2022年2022年勾股定理典型解题技巧及练习

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载专题复习一勾股定理常见勾股数如下：3、4、56、8、109、12、1512、16、2015、20、253.常见平方数：5、12、137、24、259、40、4110、24、268、15、17精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载112121 ；1221 4 4；1 321 6 9；142196 ；152225 ； 162256精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载17 2289 ；18 2324 ；19 23 6 1；2024 0 0； 212441；222484精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2223529 ；2

2、425 7 6；2526 2 5；2626 7 6； 27729精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.已知斜边和一条直角边求另一条直角边由 a 2 +b 2 =c 2 可得a 2 = c 2 - b 2 =c+b c-b（平方差公式）例如,已知c=61、 b=60、就222a= c- b= 61+60 61-60 =121、就 a=11已 知 c=41、 b=40、 就a 2 = c 2 - b 2 = 41+40 41-40 =81、就 a=9已 知 c=17、 b=8、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2a= c22- b= 17+8 17-8 =25 x 9=

3、52 x 32= 5 x 3 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 a = 5 x 3 =155.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；a如图, cd 为斜边 ab 的中线,过d 作 d eac于 e、dfbc于 f在 rt ade和 rtdbf 中,eddae=bdf 、ad=dbade=dbfrt ade rt dbf ea=fd、有因 cedf 为矩形,fd=ce=ea=1/2 cacb rt ade rt cde cd=ad=db=1/2 ab6.直角三角形30°角的对边等于斜边的一半f7.三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8.任意三角形三个内角的角平分线相交

4、于一点；该点称三角形的内心（内切圆圆心）；9.任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点；该点称三角形的垂心10.任意三角形三个边上的中线相交于一点；该点称三角形的重心；11.任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点；该点称三角形的外心（外接圆圆心）；12.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,a-b c a+b13.三角形面积运算公式：s= 1 底边长 x高214 .垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等；15 .点 a 沿某一条线段（ef）折叠至点b,折线 ef；就折线ef垂直平分线段ab；16.直角三角形.锐角三角形.钝角三角形判定：

5、依据勾股定理a 2 +b 2 =c 2 可判定 c 边的对角c 为否为直角；如 a 2 +b 2 >c 2 , 就 c 为锐角；如 a 2 +b 2 =c 2就 c 为直角；如 a 2 +b 2 <c 2 ,就 c 为钝角；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载专题归类：专题一.勾股定理与面积在 rtabc 中,c=90 、 a.b 为直角边, c 为斜边； h 为斜边上的高；就 rtabc 的面积：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s= 12abs= 12h*c（公式）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

6、- - 欢迎下载1) 已知任意两边长,求面积： 已知 a.b、 就 s=1/2 ab已知 a.c、 依据b2=c2-a2 ,开平方根得b值,利用s=1ab 求解2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 1： 在 rt abc 中,c= 90 、 a=3、 斜边 c=5,就 rtabc 的面积 s=；rtabc、 a=3、 c=5、 就 b=4、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11s=ab=22x 3 x 4=6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又如, 三条边分别为5、12、13 的三角形的面积为； 52+122 =25+144=169=132 该三角形为直

7、角三角形,且5、12 为直角边精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11s=ab=22x 5 x12=30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2) 已知周长（ a+b+c）和斜边长c ,或已知（ a+b ）及 c,求面积 :在 rt abc 中, a+b2=a2+b2+2ab、 c2 =a2+b2 a+b2-c2 =2ab因此 s= 1 ab= 1 a+b2-c2=1 a+b+c a+b-c244精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即s=1a+b+c a+b-c41x 周长 x 周长-2c（公式）4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 2.始终角三角形

8、周长为12 米,斜边长为 5 米,就这个三角形的面积为：；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 s=1 a+b+c a+b-c= 144x 12 x 12-5-5=6 m2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 已知直角三角形的周长为2+ 6 ,斜边长 2,求它的面积；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s= 1 a+b+c a+b-c =41 2+6 x 2+6 -2-2=41 2+6 x 6 -2=41 x 6 2-2 2 =41 x 2=142精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 已知直角三角形的斜边中

9、线为,面积为,求它的周长；rt abc中线为 5, 就斜边长 c 为 10、由 a+b 2 =a2 +b2+2ab、 c2=a2 +b2得 a+b 2= c 2+2ab=100（+=14 a+b+c=24 已知直角三角形的周长为,面积为,求它的斜边长；2x2 x24）=196 a+b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s= 1 x 周长 x 周长 -2c 42 =41 x 56 x 56-2c 56-2c=3 2c=53、 c=53/24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载3) 已知 a.b,c,（或已知a.b,依据勾股定理求出c）,求高h.依据 rtabc

10、 面积运算公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s= 12ab以及 s= 12abh*c得ab= hc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 h =c例题 3.在 rt abc中,c90,bc=8、 ab=10、 cd 为斜边的高,求cd的长？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c90, ab 为斜边,且 bc=8、 ab=10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 直角边 ac=6abac * bc6 x 8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载h =cab=4.810精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习： cd为直角三角形abc斜

11、边 ab上的高,如ab=1,ac：bc=4：1,就 cd的长为（）； ab 为斜边,设ac=4x、 bc=x、就 4x2 +x2=117x2=1、x2 =1/17精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab在 rt abc 中, 斜边 ab 上的高 cd=cacx bc ab= 4x2=4/17精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4) 直线上摆正方形问题直线 l 上有三个正方形s1.s2.s3,如已知 s1 和 s3 的面积,就 s2 的面积为s2s3s1证明：在 rt abc 和 rtcde 中ab c90,bacbca90,cde90,dcedec90bcadceace =

12、180°精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正方形 s2 中,ace90 ,ac=ce精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bcadce =90°而dcedec90bca =dec又abc =cde =90°ac=cert abc rt cde bc=des2=ac 2=ab 2+bc2 =ab 2+de2而 s1=ab 2, s3=de2s2= s1+ s3例题 4.在直线 l 上依次摆放着七个正方形 如下列图 ；已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.2. 3,正放置的四个正方形的面积依次为s1.s2. s3.s4,就 s1 s2 s3 s4

13、等于；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: s1+ s2=1、s3+ s4=332s1ss3s42精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s1+ s2+ s3+ s4= 1+3 = 41l精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.有一块土地势状如图3 所示,bd90,ab=20 米, bc=15 米, cd=7 米,请计精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载算这块土地的面积；（添加帮助线构造直角三角形）adbc图 39.如右图：在四边形abcd 中, ab=2 ,cd=1 , a=60 °

14、;, b= d =90 °求四边形abcd 的面积；ad证明：延长 ad 和 bc 相交与点e a=6 0° 、b=90 °c e=30° ab=2ae=4、be 2=ae 2-ab 2=12bbe= 23 ,同理可知de=3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sabe= 12x ab x be= 12x 2 x23 = 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载scde=1x cd x de=21x 1 x32= 13ad2e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就四边形 abcd的面积为s abe- scde= 33c2b1

15、0.如图 2-3 ,把矩形abcd沿直线 bd向上折叠,使点c 落在 c的位置上,已知ab=.4,bc=8,求：重合部分 ebd的面积c 'bd =cbd =adbbe=de22222ae +ab=be=de=ad-ae22222ae +4 =8-ae=8 +ae-16ae精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载16ae=64-16=48 ae=3s ebd=sabd-s1x 32-abe=21 x 3 x 4=102精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载11.如图,分别以直角三角形abc 三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用s1.s2.s3 表示,就不

16、难证明s1=s2+s3 .(1) 如图,分别以直角三角形abc 三边为边向外作三个正方形,其面积分别用s1.s2.s3 表示,那么 s1.s2.s3 之间有什么关系？不必证明 (2) 如图,分别以直角三角形abc 三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用s1 .s2.s3 表示,请你确定s1. s2.s3 之间的关系并加以证明；(3) 如分别以直角三角形abc 三边为边向外作三个正多边形,其面积分别用s1.s2. s3 表示,请你猜想 s1.s2.s3 之间的关系 .专题二.勾股定理与折叠点 a 沿某一条线段（ef）折叠至点b,折线 ef；就折线ef 垂直平分线段ab1.有一个直角三角形纸片,

17、两直角边的长ac=6cm、bc=8cm、 现将直角边ac 沿 ad 对折,使它落在斜边ab 上,且与ae 重合,求 cd 的长？解 ： 设 ce=x , 就 ae=8-x,bde为 ade 翻 折 而 成 ,cae=be=8-x,d在222rt bce中 , be=bc+ce, 即 （ 8-x）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 =62 +x2 , 解 得 x=1.75,a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ce=1.75be图 52.有一个直角三角形纸片,两直角边的长ac=8 ,bc=6、 现将顶点 a 折叠至点 b,折线为 de ,求 ce 的长？解：de 为折线,

18、就 de 垂直平分线段 ab ,因此 ae=be be2=ec2+bc2ac-ce 2 =ec2+bc28-ce2=62+ce264-16ce+ ce2=62+ce216ce=64-36=28ce= 28 = 7164adecb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载3.如图 4,矩形纸片abcd 的边 ab=10cm、bc=6cm , e 为 bc 上一点,将矩形纸片沿ae 折叠,点 b 恰好落在 dc 边上的点 g 处,求 be 的长；dgceab图 44.如图,长方形abcd 中, ab=3cm bc=4cm ,将此长方形折叠,使点c 与点 d 重合,折痕为ef ,

19、求 ae .ef 的长设 ae=x、 ef 为折线, ef 为 ac 的垂直平分线,就ce=ae=xd1be=bc-ce=4-xab 2=ae 2-be2= x 2-4-x 2=8x-16=9 x=25/8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ef ac eo eo= 158 ef=2x 15 = 15= 25x9afd22225=ae -ao =25 -2=25x25 -16826464o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载84cbe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.如图 6,在矩形纸片abcd 中, ab= 33 ,bc=6、 沿 ef 折叠后,点c 落在

20、 ab 边上的点 p 处,点 d 落在 q 点处,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ad 与 pq 相交于点 h ,bpe= 30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）求 be.qf 的长（2）求四边形qpef 的面积；qa hfd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pbec图 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载7.已知,如图,长方形abcd中, ab=3cmad=9cm,将此长方形折叠,使点b 与点 d 重合,折痕为ef,就 abe的面积为d专题三.利用股沟定理列方程求线段的长度1.如图 7,铁路上a.b 两站相距25 千米,

21、 c.d 为两村庄, daab 于 a 点, cbab 于点 b, da=15 千米, cb=10 千米,现在要在铁路上建设一个土特产收购站e,使得 c.d 两村庄到收购站 的距离相等,就收购站e 应建在距离a 站多远的距离？aebcd图 72.一架长为 5 米的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯子的底端 b 距离底 c 为 3 米,假如梯子的顶端 a 沿墙下滑 1 米到 d 处,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动 1 米到 e 处吗？请给出证明；adcbe3. abc 中, ab=ac=20 , bc=32 , ad15 、d 为 bc 上一点,且ad ac ,求 bd 的长精品学习资料

22、精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载专题四.勾股数的应用1.以下为勾股数的一组为（）a4、5、6、b5、7、12c12、13、15d14 、48、502.一个直角三角形的三边长为不大于10 的三个连续偶数,就它的周长为；3.以下为勾股数的一组为（）a2、3、4、b5、6、7、c9、40、41d1024254.观看下面表格中所给出的三个数a、b、c,其中 a、b、c 为正整数,且a<b<c（ 1）：试找给他们的共同点,并证明你的结论（ 2）：当 a=21 时,求 b、c 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c=b+1、 b+c=a 2、3、4、53 2 +

23、4 2 =5 25、12、135 2 +12 2 =13 27、24、257 2 +24 2 =25 29、40、419 2 +40 2 =41 2222.21、b、c21+b=c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载专题五.勾股定理及逆定理有关的几何证明1. 在四边形abcd 中,c 为直角, ab=13、bc=3、cd=4、ad=12证明： adbddcab22.cd 为abc 中 ab 边上的高,且cd=addb ,试说明acb= 90cadb3.在正方形abcd 中, e 为 bc 的中点, f 为 cd 上一点1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 cf=cd 试

24、说明 aef 为直角三角形；4a dfb ec精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载4. abc 三边的长为a、b、 c,依据以下条件判定abc 的外形222（ 1）： a+b+c+200=12a+16b+20c ；（ 2）： a 3 -a 2 b+ab 2 -ac 2 +bc 2 -b 3 =0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载25.试判定,三边长分别为2n +2n , 2n+1 , 2n2+2n+1（n 为正整数） .的三角形为否为直角三角形？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.如图 2-12 , abc中, c=90°, m为

25、bc的中点, md ab于 d求： ad2-bd 27. 在abc中, bc=a、ac=b、ab=c、 如c= 90 ,如下图 1依据勾股定理可以得出： a 2 +b 2 =c2、如abc不为直角三角形,如图2与图3,请你类比勾股定理猜想a 2 +b2 与c2的关系,并且证明你的结论；abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c babca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载图1图2图3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.如图abc 中,bac90 、 abac 、 p

26、 为 bc 上任意一点,求证：bp 2cp 22 ap 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abpc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载专题六.勾股定理与旋转1.在等腰rt abc 中,cab= 90 , p 为三角形内一点,且pa=1、pb=3、pc=7求：cpa 的大小？cpab2. 如图,在等腰 abc 中, acb=90 °, d.e 为斜边 ab 上的点, 且 dce=45°；求证： de 2=ad 2+be2；cbade3.如下列图, abc 为等腰直角三角形, ab=ac ,d 为斜边 bc 的中点, e.f 分别为ab.ac 边上的点,且 de df ,如 be=12, cf=5求线段 ef 的长；4.已知,如图 abc 中,acb=90°,ac=bc ,p 为 abc 内一点, 且 pa=3,pb=1 ,pc=2 ,求 bpc ；cpab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载细心整理欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.如图, 在abc 中,b900 ,m 为 ab 上一点, am=bc ,n 为 ab 上一点, cn=bm ,连接 an .精品学习资料精选学习资料