不定方程及整数解

1、智康教育www.ndluij Rcom好学者智，善思者康400-810-26805-2-4不定方程及整数解题库学生版page 8 of 6不定方程及整数解:1'h!-中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求例题精讲我们曾经学过一元一次方程，例如2x -5，解这个方程可得 x = 一4 .如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如x y =4就是一个二元一次方程.这个方程有无数多组解.比如xT， x = 4， x =6.5等.Jy =3y = 8Jy - -2.5这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）初中范围内通常

2、只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解.不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的 方法，求出全部整数解.（1）不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m（常数）不同余，显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解（2）不定方程的解法不定方程没有统一的解法，常用的特殊方法有：配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余 数分析法.对方程进行适当的变形，并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路 定理1 ：若二元一次不定方程 ax by二c，整数a和b的最大公约

3、数不能整除 c，则方程没有整数解.定理2:若整数a, b互质，则方程ax by =1有整数解，同时方程 ax，by二c也有整数解若x0, y0是方程 ax by =1的一个整数解，则 ex。， cy°是方程ax - by =c的一个整数解.定理3 :整系数方程ax by = a, b有整数解.定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容定理4:如果x二人是满足整系数方程 ax by =c的一组整数解，则x二人，bu （其中口为任意整数）也是ly=y°ly = y°au满足上式的整数解.这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在ab 0时，可选择x为正（负）数，此时 y为相应

4、的为负（正）数.这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明.x =4 5ky =1_4k由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解.f x 二 4 例如，方程4x，5y=21的一组解为，则此方程的所有整数解可表示为：）=1板块一 不定方程的整数解【例1】求方程11x15y =7的整数解.【巩固】求37x 107y =25的整数解.【巩固】求方程的整数解：72x - 157y =1 ;103x _90y =5 .9【例2】求7x 19213的所有正整数解.Jr 【巩固】求方程5x 3y =22的所有正整数解.J【巩固】求6x 22y =90的非负整数解.f

5、 X* f【例3】求2x 3y 734的整数解.【巩固】求9x - 24y _5z =1000的整数解.f *，【例4】5x 亠7y 亠9z =52求方程组的正整数解.、3x +5y +7z=36【例5】求不定方程2(x yxy 7的整数解.【例6】求方程x y =x -xy y2的整数解.【例7】 第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程ab 亠 be 二 44ac bc =23的正整数（a,b,c）的组数是（).(A) 0(B) 1(C) 2( D) 3(E) 4【例8】（第33届美国数学竞赛题）满足方程（A）0 （ B）1（C） 2（D）无限个x2亠y2 =x3的正整数对（x, y）的个

6、数是E）上述结论都不对【例9】 求不定方程 mn nr mr =2 m n r的正整数解 m, n, r的组数.【例10】求方程x2 4xy - 5y2 =169的整数解.【例11】（原民主德国1982年中学生竞赛题）已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2bc2.证明：这时有a : b 及 b 1 = c.> t I I “、板块二 证明不定方程无整数解【例12】下列不定方程(组)A. 3x 15y =02x -3y =4 C.y 2z=3中，没有整数解的是（D.x 2y 3z =12xy 2z =3B. 9x - 11y =1【例13】证明方程2x2 _5y2 =7无整数解.【例14

7、】（第14届美国数学邀请赛题）不存在整数x,y使方程x23xy_2y2=122成立。【例15】求证：方程xx yy =zz uu没有各不相同的正整数解.板块三不定方程的应用【例16】某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分贷款，有多少种不同的方法?【例17】大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾经提出并解决了百钱买百鸡”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？【例18】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分.小明共套10次, 每次

8、都套中了，每个小玩具都至少被套中一次.小明套10次共得61分，问：小鸡至少被套中几次？【例19】把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，那么，共有 只猴子，共有 颗花生.【例20】今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为 60克、60克、47克.现要配制成浓度为7% 的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【例21】甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍;如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍问甲库原来最少存粮多少袋？【例22】有一种体育竞赛

9、共含 M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得pi、 P2、P3分，其中Pi、P2、P3为正整数且Pl> P2> P3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米 赛中取得第一求 M的值，并问在跳高中谁取得第二名？【例23】有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共10张，购买一把价值为18元的雨伞，不同的付款方式共有（）A. 1种B. 2种C.3种D.4种【例24】旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天 30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了 20间客房，问三种 客房各住几间？怎样消费最低？【例25】把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，那么，共有 只猴子，共有 颗花生.【例26】试证明存在自然数a，使得21a的后三位数字是241 .【例27】某自然数与13的和是5的倍数，并且与13的差是6的倍数，求这样的自然数中最小的3个.