三个二次与关系

1、二次函数、二次方程及二次不等式的关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要容，具有丰富的涵 和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在的许多容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次” 问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法 重难点归纳1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法y= ax2+ bx+ c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n(2) 当a>0, f(x)在区间p,q上的最大值 M，最小值 m,令xo= ( p+q)若一< p,则 f(p)= m,f(q)= M ;若

2、p <-<xo,则 f( )= m,f(q)= M;若 xow< q,则 f(p)= M ,f( )= m;若一q,则 f(p)= M ,f(q)= m2 二次方程 f(x)= ax2+bx+ c=0 的实根分布及条件(1) 方程f(x)=O的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)<0;(2) 二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r(3) 二次方程f(x)=O在区间(p,q)有两根二次方程f(x)=O在区间(p,q)只有一根f(p) f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)成立(5)方程f(x)=O两根的一根大于 p,

3、另一根小于q(p<q)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式 f(x)= ax2+bx+cwo 的解集是(ga)U 3+ ma<0 且 f( a)= f( (3)=0；当 a>0 时，f(a<f( 3) | a+|<| 3+|,当 a<0 时，f( a<f( 3| a+|>| 3+|;(3) 当a>0时，二次不等式f(x)>0在p,q 恒成立或(4) f(x)>0 恒成立典型题例示讲解例 1 已知二次函数 f(x)= ax2+bx+c 和一次函数 g(x)= bx，其中 a、b、c满足 a> b> c,a+b+c=0

4、,( a,b,c R)(1) 求证两函数的图象交于不同的两点 A、B；(2) 求线段AB在x轴上的射影Ai Bi的长的取值围例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2 mx+2 m+1=0（1）若方程有两根，其中一根在区间 （1，0） ，另一根在区间 （1，2），求 m 的围（2） 若方程两根均在区间 （0，1），求 m 的围巩固练习1若不等式(a 2)x2+2(a 2)x4<0对一切x R恒成立，则a的取值围是()A( 8,2 B 2,2 C( 2,2 D( ， 2)2已知函数和为常数）则不论为何值，这两个函数的图像（)A 只有一个交点B 只有二个交点C 只有二个交点D .只有四个交点

5、3.设时，二次函数的值（C.5.若二次函数的变化围是( )C1<S<2D 1<S<1A 0<S<2B 0<S<36 设二次函数 f(x)=x2 x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m 1)的值为()A 正数B 负数C 非负数 D 正数、负数和零都有可能7已知二次函数f(x)=4 X2 2(p 2)x 2p2 p+1,若在区间1,1 至少存在一个实数 C使f(c)>0, 则实数 p 的取值围是 8二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2 x), 若 f(1 2x2)< f(1+2 x x2),则 x 的取值围是 9.二次函数(1 )求m (2 )在x轴下方是否存在抛物线上的点卩。使4 ABP面积等于5?若存在，则求出 P点坐标;若不存在,说明理由。10 二次函数 f(x)= px2+ qx+r 中实数 p、q、r 满足 =0, 其中 m>0, 求证(1) pf ()<0;(2) 方程 f(x)=0 在(0，1) 恒有解参考答案1解析 当a 2=0即a=2时，不等式为一4v 0,恒成立 a=2,当a 2工0时，贝U a满足,解得一2v av2,所以a的围是一2 v a<2答案 C2.B 3.D4.D 5A6 解析f(x