2nxf(x)nf(x)enx； 由此得到结论： (1)出现 f(x)n

27、f(x)形式，构造函数 f(x)enxf(x)； (2)出现 f(x)nf(x)形式，构造函数 f(x)f(x)enx. 技法展示2 已知函数 f(x)在 r 上可导，其导函数为 f(x)，若 f(x)满足：(x1)f(x)f(x)0，f(2x)f(x) e22x，则下列判断一定正确的是( ) 14 / 17 af(1)f(0) bf(2)e2f(0) cf(3)e3f(0) df(4)e4f(0) c 构造 f(x)f(x)ex， 则 f(x)exf(x)exf(x)e2xf(x)f(x)ex， 导函数 f(x)满足(x1)f(x)f(x)0， 则 x1时 f(x)0，f(x)在1，)上单调

28、递增当 x1时 f(x)0，f(x)在(，1上单调递减又由 f(2x)f(x)e22xf(2x)f(x)f(x)关于x1 对称，从而 f(3)f(0)即f(3)e3f(0)e0，f(3)e3f(0)，故选 c. 评析 构造函数时，要注意 f(x)f(x)xn与 f(x)f(x)enx，f(x)xnf(x)与 f(x)enxf(x)的构造条件 技法应用 若定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x)2f(x)0，f(0)1，则不等式 f(x)e2x的解集为_ (0，) 构造 f(x)f(x)e2x， 则 f(x)e2xf(x)2e2xf(x)e4xf(x)2f(x)e2x， 函数 f(x)满足

29、f(x)2f(x)0， 则 f(x)0，f(x)在 r 上单调递增 又f(0)1，则 f(0)1，f(x)e2xf(x)e2x1f(x)f(0)，根据单调性得 x0. 利用 f(x)与 sin x，cos x构造函数 sin x，cos x因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，下面是常考的几种形式 f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin xf(x)cos x； f(x)f(x)sin x，f(x)f(x)sin xf(x)cos xsin2x； 15 / 17 f(x)f(x)cos x，f(x)f(x)cos xf(x)sin x； f(x)f(x)cos x，f(x)f(x)cos xf(x)sin xcos2x. 技法展示3 已知函数 yf(x)对于任意的 x2，2满足 f(x)cos xf(x)sin x0(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) a 2f3f4 b 2f3f4 cf(