2022年2022年初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载三角形中做帮助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；线段垂直平分线,常向两端把线连；线段和差及倍半,延长缩短可试验；线段和差不等式,移到同一三角去；三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；一.由角平分线想到的帮助线口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；角平分线具有两条性质：a.对称性； b.角平分线上的点到角两边的距离

2、相等；对于有角平分线的帮助线的作法,一般有两种；从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线,构造对称图形（如作法为在一侧的长边上截取短边）；通常情形下,显现了直角或为垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情形下考虑构造对称图形；至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件；与角有关的帮助线（一）.截取构全等例1如图 1-2 , ab/cd, be平分 bcd,ce平分 bcd,点 e 在 ad上,求证： bc=ab+c；daedbfc图 1-2例2已知：如图1-4 ,在 abc中, c=2 b、ad 平分 bac,求证： ab-ac=cdaecbd图1-4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

3、载学习必备欢迎下载分析 ：此题的条件中仍有角的平分线,在证明中仍要用到构造全等三角形,此题仍为证明线段的和差倍分问题；用到的为截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明；试试看可否把短的延长来证明呢？（二）.角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；例1如图 2-1 ,已知 ab>ad、 bac=fac、cd=bc；a求证： adc+b=180分析 ：可由 c 向 bad的两边作垂线；近而证adc与 b 之和为平角；defbc图 2-1例2已知如图2-3 , abc的角平分线bm.cn相交于点 p；求证： bac

4、的平分线也经过点p；分析 ：连接 ap,证 ap平分 bac即可,也就为证p 到 ab. ac的距离相等；andmfpb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习：1如图 2-4 aop= bop=15 ,pc/oa,pd oa,c假如 pc=4,就 pd=（）oa4b3c2d12. 已知：如图2-6、 在正方形abcd中, e 为 cd 的中点, f 为 bc上的点, fae= dae；求证： af=ad+c；fp d图2-4c图2-3ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载3. 已知：如图2-7 ,在 rt abc中, acb=90、cdab,垂足为 d,

5、ae平分 cab交 cd于 f,过 f 作fh/ab 交 bc于 h；求证 cf=bh；caedfheadb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b图2-6fc图2-7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,就截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（假如题目中有垂直于角平分线的线段,就延长该线段与角的另一边相交）；例1已知：如图3-1 , bad= dac,

6、ab>ac、cd ad于 d, h为 bc中点；求证：1 （ab-ac）dh=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析 ：延长 cd交 ab于点 e,就可得全等三角形；问题可证；adcebh图示 3-1例 2. 已知：如图3-2 , ab=ac, bac=90, ad为 abc的平分线, ce be. 求证： bd=2ce；分析 ：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形；fadebc图3-2例 3已知：如图3-3 在 abc中, ad.ae分别 bac的内.外角平分线,过顶点b作 bfad,交 ad的延长线于f,连结

7、fc并延长交ae 于 m；求证： am=m；e分析 ：由 ad.ae 为 bac内外角平分线,可得eaaf,从而有bf/ae ,所以想到利用比例线段证相等；ambdcefn图3-3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3已知：如图3-4 ,在 abc中, ad平分 bac,ad=ab,cm ad交 ad延长线于m；求证：（ ab+ac）1am=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析 ：题设中给出了角平分线ad,自然想到以ad为轴作对称变换,作abd关于 ad的对称 aed,精品学习资料精选学习资料 - - -

8、 欢迎下载然后只需证1dm=2ec,另外由求证的结果1 （ ab+ac）,即 2am=ab+a,c 也可尝试作acm关于 cm的对am=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称 fcm,然后只需证df=cf即可；aefncbdm图3-4练习 ：1 已知：在 abc中, ab=5, ac=3, d为 bc中点, ae为 bac的平分线,且ce ae于 e,连接 de,求 de ；2 已知 be.bf分别为 abc的 abc的内角与外角的平分线,af bf于 f,ae be于 e,连接 ef 分1别交 ab. ac于 m.n,求证 mn=bc2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

9、载学习必备欢迎下载（四）.以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形；或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形；如图4-1 和图 4-2 所示；cahidfegbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab图4-1图4-2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1如图, bc>ba, bd平分 abc,且 ad=cd,求证： a+c=180；abdc例 2如图, ab cd, ae.de分别平分 bad各 ade,求证： ad=ab+c；ddceab练习：1.已知,

10、如图,c=2 a, ac=2bc；求证： abc为直角三角形； 2已知：如图,ab=2ac, 1= 2, da=db,求证： dc acaaac1 2dcebcbabdbdc3已知 ce. ad为 abc的角平分线,b=60°,求证： ac=ae+cd4已知：如图在abc中, a=90°, ab=ac, bd为 abc的平分线,求证：bc=ab+ad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载二.由线段和差想到的帮助线口诀：线段和差及倍半,延长缩短可试验；线段和差不等式,移到同一三角去；遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法为截长补短法：1.截长：

11、在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；2.补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段；对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边.之差小于第三边,故可想方法放在一个三角形中证明；一. 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中显现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如：例1. 已 知 如 图1-1 ： d . e为 abc 内 两 点 、 求a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证:ab+ac>bd+de+ce.m

12、den精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc图11二. 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图 2-1 ：已知 d为 abc内的任一点,求证： bdc> bac；分析： 由于 bdc与 bac不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加帮助线构造新的三角形,使 bdc处于在外角的位置,bac处于在内角的位置；agedbfc图21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载留意：利用三角形外角定理证明不等关

13、系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明；三. 有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图 3-1 ：已知 ad为 abc的中线,且 1=2、 3=4、 求证： be+cf>e；f分析：要证be+cf>e,f 可利用三角形三边关系定理证明,须把be, cf,ef 移到同一个三角形中,而由已知 1= 2, 3= 4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把en, fn, ef移到同个三角形中；anef1 2 3 4bdc图31留意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段

14、,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素；三.截长补短法作帮助线；例如：已知如图6-1 ：在 abc中, ab>ac, 1= 2, p 为 ad上任一点求证： ab-ac>pb-p；c分析：要证：ab-ac>pb-pc,想到利用三角形三边关系,定理证之,由于欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边ab-ac,故可在ab 上截取 an等于 ac,得 ab-ac=bn,再连接pn,就 pc=pn,又在 pnb中, pb-pn<bn,即： ab-ac>pb-pc；a1 2pndcb图61m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学

15、习必备欢迎下载例 1如图, ac平分 bad, ce ab,且 b+ d=180°,求证： ae=ad+b；eadec例 2 如图,在四边形abcd中, ac平分 bad, ceab 于 e, ad+ab=2a,eb求证： adc+b=180odcaeb例 3 已知：如图,等腰三角形abc中, ab=ac,a=108°, bd平分abc；求证： bc=ab+d；cadbc例 4 如图,已知rt abc中, acb=90°, ad为 cab的平分线, dm ab于 m,且 am=m；b 求证： cd1a= 2 db；mcdba【夯实基础 】例：abc 中, ad为b

16、ac 的平分线,且bd=cd,求证 ab=acbcd【方法精讲 】常用帮助线添加方法倍长中线aa abc中方式 1： 延长 ad到 e,ad 为 bc边中线使 de=ad,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcd方式 2：间接倍长bc连接 bed精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fbdc e作 cf ad于 f,m作 be ad的延长线于e连接 beb延长 md到 n,d使 dn=m,dc连接 cdn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【经典例题

17、】例 1： abc中, ab=5, ac=3,求中线ad的取值范畴提示：画出图形,倍长中线ad,利用三角形两边之和大于第三边例 2：已知在 abc中, ab=ac, d 在 ab上, e 在 ac的延长线上,de交 bc于 f,且 df=ef,求证： bd=cea方法 1：过 d 作 dgae交 bc于 g,证明 dgf cef方法 2：过 e 作 egab交 bc的延长线于g,证明 efg dfb方法 3：过 d 作 dgbc于 g,过 e 作 eh bc的延长线于h证明 bdg echdbfce例 3：已知在 abc中, ad为 bc边上的中线, e为 ad上一点,且be=ac,延长 be

18、交 ac于 f,求证： af=efa提示：倍长ad至 g,连接 bg,证明 bdg cdaf e三角形 beg为等腰三角形bdc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4：已知：如图,在abc 中, abdf=ac.求证： ae平分bac提示：方法 1：倍长 ae至 g,连结 dg方法 2：倍长 fe 至 h,连结 chac ,d.e 在 bc上,且 de=ec,过 d 作 df / ba 交 ae于点 f,afbdec第 1 题图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5：已知 cd=ab, bda=bad, ae为 abd的中线,求证：c= baeabedc精品学习资料

19、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载提示：倍长ae至 f,连结 df证明 abe fde（ sas）进而证明 adf adc（sas）【融会贯穿 】1.在四边形abcd中, ab dc,e 为 bc边的中点, bae=eaf,af 与 dc的延长线相交于点f；摸索究线段 ab 与 af.cf 之间的数量关系,并证明你的结论a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：延长ae.df交于 g证明 ab=gc.af=gf所以 ab=af+fcdbec精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fa2.如图, ad为abc 的中线, de平分bda 交 ab于 e,df 平分

20、adc 交ac于 f.求证： becfefef精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提示：b方法 1：在 da上截取 dg=bd,连结 eg.fg证明 bde gde dcf dgf 所以 be=eg. cf=fg利用三角形两边之和大于第三边方法 2：倍长 ed至 h,连结 ch.fh 证明 fh=ef.ch=be利用三角形两边之和大于第三边cd第 14 题图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.已知：如图,abc中,c=90 , cm ab于 m, at 平分bac交 cm于 d,交 bc于 t,过 d 作 de/ab 交bc于 e,求证： ct=be.am提示：过t 作

21、 tn ab于 ndb证明 btn ecdetc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载四.由中点想到的帮助线口诀： 三角形中两中点,连接就成中位线；三角形中有中线,延长中线等中线；在三角形中,假如已知一点为三角形某一边上的中点,那么第一应当联想到三角形的中线.中位线.加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质.等腰三角形底边中线性质）,然后通过探究,找到解决问题的方法；（一）.中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1, ad为 abc的中线,就s abd=sacd=sabc（由于 abd与 acd为等底同高的）；例 1如图 2, abc中, ad为中线,

22、延长ad到 e,使 de=ad, df为 dce的中线；已知 abc的面积为 2,求： cdf的面积；解： 由于 ad为 abc的中线, 所以 s acd=s abc=× 2=1,又因 cd为 ace的中线, 故 s cde=s acd=1,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载因 df为 cde的中线,所以s cdf=s cde=× 1=； cdf的面积为；（二）.由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3,在四边形abcd中, ab=cd, e.f 分别为 bc.ad的中点, ba.cd的延长线分别交ef 的延长线 g.h；求证： bge= c

23、he；证明：连结bd,并取 bd的中点为m,连结 me.mf, me为 bcd的中位线, mecd, mef= che, mf为 abd的中位线, mfab, mfe= bge, ab=cd, me=m,f mef= mfe,从而 bge= che；（三）.由中线应想到延长中线例 3图 4,已知 abc中, ab=5, ac=3,连 bc上的中线ad=2,求 bc的长；解：延长ad到 e,使 de=ad,就 ae=2ad=×2 2=4；在 acd和 ebd中, ad=ed, adc= edb, cd=bd, acd ebd, ac=be,从而 be=ac=3；22222在 abe中,

24、因 ae +be=4 +3 =25=ab,故 e=90°, bd=,故 bc=2bd=2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例 4如图 5,已知 abc中, ad为 bac的平分线, ad又为 bc边上的中线；求证： abc为等腰三角形；证明：延长ad到 e,使 de=ad；仿例 3 可证： bed cad,故 eb=ac, e= 2,又 1= 2, 1= e, ab=eb,从而 ab=ac,即 abc为等腰三角形；（四）.直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6,已知梯形abcd中, ab/dc ,ac bc,ad bd,求证： ac=bd；证明：取ab的

25、中点 e,连结 de.ce,就 de. ce分别为 rt abd, rt abc斜边 ab上的中线,故de= ce=ab,因此 cde= dce； ab/dc, cde= 1, dce= 2, 1= 2,在 ade和 bce中, de=ce, 1= 2, ae=be, ade bce, ad=bc,从而梯形abcd为等腰梯形,因此ac=bd；（五）.角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例 6如图 7, abc为等腰直角三角形, bac=90°,bd平分 abc交 ac于点 d, ce垂直于 bd,交 bd的延长线于点e；求证： bd=2ce；证明：延长ba, ce交于点 f,

26、在 bef和 bec中, 1= 2, be=be, bef=bec=90°, bef bec, ef=ec,从而 cf=2ce；又 1+ f= 3+f=90°,故 1=3；在 abd和 acf中, 1= 3,ab=ac, bad=caf=90°, abd acf, bd=cf, bd=2ce；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载注：此例中be为等腰 bcf的底边 cf的中线；（六）中线延长口诀：三角形中有中线,延长中线等中线；题目中假如显现了三角形的中线,常延长加倍此线段, 再将端点连结,便可得到全等三角形；例一 ：如图 4-1 ： ad

27、为 abc的中线,且 1= 2, 3=4,求证： be+cf>ef；证明 ：廷长 ed至 m,使 dm=d,e 连接 cm, mf；在 bde和 cdm中,bd=cd（中点定义）a 1=5（对顶角相等）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ed=m（d 帮助线作法） bde cdm（sas）又 1= 2, 3= 4（已知） 1+ 2+ 3+ 4=180°（ 平角的定义 ） 3+ 2=90° 即： edf=90° fdm= edf=90°在 edf和 mdf中ed=md（帮助线作法） edf= fdm（已证） df=df（公共边） edf m

28、df（sas） ef=mf（全等三角形对应边相等） 在 cmf中, cf+cm>m（f三角形两边之和大于第三边） be+cf>ef上题也可加倍fd,证法同上；ef1 2 3 4cbdm图41精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中；例二 ：如图 5-1 ： ad为 abc的中线,求证：ab+ac>2a；d分析：要证ab+ac>2a,d 由图想到： ab+bd>ad、ac+cd>a,d所以有ab+ac+bd+cd>ad+ad=,2a左d边比要证结论多

29、bd+cd,故不能直接证出此题,而由2ad 想到要构造2ad,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载证明 ：延长 ad至 e,使 de=ad,连接 be, cea ad为 abc的中线（已知） bd=cd（中线定义）在 acd和 ebd中dbcbd=cd（已证）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 1=2（对顶角相等） ad=ed（帮助线作法） acd ebd（ sas） be=ca（全等三角形对应边相等）在 abe中有： ab+be>a（e 三角形两边之和大于第三边） ab+ac>2a；de图51精

30、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习：1 如图, ab=6,ac=8, d为 bc 的中点,求ad的取值范畴；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a68bdcadbmcdedbecdd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 如图, ab=cd, e 为 bc的中点, bac= bca,求证： ad=2ae；3 如图, ab=ac, ad=ae, m为 be中点, bac= dae=90°；求证： am dc；4,已知 abc,ad为 bc边上的中线,分别以ab边.ac边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图 5-2 ,求证ef=2aed；faaef精品

31、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bdc图52bdc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5已知：如图ad为 abc的中线, ae=ef,求证： bf=ac常见帮助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一” 的性质解题, 思维模式为全等变换中的“对折”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式为全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式为三角形全等变换中的“对折” ,所考学问点经常为角

32、平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式为全等变换中的“平移”或 “翻转折叠”5) 截长法与补短法, 详细做法为在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或为将某条线段延长, 为之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法, 适合于证明线段的和.差. 倍.分等类的题目特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的学问解答（一）.倍长中线（线段）造全等1：（“期望杯”试题）已知,如图abc中, ab=5,ac=3,就中线ad的取值范畴为 .a精品学习资料精选学习资料 - - -

33、欢迎下载aefbdcbdcbadec精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2：如图, abc中, e.f 分别在 ab.ac上, de df, d 为中点,试比较be+cf与 ef 的大小 .3：如图, abc中, bd=dc=a,c e 为 dc的中点,求证：ad平分 bae.中考应用（ 09崇文二模）以abc 的两边ab.ac 为腰分别向外作等腰rtabd 和等腰rtace ,badcae90 、 连接 de,m.n 分别为 bc.de的中点探究：am与 de的位置关系及数量关系（ 1）如图当abc 为直角三角形时,am与 de的位置关系为,线段 am与 de的数量关系为；（ 2）

34、将图中的等腰rtabd 绕点 a 沿逆时针方向旋转0<<90 后,如图所示, （ 1）问中得到的两个结论为否发生转变？并说明理由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a（二）.截长补短b1. 如图,abc 中, ab=2ac, ad平分bac ,且 ad=bd,求证： cd acqadapecbcdbc2：如图, ac bd, ea、eb 分别平分 cab、 dba, cd过点 e,求证 ;ab ac+bd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3：如图,已知在abc 内,bac060 ,c400 ,p, q分别在 bc, ca上,并且ap, bq分别

35、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为bac ,abc 的角平分线；求证：bq+aq=ab+bp4 ：如图,在四边形abcd 中, bc ba、ad cd, bd 平分abc ,求证：aaac180 0d12pdbcbc5: 如图在 abc中, abac, 1 2, p 为 ad上任意一点,求证;ab-ac pb-pc中考应用（ 08 海淀一模）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载例题讲解：一.利用转化倍角,构造等腰三角形当一个三角形中显现一个角为另一个角的2 倍时,我们就可以通过转化倍角查找到等腰三角形.如图中 ,如 abc2 c,假如作bd平分 abc,

36、就 dbc为等腰三角形；如图中 ,如 abc2 c,假如延长线cb到 d,使 bd ba,连结 ad,就 adc为等腰三角形；如图中 ,如 b2 acb,假如以 c 为角的顶点, ca为角的一边,在形外作acd acb,交 ba的延长线于点d,就 dbc为等腰三角形 .daaad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b cdbc bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.如图, abc中, ab ac, bd ac交 ac于 d. 求证： dbc 1bac.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2adbcbc2.如图, abc中, acb2 b, bc 2ac.

37、求证： a 90° .二.利用角平分线+平行线,构造等腰三角形当一个三角形中显现角平分线和平行线时,我们就可以查找到等腰三角形.如图中,如ad平分 bac, adec,就 ace为等腰三角形；如图中, ad平分 bac, de ac,就 ade为等腰三角形； 如图中, ad平分 bac, ce ab,就 ace为等腰三角形；如图中, ad平分 bac, ef ad,就 age为等腰三角形.eeaaaaegbdcbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.如图,b abc中d,abcac,b在 ac上取点dp,过c点 p 作 ef bc,交 ba的延长线于d点ef,垂足为点f

38、. 求证：. ae精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ap.e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.如图, abc 中, ad平分 bac, e.f 分别在 bd. ad上,且 de cd, ef ac.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： efab.e apbbcefaaaffdbdcecbc d图 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载三.利用角平分线+垂线,构造等腰三角形当一个三角形中显现角平分线和垂线时,我们就可以查找到等腰三角形. 如图 1 中,如 ad平分 bac,ad dc,就 aec为等腰三角形.5.如图 2,已

39、知等腰rt abc中, ab ac, bac90°, bf 平分 abc,cd bd交 bf的延长线于d；求证： bf 2cd.ad四：其他方法总结1截长补短法6.如图,已知：正方形abcd中, bac的平分线交bc于 e,求证： ab+be=ac2倍长中线法bec题中条件如有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内；7 .如图（ 7） ad为 abc的中线, be交 ac于 e,交 ad于 f,且 ae=ef精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证： ac=bfaefbdc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.已知 abc,ad为

40、bc边上的中线,分别以ab边. ac边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图、 求证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ef 2ad；3平行线法（或平移法）eafcdb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对rt 、 有时可作出斜边的中线9. abc中,bac=60°, c=40° ap平分 bac交 bc于 p,bq平分 abc交 ac于 q, 求证：ab+bp=bq+aqa说明： 此题也可以在ab 截取 ad=aq,连 od,qd构造全等三角形,即“截长补短a 法 ”oaqbcq精品学习资料精选学习资料 -

41、- - 欢迎下载po图（ 1）doe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 此题利用 “平行法” 解法也b较多,举p 例如下： cabc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图（ 1）,过 o作 od bc交 ac于 d,就 ado abo来解决qp图（ 2）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图（ 2）,过 o作 de bc交 ab于 d,交 ac于 e,就 ado aqo, abo aeo来解决obpc图（ 3）d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图（ 3）,过 p 作 pd bq交 ab的延长线于d,就 apd apc来解决aqodbpc图（

42、4）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载 如图（ 4）,过 p 作 pd bq交 ac于 d,就 abp adp来解决10.已知：如图,在abc中, a 的平分线ad交 bc于 d,且 ab=ad,作 cm ad交 ad的延长于m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求证：1am=2a（ ab+ac）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bd巩固练习mc1.（ 20xx年浙江省绍兴市）如图,d,e 分别为 abc 的 ac , bc 边的中点,将此三角形沿de 折叠,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载使点 c 落在 ab 边上的点 p 处如cde48°,就apd 等于（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 42°b 48°c 52°d 58°aabdcbdc2