恒成立存在性问题(答案版)

1、导数应用“恒成立问题”练习1. 已知函数（I）求函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；（III）过点作函数图像的切线，求切线方程解（）得 函数的单调递减区间是； （）即设则 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；最小值实数的取值范围是； （）设切点则即设，当时是单调递增函数 最多只有一个根，又切线方程为2.（1）求函数在点处处的切线方程；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）已知.若存在,使得,求实数的取值范围。解：（1）（2）法一：原问题等价于对恒成立，即令，由得所以，即。法二：原问题等价于函数的图像恒在函数的图像的下方，临界情况是与相切。设函数的切点为，则

2、，所以，又切点在，所以，所以，则。所以，对恒成立时，。（3）原问题等价于: 存在，使得，则只需，即。由得，则。由得 所以，。 ， 所以得，即即的范围是。（注意：，用了第（2）问结论）3.已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。解：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以 故函数的解析式为（2）证明：当且时，设 因为，所以当时，此时单调递减；当时，此时单调递增，所以 又因为，所以当时，此时单调递减，所以所以当时，即

3、（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则（）当，时，在区间上单调递增，来源:学&，不满足最小值是（）当，时，在区间上单调递增，也不满足最小值是（）当，由于，则，故函数 是上的增函数所以，解得（舍去）（）当时，则当时，此时函数是减函数；当时，此时函数是增函数所以，解得综上可知，存在实数，使得当时，有最小值34.已知函数， （1） 求实数b的值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围解：()由得，所以.（）由（）得， 又，即在上恒成立，设，.在上是增函数，在上是减函数，.故实数的取值范围是.5.设函数（1）求函数的极值点;（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围。解：（1） ，的定

4、义域为，当时，在 上无极值点. 当，令、随的变化情况如下表：x+0 -递增极大值递减从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一极大值点.(2)由（1）可知，当p>0时，f(x)在处取极大值，此极大值也是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范围为。6.已知函数（1）当时，函数的图像在点处的切线方程；（2）当时，解不等式；（3）当时,对,直线的图像下方.求整数 的最大值.解：（1），当时切线 （2）（3）当时,直线的图像下方，得问题等价于对任意恒成立. 当时，令， 令，故在上是增函数由于所以存在，使得则；，即；知在递减，递增 又 ，所以=3 7.已知函数=，其中a&

5、gt;0. （）若a=1，求曲线在点处的切线方程；（）若在区间上，恒成立，求a的取值范围。解：（）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：（1） 若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5<a<5.因此.（2） 若a>2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（

6、x）>0等价于即解不等式组得或.因此2<a<5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5. 8.已知，函数（I）若，求函数的极值点；（II）若不等式恒成立，求的取值范围解：（I）若，则，当时，单调递增；当时，单调递减 又因为，所以当时，；当时，；当时，；当时，故的极小值点为1和，极大值点为（II）不等式，整理为（*）设，则（）当时，又，所以，当时，递增；当时，递减从而故，恒成立当时，令，解得，则当时，；再令，解得，则当时，取，则当时，所以，当时，即这与“恒成立”矛盾综上所述，9.已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数；()若函数在处取得极值，且对,

7、恒成立，求实数的取值范围。解：()，当时，在上恒成立，函数 在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 ()函数在处取得极值，令，可得在上递减，在上递增，即()令，由()可知在上单调递减，则在上单调递减当时，>，即当时，当时，       10.已知函数（）若曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；（）若对于任意成立，试求a的取值范围；（）记g(x)=f(x)+x-b(bR).当a=1时

8、，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围。解：（）直线y=x+2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为 因为，所以，所以a=1所以由解得x>2 ; 由解得0<x<2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是 （）由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得所以a得取值范围是 （）依题意得，则由解得x>1，由解得0<x<1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以 解得所以b得取值范围是 的单调递减区间为，；单调递增区间为. 11.已知函数（aR，e为自然对数的底数） （）

9、当a1时，求的单调区间； （）若函数在上无零点，求a的最小值。解：（I）当由由故 （II）因为上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，即对恒成立。令则 综上，若函数 12.已知函数f（x）ln（a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）f（x）sinx是区间1，1上的减函数（1）求a的值；（2）求关于x的方程的根的个数；（3）若g（x）1在x1，1上恒成立，求t的取值范围  解：（1）是奇函数，则恒成立. 即 （2）由（1）知 令， ， 当上为增函数； 上为减函数，当时， 而，只有一个根. （3）又在1，1上单调递减，且 令则 . 13.已知函数。（

10、1）当时，求的单调区间、最大值；（2）设函数，若存在实数使得，求m的取值范围。解：（1）当时，。 当时，函数在区间上是增函数； 当时，函数在区间上是减函数； 所以的最大值为。 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为。（2）由已知。当时，函数在区间上是减函数； 当时，函数在区间上是增函数；所以的最小值为。 若存在实数，使得，则，解得。所以m的取值范围为。 14.设函数，曲线在点处切线斜率为.（1）求;（2）若存在,使得,求的取值范围.（1），（2）15.设函数（其中）的图像在处的切线与直线垂直（1）求函数的极值与零点；（2）设，若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围； 解：（1）因为，所以，解得：或，又，所以， 由，解得，所以， 因为，所以函数的零点是 （2）由（1）知，当时，“对任意，存在，使”等价于“在 上的最小值大于在上的最小值，即当时，”,， 当时，因为，所以，符合题意； 当时，所以时，单调递减，所以，符合题意； 当时，所以时，单调递减， 时，单调递增，所以时，令（），则，所以在 上单调递增，所以时，即，所以，符合题意综上所述，若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 16. 已知函数.（1）当时，求的极值。（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的恒有 成立，求实数的取值范围. 解：（1）当时，