2022年2022年勾股定理知识点总结、经典例题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点学问点及例题学问点一：勾股定理假如直角三角形的两直角边长分别为：a, b,斜边长为c,那么 a2 b2c2即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方要点诠释：（ 1）勾股定理揭示的为直角三角形平方关系的定理；（ 2）勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角；（ 3）懂得勾股定理的一些变式：c2=a2+b 2、 a2=c 2-b2, b2=c2 -a2 ,c2=a+b 2-2ab学问点二：用面积证明勾股定理方法一： 将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形；图（ 1）中,所以；方法二： 将四个全等的直角三角形拼成如图

2、（2）所示的正方形；图（ 2）中,所以；方法三： 将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3） 1 和（ 3） 2 所示的两个外形相同的正方形；在（ 3） 1 中,甲的面积=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）、在（ 3） 2 中,乙和丙的面积和=（大正方形面积）（4 个直角三角形面积）、所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.方法四： 如图（ 4）所示,将两个直角三角形拼成直角梯形；,所以；学问点三：勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边；2已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点3用于证明平方关系的问题；4利用勾股定理

3、,作出长为的线段；2. 在懂得的基础上熟识以下勾股数满意不定方程x2+y 2=z 2 的三个正整数, 称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）,明显, 以 x、y、z 为三边长的三角形肯定为直角三角形；熟识以下勾股数,对解题为会有帮忙的：3. 4.5 5.12.13； 8.15. 17； 7.24.25； 10.24.26； 9.40.41 假如 a、b、c为勾股数,当t>0 时,以 at、bt、ct 为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形；经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1 . 在 rt abc 中 , c=90 ° 1已知 a=6, c=10,求 b,2 已知 a=

4、40,b=9 ,求 c；3 已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨 : 写解的过程中,肯定要先写上在哪个直角三角形中,留意勾股定理的变形使用；解析： 1 在 abc 中, c=90 °, a=6, c=10、b=2 在 abc 中, c=90 °, a=40, b=9、c=3 在 abc 中, c=90 °, c=25, b=15、a=总结升华： 有一些题目的图形较复杂,但中心思想仍为化为直角三角形来解决；如：不规章图形的面积,可转化为特别图形求解,此题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和；举一反三【变式】 :如图 b= a

5、cd =90 °、 ad =13、 cd =12、 bc=3、 就 ab 的长为多少 .【答案】 acd =90°ad = 13、 cd=12ac 2 =ad 2 cd 2=13 2 122=25ac =5又 abc=90 °且 bc =3由勾股定理可得ab 2= ac 2bc 2=52 32=16ab = 4ab 的长为 4.类型二：勾股定理的构造应用2.如图,已知：在中,. 求： bc 的长 .思路点拨 ：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于 d ,就有,再由勾股定理运算出ad .dc 的长,进而求出bc 的长 .解析 ：作于 d,就因,（的两个锐角互余

6、）（在中,假如一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.依据勾股定理,在中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点.依据勾股定理,在中,.总结升华 ：利用勾股定理运算线段的长,为勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也常常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三 【变式 1】如图,已知：,于 p.求证：.思路点拨 : 图中已有两个直角三角形,但为仍没有以bp 为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以bp 为一边的直角三角形. 所以连结bm . 这样,实际上就得到了4 个直角三角形 . 那么依据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解

7、析 ：连结 bm ,依据勾股定理,在中,.而在中,就依据勾股定理有.又（已知）,.在中,依据勾股定理有,.【变式 2】已知：如图,b= d=90 °, a=60 °, ab=4 , cd=2 ；求：四边形abcd 的面积；分析 ：如何构造直角三角形为解此题的关键,可以连结ac ,或延长ab .dc 交于 f,或延长ad . bc 交于点 e,依据此题给定的角应选后两种,进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁；解析 ：延长 ad . bc 交于 e； a= 60°, b=90 °, e=30°； ae=2ab=8 , ce=2cd=4 , be

8、2=ae 2-ab 2=82 -42=48 ,be=； de 2= ce 2-cd 2=42-22=12 , de=； s 四边形 abcd =sabe -scde =ab · be-cd · de=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3.如下列图,在一次夏令营活动中,小明从营地a 点动身,沿北偏东60°方向走了到达 b 点,然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地c 点；（1）求 a .c 两点之间的距离；（2）确定目的地c 在营地 a 的什么方向；思路点

9、拨： 把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解；解析 ：（ 1）过 b 点作 be/ad dab= abe=60 ° 30°+ cba+ abe=180 ° cba=90 °即 abc 为直角三角形由已知可得：bc=500m , ab=由勾股定理可得：所以（ 2）在 rt abc 中, bc=500m , ac=1000m cab=30 ° dab=60 ° dac=30 °即点 c 在点 a 的北偏东30°的方向总结升华 ：此题为一道实际问题,从已知条件动身判定出abc为直角三角形为解决问题的关键；

10、此题涉及平行线的性质和勾股定理等学问；举一反三【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门外形如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.【答案】由于厂门宽度为否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度为否小于ch 如下列图,点d在离厂门中线0.8 米处,且cd ,与地面交于h 解： oc 1 米大门宽度一半,od 0.8 米（卡车宽度一半） 在 rt ocd 中,由勾股定理得：cd .米, c . . .（米）.（米）因此高度上有0.4 米的余量,所以卡车能通过厂门精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（二）用勾股定理求最短问题名师总结优秀学问

11、点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄a .b .c.d,且正好位于一个正方形的四个顶点,现方案在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分请你帮忙运算一下,哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答此题的思路为：最省电线就为线路长最短,通过利用勾股定理运算线路长,然后进行比较,得出结论解析 ：设正方形的边长为1,就图（ 1）.图（ 2）中的总线路长分别为 ab+bc+cd 3, ab+bc+cd 3图（ 3）中,在rt abc 中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中,延

12、长ef 交 bc 于 h,就 fh bc , bh ch由 fbh 及勾股定理得：ea edfb fc ef 1 2fh 1此图中总线路的长为4ea+ef 32.828>2.732图（ 4）的连接线路最短,即图（4）的架设方案最省电线总结升华： 在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学学问进行运算,比较从中选出最优设计此题利用勾股定理.等腰三角形的判定.全等三角形的性质举一反三【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高为4cm,为上底面的直径一只蚂蚁从点a 动身,沿着圆柱的侧面爬行到点c,试求出爬行的最短路程解：如图,在 rt中,底面周长的一半cm,依据勾股定理

13、得（提问：勾股定理） ac （cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载类型四：利用勾股定理作长为的线段名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.作长为.的线段；思路点拨： 由勾股定理得,直角边为1 的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和 1 的直角三角形斜边长就为,类似地可作；作法 ：如下列图（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角acb ,使 ab 为斜边；（2）以 ab 为一条直角边,作另始终角边为1 的直角；斜边为；（3）顺次这样做下去,最终做到直角三角形,这样斜边.的长度就为.；总结升华：（ 1）以上作法依据勾股

14、定理均可证明为正确的；（ 2）取单位长时可自定；一般习惯用国际标准的单位,如 1cm.1m 等,我们作图时只要取定一个长为单位即可；举一反三【变式】在数轴上表示的点；解析： 可以把看作为直角三角形的斜边,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而 10 又为 9 和 1 这两个完全平方数的和,得另外两边分别为3 和 1；作法 ：如下列图在数轴上找到a 点,使 oa=3 ,作 ac oa 且截取 ac=1 ,以 oc 为半径,以 o 为圆心做弧,弧与数轴的交点b 即为；类型五：逆命题与勾股定理逆定理6.写出以下原命题的逆命题并判定为否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命

15、题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 把握原命题与逆命题的关系；解析： 1. 逆命题：有四只脚的为猫（不正确）2. 逆命题：相等的角为对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上（正确）总结升华： 此题为为了学习勾股定理的逆命题做预备；7.假如 abc 的三边分别为a.b.c,且满意a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,判定 abc 的外形；思路点拨 ：要判定 abc 的外形,需要找到a.b.c 的关系,

16、而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,故只有从该条件入手,解决问题；解析 ：由 a2+b 2+c2+50=6a+8b+10c ,得：a2-6a+9+b 2-8b+16+c 2-10c+25=0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a-32+b-42+c-52=0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a-32 0、 b-4 2 0、 c-5 2 0； a=3, b=4 ,c=5； 32+42=52、=c a2+b22；由勾股定理的逆定理,得 abc 为直角三角形；总结升华 ：勾股定理的逆定理为通过数量关系来讨论图形的位置关系的、在证明中也常要用到；

17、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点举一反三 【变式 1】四边形abcd 中, b=90 °, ab=3 , bc=4 ,cd=12 , ad=13 ,求四边形abcd 的面积；【答案】：连结 ac b=90 °, ab=3 , bc=4 ac 2=ab 2+bc 2=25 （勾股定理） ac=5 ac 2+cd 2=169 ,ad 2=169 ac 2+cd 2=ad 2 acd=90 °（勾股定理逆定理）【变式 2】已知 : abc 的三边分别为m2 n2、2mn、m 2+n2m、n 为正整数 、且 m n、判定 abc 为否为直角

18、三角形.分析 :此题为利用勾股定理的的逆定理,只要证明 :a2+b2=c2 即可证明：所以 abc 为直角三角形 .【变式 3】如图正方形abcd , e 为 bc 中点, f 为 ab 上一点,且bf=ab ；请问 fe 与 de 为否垂直 .请说明；【答案】答： de ef；证明：设 bf=a ,就 be=ec=2a、 af=3a , ab=4a、 ef2=bf 2+be 2 =a2+4a2=5a2； de 2=ce 2+cd 2=4a2+16a2=20a2；连接 df（如图）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载df2=af2+ad2=9a2+16a22；=25a精品学习资料精选

19、学习资料 - - - 欢迎下载 df2 =ef2+de 2 、 fe de ；经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1.如直角三角形两直角边的比为3： 4,斜边长为20,求此直角三角形的面积；思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积；解析： 设此直角三角形两直角边分别为3x, 4x,依据题意得：（ 3x） 2+（ 4x） 2202化简得 x 2 16；直角三角形的面积× 3x×4x 6x2 96总结升华： 直角三角形边的有关运算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程（

20、组）求解；举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2,求它的面积；【答案 】如图,等边abc ,作 ad bc 于 d就： bd bc（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）ab ac bc 2（等边三角形各边都相等）bd 1在直角三角形abd 中, ab 2 ad 2+bd 2,即： ad 2 ab 2 bd 2 41 3ad s abc bc· ad 注：等边三角形面积公式：如等边三角形边长为a,就其面积为a；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点【变式 2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积；【答案 】设此直角三角形两直角

21、边长分别为x, y,依据题意得：由（ 1）得： x+y 7,（x+y ） 2 49, x 2+2xy+y 249 3 3 2,得： xy 12直角三角形的面积为xy × 12 6（cm2）【变式 3】如直角三角形的三边长分别为n+1 , n+2, n+3 ,求 n；思路点拨： 第一要确定斜边（最长的边）长n+3 ,然后利用勾股定理列方程求解；解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：（ n+1 ）2+（ n+2 ） 2（ n+3 ） 2化简得： n2 4 n± 2,但当 n 2 时, n+1 1<0 , n 2总结升华： 留意直角三角形中两“直角边”的平方和等

22、于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条为直角边哪条为斜边的情形下,第一要先确定斜边,直角边；【变式 4】以以下各组数为边长,能组成直角三角形的为（）a .8,15, 17b.4, 5, 6c.5, 8, 10d.8, 39, 40解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定,对数据较大的可以用c2 a2+b2 的变形： b2c 2 a2（ c a）（ c+a）来判定；例如：对于挑选d , 82（ 40+39）×（ 4039）,以 8, 39,40 为边长不能组成直角三角形；同理可以判定其它选项；【答案】： a【变式 5】四边形abcd 中, b=90 °, ab=3 , b

23、c=4 ,cd=12 , ad=13 ,求四边形abcd 的面积；解：连结 ac b=90 °, ab=3 , bc=4 ac 2=ab 2+bc 2=25 （勾股定理） ac=5 ac 2+cd 2=169, ad 2=169 ac 2+cd 2=ad 2 acd=90 °（勾股定理逆定理） s 四边形 abcd =s abc +s acd =ab · bc+ac · cd=36类型二：勾股定理的应用2.如图,大路mn 和大路 pq 在点 p 处交汇,且qpn 30°,点 a 处有一所中学,ap 160m；假设拖拉机行驶时,四周100m 以内

24、会受到噪音的影响,那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时,学校为否会受到噪声影响？请 说明理由,假如受影响,已知拖拉机的速度为18km/h ,那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（ 1）要判定拖拉机的噪音为否影响学校a ,实质上为看a 到大路的距离为否小于100m、小于 100m 就受影响,大于100m 就不受影响,故作垂线段ab 并运算其长度； （2）要求出学校受影响的时间,实质为要求拖拉机对学校 a 的影响所行驶的路程；因此必需找到拖拉机行至哪一点开头影响学校,行至哪一点后终止影响学校；解析 ：作 ab mn ,垂足为b；在 rt abp 中, abp 90°, apb

25、 30°,ap 160, ab ap 80； （在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）点a 到直线 mn 的距离小于100m、这所中学会受到噪声的影响；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点如图,假设拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶到点c 处学校开头受到影响,那么ac 100m ,由勾股定理得：bc2 1002-802 3600、 bc 60；同理,拖拉机行驶到点d 处学校开头脱离影响,那么,ad 100m , bd 60m、 cd 120m ；拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/s t 120m÷ 5m/s 24

26、s；答：拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24 秒；总结升华 :勾股定理为求线段的长度的很重要的方法、如图形缺少直角条件、就可以通过作帮助垂线的方法、构造直角三角形以便利用勾股定理；举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了躲开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条 “路”；他们仅仅少走了 步路（假设2 步为 1m）,却踩伤了花草；解析：他们原先走的路为3+4 7m设走“捷径”的路长为xm,就故少走的路长为7 5 2m又由于 2 步为 1m,所以他们仅仅少走了4 步路；【答案】 4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,

27、它的每一个小三角形都为边长为1 的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形；（1）直接写出单位正三角形的高与面积；（2）图中的平行四边形abcd含有多少个单位正三角形？平行四边形abcd的面积为多少？（3）求出图中线段ac 的长（可作帮助线） ；【答案】（ 1）单位正三角形的高为,面积为；（2）如图可直接得出平行四边形abcd含有 24 个单位正三角形,因此其面积；（3）过 a 作 ak bc 于点 k （如下列图） ,就在 rtack 中,故类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决3.如下列图,abc为