专题训练--直线与圆

1、专题能力训练 直线与圆1.已知圆 E 经过三点能力突破训练A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在 x轴的正半轴上 ,则圆 E 的标准方程为 (3 2 2 25 3 2 2 25A. (?- 2) +y2= 4 B.(?+ 4) +y 2= 163 2 2 25 3 2 2 25C.(?- 34) +y2=2165D.(?- 43) +y2= 2452. 若直线 x-2y-3=0与圆 C:(x-2)2+(y+3)2=9交于 E,F 两点,则ECF 的面积为 ( )33 53A.B.2 5C. D.2 5 43. 已知直线 y=kx+ 3 与圆(x-1)2+ (y+ 2) 2=4 相

2、交于 M,N两点,若|MN|23,则实数 k的取值范围是 ( )1212A. ( -,- 5 )B.( -,- 5 1212C.( -,5 )D.(- ,5 4. 已知实数 a,b 满足 a2+b2-4a+3=0,函数 f( x)=a sin x+b cos x+ 1的最大值记为 (a,b),则 (a,b)的最小值是 ( ) A.1 B.2C.3+1D.35. 已知两条直线 l1:x+ay- 1= 0和 l2:2a2x-y+1=0.若 l1l2,则 a=.6. 已知圆 (x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线 y2=4x的焦点 ,且直线 3x+4y+2=0与该圆相切 ,则该圆的方程 为.

3、7. 已知圆 C的圆心与抛物线 y2= 4x的焦点 F关于直线 y=x 对称,直线 4x-3y-2=0与圆 C相交于 A,B两点,且|AB|= 6,则 圆 C 的方程为 .8. 已知 P是抛物线 y2=4x上的动点 ,过点 P作抛物线准线的垂线 ,垂足为点 M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点 ,则 |PM|+|PN| 的最小值是 .9. 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 x-3y=4相切.(1) 求圆 O的方程 ;(2) 若圆 O上有两点 M,N 关于直线 x+ 2y= 0对称,且|MN|= 23,求直线 MN 的方程 ;(3) 设圆 O与 x轴相交

4、于 A,B两点 ,若圆内的动点 P使|PA| ,|PO| ,|PB|成等比数列 ,求? ?·? 的?取值范围 .10. 已知圆 O:x2+y2=4,点 A(3,0),以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O,记点 B的轨迹为 .(1) 求曲线 的方程 ;(2) 直线 AB 交圆 O于 C,D两点,当 B为 CD的中点时 ,求直线 AB 的方程 .11. 已知过点 A(0,1)且斜率为 k的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1交于 M,N两点.(1) 求 k 的取值范围 ;(2) 若?·? ? =?12,其中 O 为坐标原点 ,求|MN|.思维提升训练12. 在矩形

5、 ABCD 中,AB=1,AD= 2,动点 P在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上 .若? =? +?,?则? + 的最大值为 ()A.3B.22C.5D.213. 已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b (a> 0)将ABC 分割为面积相等的两部分 ,则 b的取值范围是( )2 1A.(0,1) B.(1 - 22 ,21)2 11 1C.(1 - 2 ,3D.3 ,2)14. 在平面直角坐标系 xOy中,A(-12,0),B(0,6),点 P在圆 O:x2+y 2= 50上.若? ? ·? ? 20,则点 P的横坐标的取值范围 是.15.

6、已知直线 l:mx+y+ 3m-3=0与圆 x2+y2=12交于 A,B两点 ,过 A,B分别作 l 的垂线与 x轴交于 C,D 两点.若|AB|= 23 , 则 |CD|=.16. 如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知以 M 为圆心的圆 M:x2+y 2-12x-14y+ 60= 0及其上一点 A(2,4) .(1) 设圆 N 与 x轴相切 ,与圆 M 外切,且圆心 N在直线 x=6上,求圆 N 的标准方程 ;(2) 设平行于 OA的直线 l 与圆 M相交于 B,C两点,且 BC=OA ,求直线 l 的方程 ;(3) 设点 T(t,0)满足:存在圆 M上的两点 P和 Q,使得? ?+ ?

7、?= ?, ?求实数 t的取值范围 .217. 已知以点 C(?,2?)?(tR,t0)为圆心的圆与 x轴交于点 O,A,与 y轴交于点 O,B,其中 O 为原点 .(1) 求证:AOB 的面积为定值 ;(2) 设直线 2x+y- 4= 0 与圆 C交于点 M,N,若|OM|=|ON| ,求圆 C的方程 ;(3) 在(2)的条件下 ,设 P,Q 分别是直线 l:x+y+ 2=0和圆 C 上的动点 ,求|PB|+|PQ| 的最小值及此时点 P的坐标 .参考答案专题能力训练 - 直线与圆能力突破训练1. C 解析用排除法 ,因为圆心在 x轴的正半轴上 ,排除 B;代入点 A(0,1),排除 A,D

8、 .故选 C.2. B 解析由题意 ,圆心为 C(2,-3),半径为 r= 3,则 ECF 的高 h=d= |2+2×3-3| = 5,底边长为 l= 22?-?2=29-5=4,所以 1+ (-2)2SECF= 21 ×4 ×5=25,故选 B.3. B 解析当|MN|= 23时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心 (1,-2)到直线 y=kx+ 3的距离为4-(3)2=1,即|?1?+?5?|2=1,解得 k=-152.若使|MN|23,则 k-152.4. B 解析由题意知 (a,b)=?2?+ ?2+ 1,且( a,b)满足 a2+b2-4

9、a+3=0,即(a,b)在圆 C:(a-2) 2+b 2= 1上,圆 C的圆心为 (2,0), 半径为 1,?2?+ ?2表示圆 C 上的动点 (a,b)到原点的距离 ,最小值为 1,所以 (a,b)的最小值为 2.故选 B.1 1 1 1 5.0 或2 解析当 a=0 时,l1l2,当 a0 时,由-?·2a2=-1,解得 a=2,所以 a=0 或 a=2.6. (x-1)2+y2=1 解析因为抛物线 y2= 4x的焦点坐标为 (1,0),所以 a= 1,b= 0.又根据 |3× 1+4× 0+2|= 1=r ,所以圆的方程为 (x- 32+421)2+y 2=

10、1.7. x2+(y-1)2=10 解析抛物线 y2= 4x的焦点 F(1,0)关于直线 y=x 的对称点 C(0,1)是圆心 ,C到直线 4x-3y-2=0的距离d=|4×0-3×1-2|5 =1圆截直线 4x-3y-2=0 的弦长为 6,圆的半径 r= 12 + 32 = 10.圆方程为 x2+(y-1)2=10.8. 26-1 解析抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为 C(2,5),根据抛物线的定义可知点 P到准线 的距离等于点 P到焦点的距离 ,进而推断出当 P,C,F三点共线时 ,点 P到点 C的距离与点 P到抛物线

11、的焦点距离之和的最小值为 |FC|= (2-1)2 + (5-0)2 = 26 ,故|PM|+|PN| 的最小值是 |FC|- 1= 26 -1.9. 解(1)依题意 ,圆 O的半径 r等于原点 O到直线 x-3y= 4的距离 , 即 r= 14+3 =2.所以圆 O 的方程为 x2+y 2= 4.(2)由题意 ,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m= 0.则圆心 O 到直线 MN 的距离 d=|?|.由垂径定理 ,得?5? + (3)2=22,即 m= ± 5.所以直线 MN 的方程为 2x-y+ 5 =0 或 2x-y-5= 0.(3) 设 P(x,y),由题意得 A(-2,0

12、),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB| 成等比数列 ,得(?+ 2)2 + ?2 ·(?-2)2 + ?2=x 2+y2,即 x2-y2=2.因为 ? ?·? =?(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),0 ?2 + ?2 < 4,且点 P在圆 O内,所以02?2? + ? < 4,由此得 0y2<1.所以? ·? 的?取值范围为 -2,0). ?2-?2 = 2.110. 解(1)设 AB 的中点为 M,切点为 N,连接 OM ,MN ,则|OM|+|MN|=|ON|= 2,|AB|=|ON|- (|OM|-|

13、MN| ) = 2-|OM|+ 2 |AB| ,即|AB|+ 2|OM|= 4.取点 A 关于 y轴的对称点 A',连接 A'B,则|A'B|= 2|OM| ,所以|AB|+ 2|OM|=|AB|+|A'B|= 4>|A'A|.所以点 B的轨迹是以 A',A为焦点 ,长轴长为 4的椭圆 .其中,a= 2,c= 3,b= 1,故曲线 的方程为 +y 2= 1.4(2)因为 B为 CD 的中点 ,所以 OBCD,则? ? .?设 B(x0,y0),则 x0(x0-3)+?02=0.又 40 + ?02= 1,解得 x0=3,y0=±3

14、.则 kOB=± 22,kAB= ? 2,则直线 AB的方程为 y=±2(x-3),即2x-y-6= 0 或2 x+y- 6 = 0.11. 解(1)由题设 ,可知直线 l的方程为 y=kx+ 1. 因为 l 与 C交于两点 ,所以|2?-3+1 |<1.1+?2解得4-37<k< 4+37所以 k 的取值范围为 ( 4-37 , 4+37).33(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).将 y=kx+ 1 代入方程 (x-2)2+(y-3)2=1, 整理得 (1+k 2)x2-4(1 +k )x+ 7= 0.所以 x1+x4(1+?)2=2 ,x1x

15、2=71+?2?·? ? ?=x1x2+y1y22 4?(1+?)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=2 +8.由题设可得 4?(1+?2?)+8=12,解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+ 1. 故圆心 C 在 l 上 ,所以 |MN|= 2.思维提升训练12. A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系则 A(0,1),B(0,0),D(2,1).设 P(x,y),由|BC| ·|CD|=|BD|r,得 r=|?|?·?|?|? 2×1|?|? = 5即圆的方程是 (x-2)2+y2= 4.5易知 ? =?( x,y-1), ? ? =?

16、(0,-1),?=?(2 ,0). 由? =? +?,? ?= 2?, ?得?-=1 =2?-?,?,所以 =2,=1-y,1 所以 + = 2x-y+ 1.11设 z=2x-y+1,即2x-y+1-z=0.4因为点 P(x,y)在圆 (x-2)2+y2=45上,1所以圆心 C 到直线 21x-y+ 1-z= 0 的距离 dr,即|214-+?1?| 255,解得 1z3,所以 z 的最大值是 3,即 + 的最大值是 3,故选 A.13. B 解析1由题意可得 ,ABC 的面积为 S=12 ·AB·OC= 1,由于直线 y=ax+b (a>0)与 x 轴的交点为? ?

17、M( - ?,0) ,由-?0 可得点M 在射线 OA 上 .设直线和 BC 的交点为 N,又直线 BC 的方程为 x+y= 1,?= ?+? ?, 1-? ?+?则由?+= ?=?+?1,?,可得点 N的坐标为 ( ?1?-+?1?,?+?1)?.若点 M 和点 A重合,则点 N为线段 BC的中点 ,则-?=- 1,且?+1?= 12,解得 a=b= 13.若点 M 在点 O和点 A之间,则点 N在点 B和点 C之间,由题意可得 NMB 的面积等于 12,即12 ·|MB| y·N= 21,即21 · ? ?+? 1?21(1 + ?) ·?+1?=

18、21,解得 a=1?-?2?>0,则 b<21.? ?= ?+? ?,若点 M 在点 A的左侧 ,则-?<- 1,b>a ,设直线 y=ax+b 和 AC 的交点为 P,则由 ?= ?+ 1, 求得点 P的坐标为1-? ?-? ?-1 , ?-1) ,此时,NP= ( ?1?-+?1?2?+? ?-?( - )?+1 ?-12=(?-2+(11)(-?-)1)2+ 2?(?-1) (?+1)(?-1)4(1+?2)(1-?)2= 2 2 =(?+1) (?-1)2|1-?| 1+ ?2|(?+1)(?-1)|此时 ,点 C(0,1)到直线 y=ax+b 的距离为|0-1

19、+?|1+?2|?-1|1+?2,1由题意可得 ,CPN 的面积等于 12,即1· 2|1-?| 1+ ?2 ·|?-?1| = 1,2 |(?+1)(?-1)|1+?2 2化简 ,得 2(1-b)2=|a 2-1|.由于此时 0<a< 1, 2(1-b)2=|a 2-1|=1-a2.两边开方可得 2(1-b)=1-?2<1,则 1-b< 12,即 b>1- 22,综合以上可得 ,b= 31符合题意 ,且 b<12,b> 1- 22,即 b 的取值范围是 (1 - 22 ,21).14. -52,1 解析设 P(x,y),由? ?&

20、#183;? ?20,易得 x2+y 2+12x-6y20.把 x2+y2=50代入 x2+y 2+ 12x-6y20得 2x-y+ 50.由?2?2?-+?+?25=500,可得?= -55,或 ?= 71,.由 2x-y+ 5 0表示的平面区域及 P点在圆上 ,可得点 P在圆弧 EPF 上, 所以点 P 横坐标的取值范围为 -52 ,1 .15.4 解析因为|AB|= 23,且圆的半径 R= 23,2所以圆心 (0,0)到直线 mx+y+ 3m-3 = 0的距离为 ?2- ( |?2?|?) =3.由?2+1 =3,解得 m=- 3 .将其代入直线 l的方程 ,得 y= 33x+ 23,即

21、直线 l 的倾斜角为 30°3由平面几何知识知在梯形 ABDC 中,|CD|=|?|?cos30 °=4.16.解圆 M 的标准方程为 (x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心 M(6,7),半径为 5.(1)由圆心 N在直线 x=6 上,可设 N(6,y0).因为圆 N与 x轴相切 ,与圆 M 外切,所以 0<y 0< 7,于是圆 N的半径为 y0, 从而 7-y0=5+y0,解得 y0=1.4-02-0=2.因此 ,圆 N 的标准方程为 (x-6)2+ (y-1)2=1.(2)因为直线 l OA,所以直线 l 的斜率为设直线 l 的方程为 y= 2x+m

22、,即 2x-y+m= 0, 则圆心 M 到直线 l 的距离|2×6-7+? | |?+5 | d=5= 5 .因为 BC=OA= 22 + 42=25,?2 而 MC2=d 2+ ( ?2?)?所以 25=(?+5 )52+5,解得 m=5 或 m=- 15.故直线 l 的方程为 2x-y+ 5= 0或 2x-y-15=0.(3) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2).因为 A(2,4),T(t,0),? ?+ ? ?= ?,?所以?2 = ?1 + 2-?,?2 = ?1 + 4.因为点 Q 在圆 M 上,所以 (x2-6)2+(y2-7)2=25. 将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点 P(x1,y1)既在圆 M 上,又在圆 x-(t+4)2+(y-3)2=25 上,从而圆 (x-6)2+(y-7)2=25与圆 x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点 ,所以 5-5 ( ?