(完整word)排列组合知识总结+经典题型,推荐文档

1、(1)知识梳理1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有几类办法，在第一类中有ml种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方 法在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有蚀+十鳴讶中不同的方法。2.分步计数原理(乘法原理)：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方 法，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有“二吋心乂叭种不同的方法。特别提醒：分类计数原理与 分类”有关，要注意 类”与 类”之间 所具有的独立性和并列性； 分步计数原理与 分步”有关，要注意 步”与 步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正 确地分类、分步，做到不

2、重复、不遗漏。3.排列：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定 顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列.4.排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列数，用符号 蛊表示.5.排列数公式:唱少餌暨歹 Z 罗-?特别提醒：(1)规定0! = 1(2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素al，a2,.an其中限重复数为n1、n2.nk，且n =n1+ n2+nk ,贝U S的排列个数等于竝.例如：已知数字3、2、2,求其排列个数1

3、12!又例如：数字5、315、5、求其排列个数？其排列个数3!= 1-6.组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.y_代_用(丹一】(理_觀+1)=创7.组合数公式：“g忍梆心-呦！8.两个公式： 心严皿：。特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是 排成一排”，后者是 并成一组”,前者有顺序关系， 后者无顺序关系.典型例题考点一：排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1) 甲不站两端；(2) 甲、乙必须相邻；(3) 甲、乙不相邻；（4） 甲、乙之间间隔两人；（5）

4、 甲、乙站在两端；（6） 甲不站左端，乙不站右端.考点二:组合问题例2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？（1） 男运动员3名，女运动员2名；（2） 至少有1名女运动员；（3） 队长中至少有1人参加；（4） 既要有队长，又要有女运动员.考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1） 恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2） 恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3） 恰有2个盒不放球，共有几种放法？当堂测试1从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有

5、（）A.70种B.80种C.100种D.140种2亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若 其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种3从0，1,2，3,4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.1624甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女 同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种

6、D.345种5甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.366用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.6487从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（）8将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分 到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.18B.24C.30D.309.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种

7、数是 （）A.360B.288C.216D.96参考答案：例1解：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有為种站法，然后其余5人在另外5个位置 上作全排列有肌种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法： =480（种方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站， 有肌种站法， 然后中间4人有恥种站法， 根据分步乘法 计数原理，共有站法：M爲丸刃（种）方法三：若对甲没有限制条件共有 臥种站法，甲在两端共有2虞种 站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A-2ij = 480（种）A.85B.56C.49D.28（2）方法一：先把甲、乙作为一个整

8、体”看作一个人，和其余4人进行全排列有/种站法，再把甲、乙进行全排列，有 隨种 站法，根据分步乘法计数原理，共有祈呕40（种）方法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有幕种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有 肌种方法，最后让甲、乙 全排列，有込种方法，共有町说-刃沁（种）（3） 因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用插空法”第一步 先让甲、乙以外的4个人站队，有仍种站法；第二步再将甲、乙 排在4人形成的5个空档 （含两端） 中， 有頃种站法， 故共有站法为时AI=480（种）也可用 间接法”6个人全排列有船种站法，由（2）知甲、乙 相邻有&仔放种站法，所以不相邻的站法有轉矚 A=

9、720-20=480（种；.（4）方法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有抖种，然 后将甲、乙按条件插入站队，有彳码种，故共有詹3佛）皿4 （种;站 法.方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的 两个位置上，有則种，然后把甲、乙及中间2人看作一个 大”元 素与余下2人作全排列有阿种方法，最后对甲、乙进行排列，有 唏中方法，故共有阴鸠编44（种站法.（5） 方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 歸种， 再让其他4人在中间位置作全排列，有舄种，根据分步乘法计数 原理，共有込碼婀（种）站法.方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 迥种站法， 然后考虑中间4个位置，由

10、剩下的4人去站，有肋种站法，由分 步乘法计数原理共有.厂叮二站法.（6）方法一：甲在左端的站法有Ag种，乙在右端的站法有 第种， 且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有亠：-:叮二亠 站 法.方法二：以元素甲分类可分为两类：甲站右端有昭种站法，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有 1 种，故共有址姒羽A *=504（种）站法.例2解 （1）第一步：选3名男运动员，有-：种选法.第二步：选2名女运动员，有 B 种选法.共有-种选法.（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为叫團弋鞋代*4弋弭0246种.方法二至少1名女

11、运动员”的反面为全是男运动员”可用 间接法求解.从10人中任选5人有吒种选法，其中全是男运动员的选法有 耳 种.所以 至少有1名女运动员”的选法为（3）方法一：可分类求解：只有男队长”的选法为 只有女队长”的选法为门；男、女队长都入选”的选法为嚼；所以共有2%也卜1册种选法.9分方法二：间接法：从10人中任选5人有种选法.其中不选队长的方法有仇种.所以 至少1名队长”的选法为（00）-04=196种.9分（4）当有女队长时，其他人任意选，共有9种选法不选女队长 时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有 匚种， 所以不选女队长时的选法共有CS_C?种选法.所以既有队长又有女运动员的选

12、法共有 席弋計併种.例3解 （1）为保证 恰有1个盒不放球”先从4个盒子中任 意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放 入球，共有几种放法？ ”即把4个球分成2，1，1的三组，然后 再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒 子内，由分步乘法计数原理，共有CiC|ClXA144种（2）恰有1个盒内有2个球”即另外3个盒子放2个球，每 个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，恰有1个盒内有2个球”与 恰有1个盒不放球”是同一件事，所 以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均

13、匀分组有Me抽引种方法；第二类有序均匀分组有尿 种当堂检测答案1从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，贝V不同的组队方案共有A.70种B.80种C.100种D.140种 解析：分为2男1女，和1男2女两大类，共有算已十硏。冃0=70种， 解题策略：合理分类与准确分步的策略。2亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若工作，则不同的选派方案共有（解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法

14、。（2）小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有种方法。共有24+12=36种选法。解题策略：1特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。方法.故共有IC CfCfA齐密1 切=84其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项A.48种B.12种C.18种D.36种3排列、组合混合问题先选后排的策略。3从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.162解析：分为两大类：（1）含有0,分步1,从另外两个偶数中选 一个，1J种方法，2从3个奇数中选两个，有J种方法；3

15、给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有种方法；4其他的3个数字进行全排列，有&种排法，根据乘法原理共种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2,4;奇数有G种不 同的选法，然后把4个元素全排列，共月种排法，不含0的排 法有疾&种。根据加法原理把两部分加一块得U 借靄蚩珥辺隔解题策略：1特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。3排列、组合混合问题先选后排的策略。4甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女 同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A.150种B.180种C.300种D.345种解析：4人中恰

16、有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学 或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有种选法。解题策略：合理分类与准确分步的策略。5甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中 至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有 N 种选法，然后乙从剩余的两门选，有 空种不同的选 法，全不相同的选法是色必种方法，所以至少有一门不相同的选 法为c厂c：空=恥种不同的选法。解题策略：正难则反，等价转化的策略。6用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的

17、个数为 （）A.324B.328C.360D.648解析：第一类个位是零，E E共g种不同的排法。第二类个位不是零， 目 叵CO共毗晞种不同的解 法。解题策略：合理分类与准确分步的策略.7从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（）A.85B.56C.49D.28解析：合理分类，甲乙全被选中，有种选法，甲乙有一 个被选中，有空G种不同的选法，共。卜49+=49种不同 的选法。解题策略：(1) 特殊元素优先安排的策略，(2) 合理分类与准确分步的策略.8将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分 到一名学生，且甲、乙两名学生不

18、能分到同一个班，则不同分法的总数为()A.18B.24C.30D.30将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有皤种不同的分法，然后三组进行全排列共 翅种不同的方法；然后再把甲、乙分到一 个班的情况排除掉，共 眉种不同的排法。所以总的排法为 屜一后种 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法 的问题。这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ： 这里不再详述。解题策略：1正难则反、等价转化的策略2相邻问题捆绑处理的策略3排列、组合混合问题先选后排的策略；9.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有也种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有 採种方法；这样选出两名女生 后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有阕中不同的排法，。丨然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有止种不同的排法，共有朮种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端，也可能是右端，有 同种不同的方法，然后其他两 个男生排列有冷种排法，最后把女生在剩余的三个位置中排列， 有：种不同的排法。共I；-种不同的排法， 故总的排法为