第十二章波动学基础

1、第第12章章 波动学基础波动学基础 波动波动: : 振动状态的传播过程称为波动振动状态的传播过程称为波动, ,简称波。简称波。 机械波机械波：机械振动在机械振动在弹性介质弹性介质中的传中的传播过程。如：空气中的声波，水波。播过程。如：空气中的声波，水波。 电磁波：电磁波：交变电磁场在交变电磁场在空间空间的传播过的传播过程。如：无线电波、光波。程。如：无线电波、光波。 波动的共同特征：波动的共同特征：1. 具有一定的传播速度；具有一定的传播速度；2. 且都伴有能量的传播；且都伴有能量的传播；3. 能产生反射、折射、干涉和衍射等现能产生反射、折射、干涉和衍射等现象；象；4. 具有相似的波函数。具有

2、相似的波函数。 波动的种类波动的种类: : 一一. .机械波产生的条件机械波产生的条件 1. 激发扰动的激发扰动的波源波源 2. 能够传播机械振动能够传播机械振动的的弹性介质弹性介质。 任意质点任意质点A A离开平衡位置后会受到邻离开平衡位置后会受到邻近质点对它施加的弹性回复力。同时，在近质点对它施加的弹性回复力。同时，在质点质点A A发生振动后，由于弹性力作用，会发生振动后，由于弹性力作用，会带动带动邻近的质点也以同样的频率振动。这邻近的质点也以同样的频率振动。这样，就把振动传播出去样，就把振动传播出去。 故机械振动只能在弹性介质故机械振动只能在弹性介质中传播。中传播。 12-1 机械波的机

3、械波的产生和传播产生和传播二二. .机械波的分类机械波的分类横波：横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软绳软弹簧软弹簧波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向横波和纵横波和纵波的特征：波的特征：横波存在波峰和波谷。纵波存在相间的稀疏和稠密区域。横波存在波峰和波谷。纵波存在相间的稀疏和稠密区域。1.1.按照介质中质元的运动方向分类按照介质中质元的运动方向分类横波与纵波横波与纵波2.按照波前形状分类按照波前形状分类平面波和球面波平

4、面波和球面波 从波源沿各传播从波源沿各传播方向所画的带箭头的方向所画的带箭头的线，称为波线，用以线，称为波线，用以表示波的传播路径和表示波的传播路径和传播方向。传播方向。 波在传播过程中，波在传播过程中，所有振动相位相同的点所有振动相位相同的点连成的面，称为波面连成的面，称为波面（波阵面）（波阵面） 。波波面面波线波线球面波球面波平面波平面波 最前面的那个波面称为波前最前面的那个波面称为波前。 在各向同性介质中波线和波面垂直在各向同性介质中波线和波面垂直。波线、波面和波阵面波线、波面和波阵面 波前为球面称为波前为球面称为球面波球面波，波前为，波前为平面称为平面称为平面波平面波。 3.按照持续时

5、间分类按照持续时间分类脉冲波和连续波脉冲波和连续波一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数 波函数波函数描述波传播到的各点处描述波传播到的各点处质点的在质点的在t时刻的位移，也叫波动表达式。时刻的位移，也叫波动表达式。 波阵面为平面，在传播过程中，波波阵面为平面，在传播过程中，波线上的各质点都作同频率同振幅的简谐线上的各质点都作同频率同振幅的简谐运动运动叫做叫做平面简谐波平面简谐波。12-2平面简谐波的平面简谐波的波函数波函数( , )yy x t x各质点沿波传播方向相位依次落后。各质点沿波传播方向相位依次落后。 平面简谐波沿平面简谐波沿x轴正方向传轴正方向传播，波速为播，波速为u。tA

6、yOcospyuxo(波源波源)xP点比点比O点位相落后：点位相落后：xtu 波从原点（波从原点（x = 0）传播到）传播到P点（点（x）所用的时间：）所用的时间：xtu cosxyAtu cos()xAtu P点振动表达式：点振动表达式：坐标原点处质点的振动方程为坐标原点处质点的振动方程为则则x点的振动相位要比点的振动相位要比O点的相点的相位超前位超前讨论讨论:（2）已知）已知xx0处，振动表达式：处，振动表达式：cos()xyAtu 即波动表达式即波动表达式 y = y(x, t)(1)如果波沿如果波沿x轴的负方向传播，轴的负方向传播，xu cos()xyAtu 则波动表达式：则波动表达式

7、： 0cosxyAt 波向波向x轴的正向以波速轴的正向以波速u传播，传播，x处振动相位比处振动相位比x0落后落后0 xxu 0cos()xxyAtu 若波向若波向x轴的负向传播，轴的负向传播，0cos()xxyAtu ux0 xx则波的表达式：则波的表达式：二、波函数的物理意义二、波函数的物理意义(1)当当 x = x 0 (常数常数) 时，时， uxtAty0cos)( 表示表示x0处质元的振动表达式。处质元的振动表达式。(2) 当当 t = t 0 (常数常数) 时，时，uxtAxy0cos)( 表示各质元的位移分布函数。对应函表示各质元的位移分布函数。对应函数曲线数曲线 波形图波形图 y

8、 o x t = t 0(3) 波的传播波的传播12(, )(,)y xty xtt 从形式上看：从形式上看：波动是波动是状态状态的传播的传播.从实质上看：从实质上看：波动是波动是振动振动的传播的传播. x1x2yxOutt+t t21xxu t u也称为相速度。也称为相速度。 三、波动的特征量三、波动的特征量1、周期周期 T反映时间的周期性反映时间的周期性cos()xyAtu 2T 频率频率n n1vT 2、 波长波长l l反映空间的周期性反映空间的周期性()()y xy xl l cos()xtu cos()xtul l 2T 2u l l 2uuTl l 3、 波速波速u波数波数k2k

9、l l 波速是振动状态的传播速度，波速是振动状态的传播速度，不是质点的振动速度不是质点的振动速度 ； 波速由弹性介质性质决定。波速由弹性介质性质决定。注意：注意：波速指单位时间内某一振动状波速指单位时间内某一振动状态（相位）传播的距离，又称态（相位）传播的距离，又称相速度。相速度。cos()xyAtu 2cos()xAtTu 22cosxAtTTu 四、常用的波的表达式四、常用的波的表达式22cosAtxT l l 22cosyAtxT l l cos()xyAtu cosAtkx cosyAtkx 沿传播方向相距为沿传播方向相距为x的两点的的两点的相位差相位差:2xxu l l )(cosu

10、xtAy五、质点的振动速度，加速度五、质点的振动速度，加速度)(sinuxtAtyv)(cos222uxtAtya例例11-1: 已知已知t=0时的波形曲线为时的波形曲线为，波沿，波沿x正方向传播，经正方向传播，经0.5s后后波形变为曲线波形变为曲线。已知波的周期。已知波的周期T1s，试根据图中给出的条件求，试根据图中给出的条件求出波动表达式，并求出波动表达式，并求A点的振动点的振动表达式。表达式。(已知已知A=0.01m)解：由图可知解：由图可知m04. 0l101sm02. 05 . 001. 0txxus202. 004. 0uTl2Ty(cm)x(cm)12345 6A坐标原点在坐标原

11、点在2)SI()2cos(01. 0tyo)(SI2)02. 0(cos01. 0 xty波动表达式：波动表达式：A点振动表达式：点振动表达式：2)02. 001. 0(cos01. 0tyA(SI)cos01. 0t0t 在平衡位置，在平衡位置，正向正向x轴负向移动。轴负向移动。 其初相位为：其初相位为：坐标原点的振动表达式为：坐标原点的振动表达式为：例例11-2: 一平面简谐波在介质中以速度一平面简谐波在介质中以速度 u = 20 m/s，沿，沿x轴的负轴的负向传播。已知向传播。已知A点的振动方程为点的振动方程为y = 3cos 4 t ，(1) 以以A点为坐标原点为坐标原点求波函数；点求

12、波函数；(2) 以距以距A点点5m处的处的B为坐标原点求波函数。为坐标原点求波函数。解：解： A点为坐标原点，点为坐标原点，u = 20 m/s，)SI()20(4cos3xtyB点为原点，点为原点，波函数波函数为为m50 x(SI)4cos(3tyBy AxyBu(SI)20(4cos3xtyB点的振动方程为点的振动方程为衍射：衍射：波在传播的过程中遇到障碍物或波在传播的过程中遇到障碍物或小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象。播的现象。隔墙有耳12-5 惠更斯原理惠更斯原理蝶恋花蝶恋花 （苏轼苏轼）花腿残红青杏小，花腿残红青杏小，燕子燕子飞飞时，时，绿

13、水人家绕。绿水人家绕。枝上柳绵吹又少，枝上柳绵吹又少，天涯何处无芳草。天涯何处无芳草。墙里秋千墙外道，墙里秋千墙外道，墙外行人，墙外行人，墙里佳人笑。墙里佳人笑。笑渐不闻声渐消，笑渐不闻声渐消，多情却被无情恼。多情却被无情恼。一、惠更斯原理一、惠更斯原理 介质中波传播到介质中波传播到的各点，都可以看作的各点，都可以看作是发射子波的波源，是发射子波的波源，在其后的任一时刻，在其后的任一时刻，这些子波波面的包迹这些子波波面的包迹决定了原波动的新的决定了原波动的新的波前。波前。子波波源子波波源波前波前子波子波波的反射波的反射波的折射波的折射一、波传播的独立性原一、波传播的独立性原理理波传播的独立性原

14、理波传播的独立性原理 若干列波在传播过程中相遇，每列若干列波在传播过程中相遇，每列波仍将保持其原有的振动特性波仍将保持其原有的振动特性(频率，波频率，波长，振幅，振动方向长，振幅，振动方向)，不受其它波的影，不受其它波的影响。响。 波的叠加原理波的叠加原理 在相遇区域内，任一质元振动的位移在相遇区域内，任一质元振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。矢量和。二、波的叠加原理二、波的叠加原理 三、波的干涉三、波的干涉干涉现象：干涉现象： 两列波在空间相遇两列波在空间相遇(叠加叠加)，在空间的，在空间的某些地方振动始终加强，而在空间的另一某些地方振

15、动始终加强，而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现象。些地方振动始终减弱或完全消失的现象。1、干涉现象：、干涉现象：2、相干条件：、相干条件：3、相干波：、相干波： 两列波的频率相两列波的频率相同，振动方向相同，同，振动方向相同，有恒定的相位差。有恒定的相位差。 能产生干涉现象的能产生干涉现象的波。波。波的叠加原理波的叠加原理 在相遇区域内，任一质元振动的位移在相遇区域内，任一质元振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。矢量和。二、波的叠加原理二、波的叠加原理 三、波的干涉三、波的干涉干涉现象：干涉现象： 两列波在空间相遇两列波在空间相

16、遇(叠加叠加)，在空间的，在空间的某些地方振动始终加强，而在空间的另一某些地方振动始终加强，而在空间的另一些地方振动始终减弱或完全消失的现象。些地方振动始终减弱或完全消失的现象。1、干涉现象：、干涉现象：2、相干条件：、相干条件：3、相干波：、相干波： 两列波的频率相两列波的频率相同，振动方向相同，同，振动方向相同，有恒定的相位差。有恒定的相位差。 能产生干涉现象的能产生干涉现象的波。波。S1S2P1r2r波源振动方程：波源振动方程：)cos(:110101tAyS)cos(:220202tAyS由波动方程可得由波动方程可得P点的分振动：点的分振动：)2cos(1111lrtAy)2cos(2

17、222lrtAy4、相干波的干涉加强、相干波的干涉加强和减弱条件和减弱条件4、相干波的干涉加强、相干波的干涉加强和减弱条件和减弱条件由波动方程可得由波动方程可得P点的分振动：点的分振动：)2cos(1111lrtAy)2cos(2222lrtAy在在P点两个振动的相位差：点两个振动的相位差：)(21212lrr 合振幅合振幅cos2212221AAAAA故故)(21212lrr =2k干涉加强干涉加强) 12(k干涉减弱干涉减弱, 2, 1, 0k)(21212lrr =2k干涉加强干涉加强) 12(k干涉减弱干涉减弱, 2, 1, 0k4、相干波的干涉加强、相干波的干涉加强和减弱条件和减弱条

18、件)(21212lrr =2k干涉加强干涉加强) 12(k干涉减弱干涉减弱, 2, 1, 0k若初相位相等若初相位相等21令令12rr 波程差波程差则则l) 12(22kk干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱从而得左式。从而得左式。2) 12(22lllkkk干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱若初相位相等若初相位相等21波程差波程差例例12-3: AB为两个相干波源，振幅均为为两个相干波源，振幅均为5cm，频率为，频率为100Hz，波速为，波速为10m/s。A点点为波峰时，为波峰时，B点恰为波谷，试确定两列波点恰为波谷，试确定两列波在在P点干涉的结果。点干涉的结果。15mABP20m解：解：依题意，

19、设依题意，设 ABmm25152022BPl l APBPAB21 . 015252m1 . 0n nl lu199的奇数倍，的奇数倍，P点合振幅为零，点合振幅为零，P点静止。点静止。4、相干波的干涉加强、相干波的干涉加强和减弱条件和减弱条件)(21212l l rr =k2干涉加强干涉加强) 12(k干涉减弱干涉减弱, 2, 1, 0k2) 12(22l ll ll l kkk干涉加强干涉加强干涉减弱干涉减弱若初相位相等若初相位相等21 波程差波程差例例12-4: 两相干波源两相干波源S1和和S2的间距的间距d = 30m，且都在，且都在x 轴上，轴上，S1位于位于原点原点O。设由两波源分别

20、发出两。设由两波源分别发出两列平面波沿列平面波沿x 轴传播，强度保持轴传播，强度保持不变。不变。x1 =9m和和 x2=12m处的两点处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。是相邻的两个因干涉而静止的点。求波长和两波源间最小相位差。求波长和两波源间最小相位差。OS1S2x1x2x解：解：设设S1和和S2的振动相位分别为：的振动相位分别为：12依题意依题意x1点的振动相位差：点的振动相位差：)(212xd l l 211xl l ) 12(k (1)x2点的振动相位差：点的振动相位差：)(222xd l l 221xl l )32(k (2)(2)-(1)2)(412 xxl lm6)912(2)

21、(212xxl l由由(1)式式)2(2) 12(112xdkl l ) 52(k当当k = -2，-3时位相差最小，故时位相差最小，故12 12-7 驻波驻波一、驻波的形成：一、驻波的形成： 两列振幅相同的两列振幅相同的相干波沿相反方向传相干波沿相反方向传播时叠加而成的波称播时叠加而成的波称为为驻波驻波。驻波是波的。驻波是波的一种干涉现象。一种干涉现象。 形成驻波的五个条件形成驻波的五个条件(1) 两列波的频率相同；两列波的频率相同；(2) 振动方向相同；振动方向相同；(3) 有恒定的相位差；有恒定的相位差；(4) 振幅相同；振幅相同；(5) 沿相反方向传播。沿相反方向传播。一、驻波的形成：

22、一、驻波的形成： 两列振幅相同的两列振幅相同的相干波沿相反方向传相干波沿相反方向传播时叠加而成的波称播时叠加而成的波称为为驻波驻波。驻波是波的。驻波是波的一种干涉现象。一种干涉现象。 二、驻波的波形特点：二、驻波的波形特点：x波节波节波幅波幅2ll二、驻波的波形特点：二、驻波的波形特点： 1. 没有波形的推进，也没有能量的传没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动的各个质点处于稳定的振动播，参与波动的各个质点处于稳定的振动状态。状态。 2. 各振动质点的振幅各不相同，但各振动质点的振幅各不相同，但却保持不变，有些点振幅始终最大，有些却保持不变，有些点振幅始终最大，有些点振幅始终为零。点振幅始终为零。三、驻波方程：三、驻波方程：适当选择计时起点和原点，使两振源适当选择计时起点和原点，使两振源021)(2cos1l lxTtAy)(2cos2l lxTtAy21yyy)(2cos)(2cosl ll lxTtAxTtAtTxAy2cos2cos2l l分析：分析：1、xAl l2cos2为坐标为为坐标为x质点的质点的振幅，振幅，参与波动的每个点振幅恒定参与波动的每个点振幅恒定; 不同不同的点振幅不同。的点振幅不同。波腹：波腹： 位移为位移为2A处坐标处坐标2l lkx波腹间距波腹间距21l lkkxx波节：波节：位移为位移为0处坐标处坐