高考数学二轮复习专题检测(二十六)　导数与函数的零点问题

1、专题检测专题检测( (二十六二十六) ) 导数与函数的零点问题导数与函数的零点问题 大题强化练 1(2020 安徽省部分重点学校联考)已知函数 f(x)ex(x1)12eax2，a0. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极小值； (3)求函数 f(x)的零点个数 解：(1)因为 f(x)ex(x1)12eax2， 所以 f(x)xexxea. 所以 f(0)1，f(0)0. 所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1. (2)f(x)xexxeax(exea)，令 f(x)0， 得 x0或 xa(a0) f(x)与 f(x)在 r

2、 上的变化情况如表： x (，a) a (a，0) 0 (0，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由表可知，当 x0时，f(x)有极小值 f(0)1. (3)当 x1 时，f(x)0，且 f(2)e22eae220. 由(2)可知，f(x)在(0，)上单调递增， 所以函数 f(x)的零点个数为 1. 2(2020 南昌市第一次模拟测试)已知函数 f(x)ex(ln xaxab)(e 为自然对数的底数)，a，br，直线 ye2x是曲线 yf(x)在 x1 处的切线 (1)求 a，b 的值； (2)是否存在 kz，使得 yf(x)在(k，k1)上有唯一零点？若存在，求出 k 的值；若不

3、存在，请说明理由 解：(1)f(x)exln xax1xb ，f(x)的定义域为(0，) 由已知，得f（1）e2，f（1）e2，即ebe2，e（ba1）e2， 解得 a1，b12. (2)由(1)知，f(x)exln xx32， 则 f(x)exln xx1x12， 令 g(x)ln xx1x12， 则 g(x)x2x1x20，g(2)ln 210，即 f(x)0，当 x(x0，)时，g(x)0，即 f(x)0. 所以 f(x)在(0, x0)上单调递增， 在(x0，)上单调递减 又当 x0时，f(x)0， f(2)e2ln 2120，f(e)ee52e 0， 所以存在 k0或 2， 使得 y

4、f(x)在(k，k1)上有唯一零点 3(2020 四省八校检测)已知函数 f(x)(2x)ex，g(x)a(x1)2. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)讨论 yf(x)和 yg(x)的图象的交点个数 解：(1)f(x)ex(2x)ex(1x)ex，则 f(0)1，又 f(0)2，所以切线方程为 yx2，即 xy20. (2)令 f(x)g(x)f(x)a(x1)2(x2)ex，则 yf(x)和 yg(x)的图象的交点个数即f(x)的零点个数 f(x)(x1)(ex2a) 当 a0 时，f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点 当 a0 时，由 f(x)0得 x

5、1或 xln(2a) 若 ae2，则 ln(2a)1，故当 x(1，)时，f(x)0，因此 f(x)在(1，)上单调递增 当 x时，f(x)0，又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)只有一个零点 若 ae2，则 ln(2a)1，故当 x(1，ln(2a)时，f(x)0； 当 x(ln(2a)，)时，f(x)0. 因此 f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增 当 x时，f(x)0，又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)只有一个零点 当 a0 时，若 x(，1)，则 f(x)0； 若 x(1，)，则 f(x)0， 所以 f(x)在(，1)上单调递减， 在(1

6、，)上单调递增 f(1)e，f(2)a，取 b满足 b0 且 bln a2， 则 f(b)a2(b2)a(b1)2ab232b 0，所以 f(x)有两个零点 综上，当 a0时，yf(x)和 yg(x)的图象的交点个数为 1；当 a0时，yf(x)和 yg(x)的图象的交点个数为 2. 4(2020 武昌区高三调研)已知函数 f(x)(a1)ln x1xax2(ar) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个极值点 x1，x2(x1x2)，且至少存在两个零点，求f（x1）f（x2）x1x2的取值范围 解：(1)f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)（x1）（ax1）x2. 令

7、f(x)0，得 x1或 x1a. 当 a0时，ax10，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增； 当 0a1 时，f(x)在(0，1)上单调递减，在1，1a上单调递增，在1a， 上单调递减； 当 a1时，f(x)在(0，)上单调递减； 当 a1 时，f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1 上单调递增，在(1，)上单调递减 (2)由(1)知，0a1 或 a1. 因为 0a1时，f(1)3a0，所以 0a1不合题意 因为 a1 时，f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1 上单调递增，在(1，)上单调递减， 所以f1a0，f（1）0，即（a1）（1ln a）0，3a0， 解得 ea3. 此时f（x1）f（x2）x1x23a（a1）（1ln a）11a 4aa1aln a. 记 g(a)4aa1aln a(ea3)，则 g(a)4（a1）2（1ln a