高考数学一轮复习第3节　平面向量的数量积及其应用

1、1 / 22 第 3 节 平面向量的数量积及其应用 知 识 梳 理 1平面向量数量积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记oaa，obb，则aob(0 180 )叫做向量 a 与 b 的夹角 (2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos_ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即 a b|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a0. (3)数量积的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_的乘积 2平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量

2、a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角 (1)数量积：a b|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a| a ax21y21. (3)夹角：cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22. (4)两非零向量 ab 的充要条件：a b0 x1x2y1y20. (5)|a b|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2| x21y21 x22y22. 3平面向量数量积的运算律 (1)a bb a(交换律) (2)a b(a b)a (b)(结合律) (3)(ab) ca cb c(分配律) 1设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角

3、为 ，则 e aa e |a|cos . 2当 a 与 b 同向时，a b|a|b|；当 a 与 b 反向时，a b|a|b|，特别地，a a2 / 22 |a|2或|a| a2. 3数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ba c(a0)不能得出 bc，两边不能约去同一个向量 4两个向量的夹角为锐角，则有 a b0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 a b0，反之也不成立 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)两个向量的夹角的范围是0，2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量( ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量(

4、) (4)若 a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a b0，则 a 和 b 的夹角为钝角( ) (5)a ba c(a0)，则 bc.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 解析 (1)两个向量夹角的范围是0， (4)若 a b0，a 和 b 的夹角可能为 0；若 a b0，a 和 b 的夹角可能为 . (5)由 a ba c(a0)得|a|b|cosa，b|a|c| cosa，c，所以向量 b 和 c 不一定相等 2(2021 北京昌平区二模)在平行四边形 abcd 中，abcd，ab(2，2)，ad(2，1)，则ac db( ) a3 b2 c3 d4 答案 c 解析

5、 在平行四边形 abcd中，abcd，ab(2，2)，ad(2，1)， acabad(4，1)，dbabad(0，3)， 则ac db40(1)(3)3. 3(2020 全国卷)已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6，则 cos a，a3 / 22 b( ) a3135 b1935 c.1735 d.1935 答案 d 解析 |ab|2(ab)2a22a bb225123649，|ab|7，cosa，aba （ab）|a|ab|a2a b|a|ab|256571935.故选 d. 4(必修 4p104 例 1 改编)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120 ，则向量 b在

6、向量 a 方向上的投影为_ 答案 2 解析 由数量积的定义知 b 在 a 方向上的投影为 |b|cos 4cos 120 2. 5(2021 浙江名校仿真训练四)已知向量 a(1，x)，b(x，3)，若 a 与 b 共线，则|a|_；若 ab，则|b|_ 答案 2 3 解析 a 与 b 共线得 13x20，解得 x 3，所以|a|12（ 3）22.由 ab 得 x3x0，解得 x0，所以|b| 02323. 6设平面向量 a(2，1)，b(，1)(r)，则|a|_，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_ 答案 5 12，2 (2，) 解析 a(2，1)，|a| 5，a 与 b 的夹角

7、为钝角； cosa，b0，且 a，b 不平行； a b0，且 a，b 不平行；2112，且 2； 的取值范围是12，2 (2，) 考点一 平面向量的数量积运算 【例 1】 (1)(一题多解)已知abc 是边长为 1 的等边三角形，点 d，e 分别是边4 / 22 ab，bc 的中点，连接 de 并延长到点 f，使得 de2ef，则af bc的值为( ) a58 b.18 c.14 d.118 (2)(2019 天津卷)在四边形 abcd 中，adbc，ab2 3，ad5，a30 ，点e在线段 cb的延长线上，且 aebe，则bd ae_ 答案 (1)b (2)1 解析 (1)法一 如图所示，根

8、据已知得，df34ac，所以afaddf12ab34ac，bcacab， 则af bc12ab34ac (acab) 12ab ac12ab234ac234ac ab 34ac212ab214ac ab34121411cos 60 18.故选 b. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系 则 b12，0 ，c12，0 ，a0，32，所以bc(1，0) 易知|de|12|ac|，fecace60 ， 则|ef|14|ac|14， 所以点 f的坐标为18，38， 则af18，5 38， 所以af bc18，5 38 (1，0)18. 5 / 22 (2)如图，e在线段 cb的延长线上， ebad. d

9、ab30 ，abe30 . aebe，eab30 . 又ab2 3，be2. ad5，eb25ad. aeabbeab25ad. 又bdadab， bd ae(adab)ab25ad ad ab25ad2ab225ad ab 75|ad| |ab| cos 30 2552(2 3)2 7552 332101221221. 感悟升华 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 【训练 1】 (1)(一题多

10、解)在 rtabc中，bca90 ，cb2，ca4，p在边ac的中线 bd上，则cp bp的最小值为( ) a12 b0 c4 d1 (2)(2021 绍兴柯桥区模拟)已知abc 中，c90 ，ab3，ac2，o 为abc 所在平面内一点，并且满足oa2ob3oc0，记 i1oa ob，i2ob oc，i3oc oa，则( ) 6 / 22 ai1i2i3 bi2i1i3 ci1i3i2 di3i1i2 答案 (1)a (2)a 解析 (1)法一 由题意知，bd2 2，且cbd45 . 因为点 p 在 ac 边的中线 bd 上，所以设bpbd(01)，如图所示，所以cp bp(cbbp) bp

11、(cbbd) bdcb bd2bd2|cb| |bd|cos 1352(2 2)2824814212，当 14时，cp bp取得最小值12，故选a. 法二 依题意，以 c 为坐标原点，分别以 ac，bc 所在的直线为 x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 b(0，2)，d(2，0)，所以直线 bd 的方程为 yx2，因为点 p 在 ac 边的中线 bd 上，所以可设 p(t，2t)(0t2)，所以cp(t，2t)，bp(t，t)，所以cp bpt2t(2t)2t22t2t12212，当 t12时，cp bp取得最小值12，故选 a. (2)如图建 立平面直角坐标系 cxy，则 c(

12、0，0)，a(0，2)，b( 5，0)设点 o(x，y)，则oc(x，y)，oa(x，2y)，ob( 5x，y)因为oa2ob3oc7 / 22 0，所以 x2（ 5x）3x0，2y2y3y0，解得x53，y13，故 i1oa ob53，i2ob oc1，i3oc oa0，所以 i1i20，b，e1b，e230 . 由 b e11，得|b|e1|cos 30 1，|b|1322 33. 法二 由题意可得，不妨设 e1(1，0)，e212，32，b(x，y) b e1b e21， x1，12x32y1，解得 y33. b1，33，|b|1132 33. 8 / 22 (2)法一 设 o 为坐标原

13、点，aoa，bob(x，y)，e(1，0)，由 b24e b30 得 x2y24x30，即(x2)2y21，所以点 b的轨迹是以 c(2，0)为圆心，1为半径的圆因为 a 与 e 的夹角为3，所以不妨令点 a 在射线 y 3x(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|ca|cb| 31.故选 a. 法二 由 b24e b30得 b24e b3e2(be) (b3e)0. 设 bob，eoe，3eof，所以 beeb，b3efb，所以eb fb0，取 ef 的中点为 c，则 b 在以 c 为圆心，ef 为直径的圆上，如图，设 aoa，作射线 oa，使得aoe3，所以|ab|(a2e)(2eb

14、)|a2e|2eb|ca|bc| 31.故选 a. 角度 2 平面向量的夹角 【例 22】 (2021 厦门质检一)两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|，则向量 ab 与 a 的夹角为( ) a.6 b.3 c.23 d.56 答案 a 解析 因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2，即 a2b22a ba2b22a b，所以 a b0，所以 ab.因为|ab|2|b|，即 a2b2 4b2，所以|a| 3|b|.因为|ab|2|b|，所以 cosab，a（ab） a|ab|a|a2a b2|b|a|3b22 3b232，所以向量 ab 与 a 的夹角为6. 角度 3 平面向量

15、的垂直 【例 23】 (1)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则( ) aab b|a|b| cab d|a|b| (2)(2021 杭州市质检)设 a，b，c 为非零不共线的向量，若|atc(1t)b|a9 / 22 c|(tr)，则( ) a(ab)(ac) b(ab)(bc) c(ac)(ab) d(ac)(bc) 答案 (1)a (2)d 解析 (1)|ab|ab|， |ab|2|ab|2. a2b22a ba2b22a b. a b0.ab. (2)设向量oaa，obb，occ，odb，tc(1t)(b)op，则点 p 在直线 dc 上，则由|atc(1t)(b)|ac|得|o

16、aop|oaoc|，即|pa|ca|，即点 a 到直线 dc 的最小距离为|ca|，则accd，即(ac)(bc)，故选 d. 角度 4 向量的投影 【例 24】 (1)(2021 温州适考)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，a b1，则|ab|_，b 在 a 上的投影等于_ (2)(一题多解)已有正方形 abcd 的边长为 1，点 e 是 ab 边上的动点，则de cb的值为_；de dc的最大值为_ 答案 (1) 7 12 (2)1 1 解析 (1)因为|ab|2(ab)2a2b22a b2212217，所以|ab|7，b 在 a 上的投影为a b|a|12. (2)法一 如图，d

17、e cb(daae) cbda cbae cbda21， 10 / 22 de dc(daae)dc da dcae dc ae dc|ae| |dc|dc|21. 法二 以 a 为坐标原点，以射线 ab，ad 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系， 则 a(0，0)，b(1，0)，c(1，1)，d(0，1)， 设 e(t，0)，t0，1， 则de(t，1)，cb(0，1)， 所以de cb(t，1) (0，1)1.因为dc(1，0)， 所以de dc(t，1) (1，0)t1， 故de dc的最大值为 1. 法三 由图知，无论 e点在哪个位置，de在cb方向上的投影都是 cb1， d

18、e cb|cb| 11. 当 e运动到 b点时，de在dc方向上的投影最大即为 dc1， (de dc)max|dc| 11. 感悟升华 (1)求两向量的夹角：cos a b|a| |b|，要注意 0， (2)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2a a|a|2或|a| a a. 11 / 22 |a b| （a b）2 a2 2a bb2. 若 a(x，y)，则|a| x2y2. (3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：aba b0|ab|ab|. 【训练 2】 (1)(角度 1)设向量 a，b，c 满足 abc0，ab，|a|1，|b|2，则|c|2( ) a1

19、 b2 c4 d5 (2)(角度 2)若向量 a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是_ (3)(角度 3)(一题多解)(2020 全国卷)已知单位向量 a，b 的夹角为 60 ，则在下列向量中，与 b 垂直的是( ) aa2b b2ab ca2b d2ab (4)(角度 4)(2021 广东四校联考)已知平面向量 a，b 是非零向量，|a|2，a(a2b)，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为( ) a1 b1 c2 d2 答案 (1)d (2)，9292，3 (3)d (4)a 解析 (1)abc0，所以 cab， |c|2a2

20、2a bb21045. (2)2a3b 与 c 的夹角为钝角，(2a3b) c0， 即(2k3，6) (2，1)f(x)max2，所以 t2t2或 t2t2，解得 t2或 t0， 故不等式 t2t2无实数解， 所以 t 的取值范围是(，1)(2，) 感悟升华 此类问题一般通过向量的运算转化为三角函数问题解决 【训练 3】 已知向量 a(cos x，sin x)，b( 6， 2)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)a b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 13 / 22 解 (1)由题意得 6cos x 2sin x0， 所以 tan x 3，又 x0，所

21、以 x3. (2)f(x)a b 6cos x 2sin x 2 2sinx3， 因为 x0，所以 x33，23， 即 f(x)的最大值为 2 2，此时 x32，于是 x56； f(x)的最小值为 6，此时 x33，于是 x0. 基础巩固题组 一、选择题 1(2021 沈阳监测一)已知 a，b 均为单位向量，若 a，b 夹角为23，则|ab|( ) a. 7 b. 6 c. 5 d 3 答案 d 解析 因为|ab|2a22a bb212111213，所以|ab|3，故选 d. 2(一题多解)(2021 武汉调研)设向量 a(1，2)，b(0，1)，向量ab 与向量 a3b 垂直，则实数 ( )

22、 a.12 b1 c1 d12 答案 b 解析 法一 因为 a(1，2)，b(0，1)，所以 ab(，21)，a3b(1，1)，由已知得(，21) (1，1)0，所以 210，解得 1，故选 b. 法二 因为向量 ab 与向量 a3b 垂直，所以(ab) (a3b)0， 所以 |a|2(31)a b3|b|20，因为 a(1，2)，b(0，1)， 14 / 22 所以|a|25，|b|21，a b2，所以 52(31)310，解得 1，故选b. 3(2021 北京延庆区模拟)abc 的外接圆的圆心为 o，半径为 1，若 2oaabac0，且|oa|ab|，则ca cb( ) a.32 b. 3

23、 c3 d2 3 答案 c 解析 2oaabac0，oboc，故点 o 是 bc 的中点，且abc 为直角三角形，又abc 外接圆半径为 1，|oa|ab|，所以 bc2，ca 3，bca30 ，ca cb|ca| |cb|cos 30 2 3323. 4(2021 北仑中学模拟)设向量 a，b 满足：|a|1，|b|2，a (ab)0，则 a 与b 的夹角是( ) a30 b60 c90 d120 答案 d 解析 设 a 与 b 的夹角为 ，因为|a|1，|b|2，a(ab)0，所以 a2a b12cos 0，即 cos 12，因为 0 180 ，所以 a 与 b 的夹角 120 ，故选 d

24、. 5(2021 北京东城区综合练习)已知向量 a(0，5)，b(4，3)，c(2，1)，那么下列结论正确的是( ) aab 与 c 为共线向量 bab 与 c 垂直 cab 与 a 的夹角为钝角 dab 与 b 的夹角为锐角 答案 b 解析 根据题意，向量 a(0，5)，b(4，3)，c(2，1)，则 ab(4，8)，又由 c(2，1)，有(4)(1)(2)8，则(ab)与 c 不是共线向量，c(2，1)，则(ab) c(4)(2)(1)80，则(ab)与 c 垂直 6若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|b|4，则向量 a 在 ab 上的投影为( ) 15 / 22 a. 3 b3

25、 c. 6 d6 答案 b 解析 由|ab|ab|，得 a22a bb2a22a bb2，即 a b0， 由|ab|2|b|，得 a22a bb24b2，即 a23b2，所以|a| 3|b|2 3，所以向量 a 在 ab 上的投影为a （ab）|ab|a2|ab|3. 二、填空题 7(2021 北京朝阳区期末)已知四边形的顶点 a，b，c，d 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则ac db_ 答案 7 解析 如图，以 a 为坐标原点，以 ac 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则a(0，0)，b(4，2)，c(7，0)，d(3，2)， ac(7，0)，db(1，4)， ac db

26、71047. 8如图，四个边长为 1 的正方形排成一个正方形，ab 是大正方形的一条边，pi(i1，2，7)是小正方形的其余的顶点，则ab api(i1，2，7)的不同值的个数为_ 16 / 22 答案 3 解析 ab ap|ab| |ap|cosab，ap2 0，或 2 1，或 2 2，有 3 个不同的值 9(2021 浙江十校联盟适考)已知|a|2|b|2，a b1，b(tab)(tr)，则|a2b|_，t_ 答案 2 1 解析 由题意得|a2b|2|a|24a b4|b|244(1)414，所以|a2b|2，由 b(tab)得 b (tab)ta b|b|2t10，解得 t1. 10(2

27、021 鄞州中学检测)在abc 中，ab2 3，ac4，ad 13，d 为线段bc的中点，则 bc_，sabc_ 答案 2 2 3 解析 因为点 d为线段 bc的中点，所以ad12(abac)，两边平方得|ad|2 14(|ab|22ab ac|ac|2)，解得ab ac12，则|bc|（acab）2|ac|22ac ab|ab|22.cosab，acab ac|ab| |ac|32，则 sinab，ac12，所以 sabc12|ab| |ac|sin bac2 3. 11(2021 广州测试)已知单位向量 e1与 e2的夹角为3，若向量 e12e2与 2e1ke2的夹角为56，则实数 k 的

28、值为_ 答案 10 解析 依题意，|e1|e2|1，e1 e211cos 312.又向量 e12e2与 2e1ke2的夹 角 为56， 所 以 (e1 2e2) (2e1 ke2) |e1 2e2|2e1 ke2| cos 56124124124124k12k21232.又(e12e2) (2e1ke2)2e21ke1e24e1e22ke22452k，故整理得 85k 21 k22k4，所以85k0，（85k）221（k22k4），解得 k10. 17 / 22 三、解答题 12已知|a|4，|b|3，(2a3b) (2ab)61， (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求|ab|； (3)

29、若aba，bcb，求abc的面积 解 (1)(2a3b) (2ab)61， 4|a|24a b3|b|261. 又|a|4，|b|3， 644a b2761， a b6.cos a b|a|b|64312. 又 0，23. (2)|ab|2(ab)2|a|22a b|b|2 422(6)3213， |ab| 13. (3)ab与bc的夹角 23， abc233. 又|ab|a|4，|bc|b|3， sabc12|ab|bc|sinabc1243323 3. 13已知向量 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)a b，求 f(x)

30、的最大值和最小值以及对应的 x 的值 解 (1)ab，3sin x 3cos x， 3sin x 3cos x0， 即 sinx60. 18 / 22 0 x，6x676， x6，x56. (2)f(x)a b3cos x 3sin x2 3sinx3. x0，x33，23， 32sinx31， 2 3f(x)3， 当 x33，即 x0 时，f(x)取得最大值 3； 当 x32，即 x56时，f(x)取得最小值2 3. 能力提升题组 14(2017 浙江卷)如图，已知平面四边形 abcd，abbc，abbcad2，cd3，ac与 bd交于点 o，记 i1oa ob，i2ob oc，i3oc o

31、d，则( ) ai1i2i3 bi1i3i2 ci3i1i2 di2i1i3 答案 c 解析 如图所示，四边形 abce 是正方形，f 为正方形的对角线的交点，易得aoaf，而afb90 ，aob 与cod 为钝角，aod 与boc 为锐角，根据题意，i1i2oa obob ocob (oaoc)ob ca |ob|ca| cosaob0， i1i3，作 agbd 于 g， 19 / 22 又 abad， obbggdod，而 oaaffcoc， |oa|ob|oc|od|， 而 cosaobcoscodoc od， 即 i1i3.i3i1 2)，点 p(rcos ，rsin )，则点 a(1

32、，1)，b(1，1)，c(1，1)，d(1，1)，所以pa(1rcos ，1rsin )，pb(1rcos ，1rsin )，pc(1rcos ，1rsin )，pd(1rcos ，1rsin )，所以pa pbr22rsin ，pa pc2r2，pa pdr22rcos ，pb pcr22rcos ，pb pd2r2，pc pdr22rsin ，pa22r22r(cos sin )，pb22r22r(cos sin )，pc22r22r(cos sin )，pd22r22r(cos sin ).pa pcpb pd42r2，为定值，故 a 正确；pa pbpb pcpc pdpd pa4r2，为定值，故 b 正确；当 0 时，|pa|pb|pc|pd|2|pa|20 / 22 2|pb|；当 4时，|pa|pb|pc|pd|pa|pc|2|pb|，显然 2|pa|2|pb|pa|pc|2|pb|，故|pa|pb|pc|pd|不是定值，故选项 c 错误；pa2pb2pc2pd284r2，为定值，故选项 d正确综上，故选 c. 16.(2018 天津卷改编)如图，在平面四边形 abcd中，abbc，adcd，bad120 ，abad1.若点 e为边cd上的动点，则ae be的最小值为_ 答案 2116 解析 以 a