因式分解培优题(超全面、详细分类)资料讲解

1、精品文档因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法3、考虑顺序：(1 )提公因式法；(2)公式法；(3 )十字相乘法；(4)分组分解法一、运用公式法在整式的乘、除中， 我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用， 即为因式分解中常用 的公式，例如：(1)a2 b2=(a+b)(a b) ；(2)a2± 2ab+b2=(a

2、77; b)2 ；(3)a3+b3=(a+b)(a2 ab+b2)；(4)a3 b3=(a b)(a2+ab+b2) 下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 ab bc ca) ；anbn=(ab)(an 1+an 2b+an 3b2+ Tabn 2+bn 1),其中 n 为正整数； (8)anbn=(a+b)(an 1 an 2b+an 3b2 Tabn 2bn 1),其中 n 为偶数； (9)an+bn=(a+b)(an 1 an 2b+an 3b2 一abn 2+bn

3、1),其中 n 为奇数. 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式例题 1 分解因式：(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2)x3 8y3 z3 6xyz；(3)a2+b2+c2 2bc+2ca 2ab； (4)a7 a5b2+a2b5 b7例题2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.例题 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1.对应练习题分解因式:2n n 121X x 9y -；(2) x10+x52(3)x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4x2(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5

4、(5) 9(a- b)2+12(a2- b2)+4(a+b)2(6) (a- b)2- 4(a- b- 1)(x+y)3+2xy(1 xy)1精品文档精品文档二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题 1 分解因式： am an bm bn分析： 从“整体” 看， 这个多项式的各项既没有公因式可提， 也不能运用公式分解， 但从 “局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系 . 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题 2 分解因式： 2ax 10ay 5

5、by bx对应练习题 分解因式：21、 a ab ac bc2、 xy x y 1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2 c2对应练习题 分解因式：222223、 x x 9y 3y4、 x y z 2yz精品文档综合练习题 分解因式：3221 ) x x y xy222) ax2 bx2 bx ax a b3) x2 6xy 9y2 16a2 8a 1224) a2 6ab 12b 9b2 4a5) a4 2a3 a2 922226) 4a x 4a y b x b y227) x 2xy xz yz y228) a2 2a b2 2b

6、2ab 19) y(y 2) (m 1)(m 1)10) (a c)(a c) b(b 2a)11) a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc43223412) a 2a b 3a b 2ab b .2213) (ax by) (ay bx)333333314) xyz(x y z ) y z z x33 xy42215 ) x 2 ax x a a3216) x 3 x( a 2) x 2a17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式 x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解.特点：(

7、1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和.例题1 分解因式：x2 5x 6例题2分解因式：x2 7x 6对应练习题分解因式： x2 14x 24(2)a2 15a 36 x2 4x 524222(4) x x 2(5) y 2y 15(6) x 10x(二)二次项系数不为1二次三项式ax2 bx c条件：(1) a a1a2a1, c1(2) c C1C2azCz(3) b ag a2Gb ag a2G分解结果：ax2 bx c =(a1x G)(a2x c2)例题3分解因式：3x2 11x 10对应练习题分解因式:(1) 5x2 7x 6(2)

8、3x2 7x 2(3) 10x2 17x 3_ 2(4) 6y 11y 10（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解8b 16b8b+( 16b尸-8b对应练习题分解因式:22 x 3xy 2y22(2) m 6mn 8na2 ab 6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题5分解因式：2x2 7xy 6y2例题6 分解因式：x2y2 3xy对应练习题分解因式:(1) 15x2 7xy 4y22 2(2) a x 6ax 8综合练习题分解因式:(1) 8x6 7x3 122(2)

9、12x 11xy 15y(3) (x y)2 3(x y) 10， 一 2(4) (a b) 4a 4b 3 x2 y2 5x2y 6x22.2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2 x2 4xy 4y2 2x 4y 32222(8) 5(a b)2 23(a2 b2) 10(a b)2(9) 4x2 4xy 6x 3y y2 10_22(10) 12(x y) 11(x2_2y ) 2(x y)思考：分解因式:abcx2 (a2b2 c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2 Dx Ey F型多项式的分解因式条件：(1) A a1a2,(2) a1c2 a

10、2Gf1 f2E, a1f2a?f1即:B,让c2 f1a1c2 a2 GE, a1f2 a2 flD贝U Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F(ax Gyf1)(a2x Ryf?)例题7分解因式:(1) x2 3xy 10y2 x 9y 2，一、 2一 2一一(2) xxy 6y x 13y 62-2 x xy 6y应用双十字相乘法：xx23xy 2xy xy , 4y 9y 13y, 2x 3x x .原式=(x 2y 3)(x 3y 2)对应练习题分解因式:(1)x2 xy 2y2 x 7y 6_ 2 _ 2_ 2 6x7xy 3yxz 7yz 2z3、十字相乘法进阶例题 8 分解因式

11、： y(y 1)(x2 1) x(2y2 2y 1)例题 9 分解因式：ab(x2 y2) (a2 b2)(xy 1) (a2 b2)(x y)四、主元法例题 分解因式： x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题 分解因式：22(2) x xy 2y x 7y 622(1) x xy 6y x 13y 622(3) 6x 7xy 3y x 7y 222(4) a2 ab 6b25a 35b36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体， 并用一个新的字母替 代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2) 12例题 2

12、分解因式：(x2 4x 8)2 3x( x2 4x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x1)(x3)(x 5) 9分析：型如 abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题4分解因式：(x2 7x6)(x2x 6) 56 .例题 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3) 90例题6分解因式：4(3x2 x1)(x22x 3) (4x2x4)2提示 : 可设 3x2 x 1 A,x2 2x 3 B ，则 4x2 x 4 A B .例题7分解因式：x628x3 27例题8分解因式：(ab)4 (ab)4 (a2 b2)2例题 9 分解因式： (y 1)4 (y

13、3)4 272例题 9 对应练习 分解因式：a4 44(a 4)4例题 10 分解因式：(x2+xy+y2)2 4xy(x2 +y2) 分析 ：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y, v=xy,用 换元法分解因式例题 11 分解因式： 2x4x36x2 x 2分析 ：此多项式的特点是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少1 ，并且系数成“轴对称”. 这种多项式属于“等距离多项式”方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题 11 对应练习 分解因式：6x4+7x3 36x2 7

14、x+6 例题 11 对应练习 分解因式： x4 4x3 x2 4x 1精品文档对应练习题分解因式：(1) x4+7x3+14x2+7x+1(2) x4 2x3x2 1 2(x x2)(3) 2005x2 (2005 2 1)x 2005(4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2(5) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15(6) (a 1)(a 2)(a 3)(a 4) 24(7) (2a5)(a29)(2a 7)91(8) (x+3)(x2-1)(x+5)-20(9) (a21)2(a2 5)24(a23)2(10) (2x2 3x+1)2 22x2+33x 1(11)

15、(a 2b c)3 (a b)3 (b c)3/ / c、12(12) xy(xy 1) (xy 3) 2(x y -) (x y 1)2(13) (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算 在多项式乘法运算时， 整理、 化简常将几个同类项合并为一项， 或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零 在对某些多项式分解因式时， 需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解说明 用拆项、添项的方法分解因式

16、时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察， 灵活变换， 因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种例题1分解因式：x3 9x+8例题2 分解因式：(1)x9+x6+x3 3；(2)(m2 1)(n2 1)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3b ab3+a2+b2+1 对应练习题 分解因式：( 1 ) x3 3x2 4(3) x4 7x2 1(5) x4 y4 (x y)4( 7) x3+3x2 4( 9) x3+9x2+26x+24( 11) x4 x2 1；2222) x2 2(a b)x 3a2 10ab 3b24224)

17、 x x 2ax 1 a2222224446) 2a b 2a c 2b c a b c8) x4 11x2y2+y210) x4 12x+32313 ) a5 a 1(14)x2 y2 4x 6y 512) x3 11x 20；精品文档(15) (1 a2)(1b2) 4ab七、待定系数法例题 1 分解因式：xy6y2 x 13y分析： 原式的前xy6y2 可以分为(x3y)(x 2y) ，则原多项式必定可分为(x 3ym)(x2yn)对应练习题 分解因式：1) 6x27xy 3y2 x7y2) 2x2 3xy 9y2 14x 3y 203) x23xy 10y2 x9y4) x2 3xy

18、2y2 5x 7y 6例题 21 )当 m 为何值时，多项式x 2mx 5y 6 能分解因式，并分解此多项式2)如果 x32 axbx8 有两个因式为 x 1 和 x 2 ，求 a b 的值 .3 ) 已知： x22xy3y26x14y p 能分解成两个一次因式之积， 求常数 p 并且分解因式.( 4 ) k 为何值时， 式.2xyky23x 5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项八、余式定理(试根法)1、f x的意义：已知多项式 f x ,若把x用c带入所得到的值，即称为 f x在x = c的 多项式值，用f c表布.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式f x除以g

19、x所得的商式为q x ,余式为 rx,则：fx=gxxqx+rx- b3、余式定理：多项式f(x)除以x b之余式为f(b)；多项式f(x)除以ax b之余式f (-).a例如：当 f(x)=x2+x+2 除以(x -1)时，则余数=f(1)=1 2+1+2=4.211、21、 一 人当 f(x) 9x 6x 7 除以(3x 1)时，则余数=f( )9()6(-)78.3334、因式定理：设a,b R, a 0, f (x)为关于x的多项式，则x b为f(x)的因式_ bf (b) 0 ； ax b 为 f(x)的因式f(一) 0.a整系数一次因式检验法：设f(x)=gxn Cnxn 1c1x

20、 C0为整系数多项式，若ax七为f(x)之因式(其中a , b为整数，a 0 ,且a , b互质)，则（1） aCn, bC0(2) ( a) f(1), (a b) f ( 1)例题1设f(x) 3x3 2x2 19x 6,试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x -1 , (2) xN (3) 3x-1, (4) 4x+ 1, (5) x T, (6) 3xY例题2 把下列多项式分解因式:3 x 5x 43,2-（2） x 4x x 6- 3_ 2 3x 5x(4) x4 9x3-453x -x 64x 225x2 27x 101 211x x 一2 23课后作业分解因式：（ 1 ） x4

21、 4（3） 4x3 31x 15（ 3 ） 3x3 7x 10（ 4 ） x3 41x 30（ 5 ） x3 4x2 9（6） x3 5x2 18（7） x3 6x2 11x 6（ 8 ） x3 3x2 3x 7（ 9 ） x3 11x2 31 x 21（10） x4 1987x2 1986x 1987（11） x4 1998x2 1999x 1998（12） x4 1996x2 1995x 1996（ 13 ） x3 3x2y 3xy2 2y3（ 1412 ） x3 9ax2 27a2x 26a32（15） 4（x 5）（x 6）（x 10）（ x 12） 3x2（16） （x2 6x 8）

22、（x2 14x 48） 12（17） （x2 x 4）2 8x（x2 x 4） 15x2（18） 2（x2 6x 1）2 5（x2 6x 1）（ x2 1） 2（x2 1）2（ 19 ） x4 x2y2 y4（ 20 ） x4 23x2y2 y4（ 21 ） a3 b3 3（a2 b2） 3（a b） 2（22） a3 b3 12ab 64（23） a3bab3a2 b2 1 .（24） （a b）2（ab 1） 1（25） x42（a2b2）x2（a2b2）2（26） （ay bx）3 （ax by）3 （a3 b3）（x3 y3 ）（27） x6 19x3y3 216y6（28） 28 ） x2y y2z z2x x2z y2x z2y 2xyz（29） 3x5 10x4 8x3 3x2 10x 8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n- 1和