中学数学思想方法之类比思想

1、“中学数学解题思想方法” 微视频 8.类比思想内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新

2、思维能力类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有 问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向例题示范例 1：等差数列 a 中，若 a =0 ，则有 a +a + +a =a +a + +an 10 1 2 n 1 2 19 -n( n <19, n Î N ) 成立，类比上述性质，在等比数列b 中，若 b =

3、1，则_.+ n 9解：在等差数列中， a =0 ，那么以 a 为中心，前后间隔相等的项和为 0，即10 10a +a =0, a +a =0 ，所以有 a +a + +a =a +a + +a ( n <19, n ÎN ) 9 11 8 12 1 2 n 1 2 19 -n +成立类比过来：同样在等比数列 b 中，若b =1，则以bn 9 91，即 b b =1, b b =1 ，所以有下列结论成立：b b 8 10 7 11 1 2为中心，前后间隔相等的项的积为b =b b b ( n <17, n ÎN ) n 1 2 17 -n +评析：在等差数列和等

4、比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商 ，算术平均类比几何平均等等。当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化 规律是类比的关注点。2 23例 2：在平行四边形 ABCD 中，有AC 2 +BD 2 =2( AB 2 +AD 2 ),类比在空间平行六面体ABCD -A B C D1 1 1 1中，类似的结论是_。D1C1D CA1DB1CA BA B解：如图，平行四边形 ABCD 中，设向量 AB =a ， AD =b ,则 AC =a +b ，DB =a -b , AC 2 =(a+b)2=a2+2ab + b 2 同理， DB 2 =(a-b)2=a2-2a

5、b + b 2 2 2 (2 2 )(2 2 )+得， AC + DB =2 a +b =2 AB + AD ，即有AC +BD =2( AB 2 +AD 2 )类似地，在平行六面体ABCD -A B C D1 1 1 1中，可设 AB =a ， AD =bAA =c1则AC =a +b +c 1,BD =-a+b +c 1,CA =-a-b +c 1,DB =a -b +c 1同上面方法可计算出下列结论成立:AC 2 +BD2 +CA2 +DB 2 =4( AA2 +AB 2 +AD 2 )11 1 1 1评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育 家波

6、利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的 类比问题”平面与空间类比的例子还有很多，如：1、在R ABC中，C=900，CDAB于点D，则1 1 1= + CD 2 CA 2 CB2成立，类比此性质，在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PD平面ABC于点D，则可得到的结论是：1 1 1 1= + + PD 2 PA 2 PB 2 PC22、已知ABC中，内切圆半径为r，三边长为a,b,c，则ABC的面积为1S = r ( a +b +c ) 2，若一个四面体内切球的半径为R，四个面的面积分别是 1是： V = R ( S +S +S +S ) 1

7、2 3 4S , S , S , S 1 2 34，则这个四面体的体积A -BCD003、如图，在平面几何中ABC的内角平分线AD分BC所成的线段比BD：DC=AB：AC，把 这个结论类比空间有： 在三棱锥中 中，平面DCE平分二面角A-CD-B，且与棱相交于点E，则有AE S=BE SAAABBBAAEDBDCBC例 3 ： 已知正数 a ，b ，c 满足： 5c -3a b 4c -a，c ln b a +c ln c，则ba的取值范围是解 ： 由5c -3a £b £4c -a得 5 -3a b a a 1 b a 7 £ £4 - ， ³

8、; ， £4 - £c c c c 2 c c 2， 由c l n b ³ a+ cl n ，c得 lnbbbb ³ ， 设 =x ， =ycccc，在处理 y £ln x时可以类比：y £x是表示直线 y =x 的下方区域，所以 y £ln x 线性的类比y £ln xì表示曲线 y =ln x下方区域，这就是线性与非ïïï 则 x，y 满足 íïïïî7x £21y ³2x >0, y >0

9、y，可先求 的取值范围 作出（ x，y ）所在平面区域（如图）： xy利用 的几何意义：可行域内的任一点和点 (0,0) x所在直线的斜率，y 7 1由图像可知 分别在点 ( , ) 和切点分别取得最小值和最大值x 2 2设过点 (0,0) 的直线与 y =ln x 相切于点 p( x , y ) ，0 0ln x 1 0 = ，解得 x =e ， y =1 ，x x0 01 y 1 b x b £ £ ， e £ = £7 ，即 的取值范围是 e，7 7 x e a y a评析：此题求解中充分利用条件和结论的形式特征，将不等条件与线性规划中约束条件类比

10、 ，将所求分式与斜率类比，将求线性规划问题的方法与非线性的方法进行类比。解决问题的 策略就是把不熟悉的问题类比到熟悉的问题中，降低思维难度。4 1 1 3APïï例 4：（2017 年浙江 21）如图，已知抛物线x2=y，点1 1 A(- , )2 4，3 9B ( , )2 4，抛物线上的点1 3P ( x, y ) (- <x < )2 2，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.yB(1)求直线 AP 斜率的取值范围 （2）求PA ·PQ的最大值 。A PQx。解：（1）设直线 AP 的斜率为 K. k = 取值范围为 (-1,1)x2 -x

11、 +1=x - ，因为 - <x < ，所以直线 AP 斜率的 1 2 2 221 1（2）常规解法：设直线 AP 的方程：y =k ( x + ) +2 4ìï，则由 íïî1 1 y =k ( x + ) +2 4x 2 =y消 y得：1 1 1 1 ( x + ) x -(k + ) =0 ，则 x =- , x =k +2 2 2 21 3.由于 - <x < ，则 k Î( -1,1) 。由题 2 p 2意得 AQ BQ ，所以直线 BQ ：1 3 9 y =- x + +k 2k 4ì 1

12、 1 y =kx + k +ï 2 4 ，联立方程í1 3 9 y =- x + +ïî k 2 k 4，解得x =Q-k2 +4k +3 2(k 2 +1),因为1| PA|= 1+k2 (x + ) = 1+k2 (k +1)2，| PQ|= 1+k2 (x -x) =-Q(k -1)(k +1)2 1+k2,所 以| PA | | PQ |=-(k -1)(k +1)2。令f (k )=-(k -1)(k +1)3，因为f¢(k) =-(k +1)2 (4 k -2)，所以f (k )在区间1( -1, )2上4÷01单调递增，

13、 ,1)上单调递减，因此当 2k =12时，| PA | | PQ |27 取得最大值 。16当然我们也可以利用不等式的性质直接求解：1 1PA PQ =-(k-1)(k +1)3 = (3 -3k )(k +1)(k +1)(k +1) £ ´3 31时等号成立。，当 k =2æçè(3 -3k ) +(k +1)+(k +1) +(k +1)ö4 ø=2716有没有其他的解决途径呢？重新审视已知条件，直线 AP 的垂线 BQ 及所求的PA ·PQ量有没有什么内在的联系？垂足 Q 与已知点 A, B 之间有没有特

14、殊的关系呢？如果我们能发现 PQ 就 是 PB在 直 线 AP 上 的 射 影 的 话 ， 那 么PA ·PQ就 可 直 接 转 化 为PA ·PQ =-PA ·PB ，于是问题转化为向量的坐标运算。解法 2：两线段积类比向量数量积的几何意义设P(t , t2)， 则1 1 3 9 AP =(t + , t 2 - ), PB =( -t , -t2 4 2 42)BQ AP1 3 1 9 AP PQ = AP PB cos ÐBPQ =AP PB =(t + )( -t ) +(t 2 - )( -t2 2 4 42)（ * ）对于（*）式 我们可以直

15、接展开得AP ×PQ =-t4+3 3t 2 +t +2 16，下面可求导计算（过程同上）。解法 3：类比于已解决的问题已知直线 AB 与抛物线y 2 =4 x交于点 A,B,点 M 为 AB 的中点，C为抛物线上一个动点，若 C 满足 C A C B =min CACB,则下列一定成立的是（ B ） 0 0 0A.C M AB B. 0C M l0,其中 l是抛物线过 C 的切线0yBC.C A C B D.C M =AB0 002 1 2分析：设 AB 的中点为 M，由于CACB=(CM+MA) (CM+MB) =(CM+MA) (CM-MA) =CM - AB4）若线段 AB

16、为定值，则当以 M 为圆心的圆与抛物线相切时（切点为C0OCAMx2 2 242ê满足 C A C B =min CACB，此时圆与抛物线在 C 处有共同的切线 l 0 0 0。如果在考场上我们能够回忆起这样一个解题经历，或者能深层地发现本问题中蕴含的几 何位置关系，那么下面的解法应该是水到渠成的。y1 5设 AB 的中点为 D，则 D( , ) , 由于 AP PQ =-PA PB =-(PD -DA ) =2 -PD ，2 4如图当圆 D 与抛物线相切于点 P 时 PD 值最小，此时 DP 与过 P 的抛物线的切线垂直。DBPQAx设 P(t , t2)5t 2 -则 ´

17、;2t =-1 化简得 4t 3 -3t -1 =0 1t -2即 (t -1)(2t +1)2 =0 ，1- <t <232 t =1é 1 5。故 P (1,1)时最大值为 AP PQ =2 -PD =2 - (1- )2 +(1- )2ë 2 4ùúû27= 。16评析：上面的多维度解析让我们感受了数学问题的解决是多方面的，类比思想体现在数算， 形态，及解题策略方面的互通。162 23 23 23 23 2 12 2 013 2 013 2 013 2 0138 12 168 12 1616配套练习：1、设等差数列a 的前 n

18、 项和为 S ，则 S ，S S ，S S ，S S 成等差数列.类比以上n n 4 8 4 12 8 16 12T结论有设等比数列b 的前 n 项积为 T ，则 T ，_，_， 成等比数列.n n 4 T122、把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径 ra b2(其中 a，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为 a，b，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径 R_.的正方形（实线， P3、已知圆O 的半径为 1为圆周上一点，现将如图放置的边长为1走过的路径的长度为所示 ，正方形的顶点 A 和点 P 重合）

19、沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点 P的位置，则点 ADADCCA( P)4、对于三次函数 f(x)ax bx cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数 yf(x)的导数，f(x) 是 f(x)的导数，若方程 f(x)0 有实数解 x ，则称点(x ，f(x )为函数 yf(x)的“拐点”.0 0 0某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，1 1 5且“拐点”就是对称中心.若 f(x) x x 3x ，请你根据这一发现， (1)求函数 f(x)3 2 121 1 5 1 2 3 4 x x 3x 的对称中心； (2)计算 f( )

20、f( ) f( ) f( ) 2 012f( ).2 013答案：B1、T T8 12T T4 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列b 的前 n 项积为 T ，则 T a a a a ，Tn n 4 1 2 3 4 8 a a a ，T a a a ，T a a a ，因此 1 2 8 12 1 2 12 16 1 2 16TT84 a a a a ， 5 6 7 8T12T8 a a a a ， 9 10 11 12TT1612a a a a ，13 14 15 16T T T T T T而 T ， ， ， 的公比为 q ，因此 T ， ， ， 成等比数列. 4 T T T 4 T T

21、 T4 8 12 4 8 122 、a2 +b 2 +c 22解析: 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径a2+b22+c2.(2 + 2)3、 p2解析：类比题（2010 北京理科（14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿x轴滚动 .设顶点 P（ x ，y）的轨迹方程是 y = f ( x) ，则 f ( x )的最小正周期为 ；y = f ( x)在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为 .说明：“正方形 PABC 沿x轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动 .沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶点 A 为中 心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x

22、轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续 .类似地，正方形 PABC 可以沿x轴负方向滚动 .分析：此题若想直接求出 P 点运动的轨迹 方程是有点困难的，但我们可以根据题意画出 点 P 的轨迹，然后根据图形的特征求出周期和 所围成的面积 . 通过动手操作点 P 的轨迹是P P PP A B C P如图 2 中周期为 4 的图像， y = f ( x )在其两图图个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域是由两个半径为 1 的14圆及两个边长为 1 的正方形和一个半径为21 1 1的弓形组成 .其面积 S =2 ´ p´12+ p´( 2) 2 - ´2 ´1=p+14 4 2在解决原题时我们可以类比操作：如果我们将六边形从 A 点处剪开依次重复地平铺在直线上（如图）问题可直接类比转化为上面的高考试题 . 在直线上正方形的顶点 A 转动的轨迹是以半径 1， 2 ,1,0，