(完整word版)2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版(2),推荐文档

1、2013 全国新课标卷 2理科数学 第 1页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. (2013 课标全国 U,理 1)已知集合 M= x|( x 1)2v4, x R , N= 1,0,1,2,3，则 MH N 二( ). A. 0,1,2 B . 1,0,1,2 C . 1,0,2,3 D . 0,1,2,3 2. (2013 课标全国U,理 2)设复数 z 满足(1 i) z = 2i，则 z =( ). A. 1 + i B

2、 . 1 I C . 1+ i D . 1 i 3 . (2013 课标全国U,理 3)等比数列an的前 n 项和为 S.已知 a?+ 10a1，as= 9,贝U a 二( ). 1111 3 C . 9 D . 9 4 . (2013 课标全国U,理 4)已知 m n 为异面直线，ml平面a, n 丄平面 丄 m l 丄n, I 芒 a , K- B,则( ). A.aB 且 l Ha B .a 丄B 且 l 丄B C.a与B相交，且交线垂直于 l D .a与B相交，且交线平 行于 l 5. (2013 课标全国U,理 5)已知(1 + ax)(1 + x)5的展开式中 x2的系数为 5,

3、则 a=( ). A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 6 . (2013 课标全国U,理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 N= 10,那么 输出的 S=( ). 1 1 1 1 + - -L A 2 3 10 ,1 1 , 1 L B. 2! 3! 10! ,1 1 , 1 1 + - L C 2 3 11 1 1 1 1 + L D . 23! 1 7 . (2013 课标全国U,理 7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投

4、 影面，则得到的正视图可以为( ).B .直线 l 满足 l A=ltS=0h7=l S=S+T k=k+l /输出S 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 2页 8. (2013 课标全国 n, 理 8)设 a= log 36, b= log 5I0, c= Iog7l4,则( ). A. cba B . bca C . acb D . abc x 1, x y 3, 若 z= 2x + y 的最小 y ax 3 . 10. (2013 课标全国 n,理 10)已知函数 f (x) = x3+ ax2 + bx+ c, A. x0 R, f(x0) = 0 B. 函数 y= f(x)的图像

5、是中心对称图形 C若 x0 是 f(x)的极小值点，贝 U f(x)在区间(一, x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点，贝 U f (x0) = 0 11. (2013 课标全国 n,理 11)设抛物线 C: y2 = 2px(p 0)的焦点为 F,点 M 在 C 上, | MFf = 5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( ). A. y2 = 4x 或 y2 = 8x B . y2 = 2x 或 y2 = 8x C. y2 = 4x 或 y2 = 16x D . y2 = 2x 或 y2 = 16x 12)已知点 A - 1,0) , B(1,0) ,

6、C(0,1)，直线 y= ax+ b(a 0)将 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。 第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. uuu uuu 13. (2013 课标全国n,理 13)已知正方形 ABCD 勺边长为 2, E 为 CD 的中点，贝U AE BD 14. (2013 课标全国n,理 14)从 n 个正整数 1,2，n 中任意取出两个不同的数，若 取出的两数之和等于 5 的概率为 丄，则 n= _ . 14 n 1 15. （2013 课标全国U,理9. (2013 课标全国n,理 9)已知 a 0

7、, x, y 满足约束条件 值为 1,则 a=( A. 4 B ). 2 C . 1 D . 2 ABC 分割为面积相等的两部分，b 的取值范围是( 2 1 A. (0,1) 2 2 32 F 列结论中错误的是( 12. (2013 课标全国n,理 本卷包括必考题和选考题两部分，第 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 3页 15）设B为第二象限角，若tan ,则 sin 9 + cos 9 4 2 16. （2013 课标全国U,理 16）等差数列an的前 n 项和为 S,已知 S = 0, $5= 25,则 nS的最小值为 _ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 1

8、7. （2013 课标全国U,理 17）（本小题满分 12 分） ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 a= bcos C+ csin B. （1）求 B; 若 b= 2,求厶 ABCS积的最大值.2013 全国新课标卷 2理科数学 第 4页 18. （2013 课标全国U,理 18） （本小题满分 12 分） 如图， 直三棱柱 是 AB, BB 的中点，AA=AO CB=二2 AB . 2 （1）证明：BG/平面 ACD 求二面角 D- AiC- E 的正弦值. 19. （2013 课标全国U,理 19）（本小题满分 12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季

9、度 内，每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X（单位：t,100 Xb0)右焦点的直线x y ,3 0交 M 于 A, B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的 b 斜率为-. 2 (1) 求 M 的方程； (2) C, D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 勺对角线 CDLAB,求四边形 ACB面积的最大值. 21. (2013 课标全国U,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) = ex ln(

10、x + m). (1)设 x = 0 是 f (x)的极值点，求 m,并讨论 f (x)的单调性； 当 m 0.2 x 2 a 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 6页 将 M 到坐标原点的距离 d 表示为a的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请 写清题号. 22. （2013 课标全国U,理 22）（本小题满分 10 分）选修 4 1:几何证明选讲 如图，ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D, E, F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且BC- AE= DC- AF，

11、B, E，F，C 四点共圆. 证明：CA ABC 外接圆的直径； 若 D 吐 BE= EA 求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与 ABC 外接圆面积的比值. 23. （2013 课标全国U,理 23）（本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程 x 2cos t 已知动点 P, Q 都在曲线C: . ，（t 为参数）上，对应参数分别为 t =a与 t = 2 a （0 V a V2n ） , M 为 PQ 的中点. （1）求 M 的轨迹的参数方程; 24. （2013 课标全国U,理 24）（本小题满分 10 分）选修 45:不等式选讲 设 a, b, c 均为正数，y 2sint

12、2013 全国新课标卷 2理科数学 第 7页 且 a+ b+ c = 1,证明： 1 (1) ab+ bc + ac 3 1.2013 全国新课标卷 2理科数学 第 8页 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第I卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 答案：A 2 解析：解不等式（X 1） 4,得一 1vxv3, 即卩 M= x| 1vxv3.而 N= 1,0,1,2,3, 所以 MA N= 0,1,2，故选 A. 2. 答A 解析： 2i 2i 1 i 2 2i z=

13、- 1 + i. 1 i 1 i 1 i 2 3. 答C 解设数列an的公比为q,若q- 1,则由a5 9,得a1- 9,此时S3 27,而a2 + 10a1 99, 不满足题意，因此 1. Tql 时，S3= a1(1_= a1 q+ 10a1， 1 q =q+ 10,整理得 q2= 9. a5= a1 q = 9， 即卩 81a1 = 9， a1 =-. 9 4. 答案：D 解析：因为ml a，l 丄 m，l a,所以 I /a .同理可得 I . 又因为 m n 为异面直线，所以a与B相交，且 I 平行于它们的交线.故选 D. 5. 答案：D 解析：因为(1 + x)5的二项展开式的通项

14、为 C；xr(0 r N,输 当 k = 2 时，T 当 k二 37 1 10! 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 10页 答案：A 解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O xyz 的图像为下图: 则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 8. ,故选 A. 答D 解析： 根据公式变形， a lg6 1 lg2， b gio 1 2 lg3 lg3 lg 5 lg5 lg 5 lg 3，所以 lg2 lg2 必，即 c v bv a. 故选 lg7 lg5 lg3 D. 9. 答案： B 解析： 由题意作:1, 所表示的区域如图阴影部 （分 x y 3 所示， 作直线 2x+ y=

15、1,因为直线 2x + y = 1 与直线 x = 1 的交点 c 3 2 1 . 2013 全国新课标卷 2理科数学第 11页 坐标为(1, -1)，结合题意知直线 10. 答案：C 解析： /X0是 f(x)的极小值点， 则 示，则在(s, Xo)上不单调，故 11. 答案：C 解析：设点M的坐标为(Xo, yo)， + = 5，则 Xo= 5 P . 2 2 又点 F 的坐标为,0， 所以以 MF 为直径的圆的方程为(Xxo) x - + (y yo)y = 0. 2 2 2 将 x = 0，y = 2 代入得 px+ 8 4y= 0，即卩生4y+ 8= 0，所以 y= 4. 2 由 y

16、。2 = 2px0，得 16 2p 5 p，解之得 p = 2，或 p = 8. 2 所以 C 的方程为 y2= 4x 或 y2= 16x.故选 C. 12. 答案：B 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。 第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 答案：2 解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系，如图所示， 则点A的坐标为(0,0)， 点 B的坐标为(2,0U商 点 D 的坐标为(0,2)uuU点店的坐标为(1,2)，则AE =

17、(1,2)，BD =(2,2)，所以 AE BD 2. 14. 答案：8 解析：从 1,2，n 中任取两个不同的数共有 Cn种取法，两数1 1 y= a(x 3)过点(1， 1)，代入得a -，所以a -. 3 2 1 . 2013 全国新课标卷 2理科数学第 12页 16.答案：492 之和为 5 的有(1,4)，(2,3)2 种，所以 1 14 2 即一 n n 1 2 4 一4，解得 n = 8. 15.答案：虫 5 解析：由ta n 4 1 tan 1 1 tan 2 将其代入 sin 2 9 + cos2 9 = 1，得 10 cos 9 得 tan 1 一，即 sin 3 1 co

18、s 9 . 因为9为第二象限角，所以 cos 9 = 3 10 10 ，sin 9 10 10 ， sin 、一0 5 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 13页 解析：设数列an的首项为 a1，公差为 d,则 So=10a+ 15 14 S5= 15c d = 15a1+ 105d = 25. 解：(1)由已知及正弦定理得 sin A= sin Bcos C+ sin Csin B. 又 A=n (B+ C)，故 sin A= sin( B+ C = sin Bcos C+ cos Bsin C. 由，和 C (0 ,n )得 sin B= cos B, 又 B (0 ,n )，所以 B

19、 n. 4 ABC 的面积 S - acsin B 2ac . 2 4 由已知及余弦定理得 4= a + c 2accos. 4 又 a2+ c22ac,故ac 4 ，当且仅当 a= c 时，等号成立. 2 V2 因此 ABC 面积的最大值为.2+1 . 18. 解：连结 AG 交 AC 于点 F,则 F 为 AG 中点. 又 D 是 AB 中点，连结 DF,贝 U BG/ DF 因为 DF?平面 ACD BG 平面 ACD 所以 BG/平面 ACD 2 由 AC= CB= AB 得，AC 丄 BC 2 以 G 为坐标原点，CA的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz.

20、 uuu uu LLIIT 设 G/= 2,则 D(1,1,0) ,E(0,2,1) ,A1(2,0,2) , CD = (1,1,0) , CE = (0,2,1) , CA = (2,0,2) 设门=(X1 , y1 , 10 9d = 10ai + 45d = 0, 2 联立，得 a1 = 所以S= 3n n(n 1) 令 f( n) = nSn, 则 f(n) 3 1 n 3 2 3， 1 2 n 3 10 (n) = 0, 10 n . 3 石 n2, f(n) 3 20 20 n. 3 3 20 20 20 一时，f (n) 0, 0n 时，f (n) v0,所以当 3 3 + ,

21、则 f(6) = 48, f=49,所以当 n = 7 时，f(n)取最小值49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 20 n 时，f (n)取最小值，而 n N 3 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 14页 z”是平面 ACD 的法向量，2013 全国新课标卷 2理科数学 第 15页 uuu 则n cur0，即xi yi ， n CA1 0, 2xi 2zi 0. 可取 n= (1 , - 1,- 1). 同理，设 m 是平面 AiCE 的法向量， uur m CE 0, 则 cur 可取 m= (2,1，- 2). m CA| 0, 从而 cos n, n

22、= 3 , |n|m| 3 故 sin n, m 6. 3 即二面角 D- AC- E 的正弦值为-6. 3 19. 解： 当 X 100,130)时，T= 500X- 300(130 X) = 800X- 39 000 , 当 X 130,150时，T= 500X 130= 65 000. 800X 39000,100 X 130, 所以 T 65000,130 X 150. 由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120 X 0. 所以 f(x)在(1,0)单调递减，在(0 ,+)单调递增. 当 me2, x ( m, +x)时，In( x + m) 0, 故 f(x) 0 在(一 2,+)有唯一实根 Xo,且 Xo ( 1,0). 当 x ( 2, Xo)时，f (x) V 0; 当 x (x,+x)时，f(x) 0,从而当 X X0时，f(x)取得最小值.4 、3 m 2 时，f (x) 0. x 2013 全国新课标卷 2理科数学 第 17页 1 x 1 故 f (x) f (x) + x 0. x 2 x 2 综上，当 m0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请 写清题号. 22. 解： 因为 CD*ABC 外接圆的切线, 所以/ DCz A,由题设知BC DC， FA EA 故厶