§3怎样运用动量原理解题

1、§3怎样运用动量原理解题动量原理表示式为:4 ifdt = mv2 -mvl当尸为恒力或变力的平均值时,faz = mv2 一 mv.其分量式为：fxat=mv2x-mvlxmvly一、 动量原理可以解决什么样的习题？动量原理表示力对时间和累积作用，因此涉及了力作用了一段时间z后，运动状态发生 了变化的动力学习题，就可以用它来解。动量原理实为牛顿第二定律的积分形式，即它可从牛顿运动定律积分而得。因此在古典 力学范畴里，凡是能用动量原理解的题，原则上都可应用牛顿运动定律来解决，但是动量原 理是涉及运动物体始末两个状态物动量的矢量差，因此无无原则考虑物体的运动过程中受力 悄况的细节，从而

2、使得问题的求解大为简化。这就是应川动量原理來解决某些力学问题的优 越性。二、应用天皇昌的注意事项1、冲量的方向动量原理告诉我们：动量增量的方程是由冲量决定的，而冲量的方程又决定于力的方向。 一个方向不变的力的方向，其方程显然就是这个力的方向。那么一般变力在/时间内的冲 最，其方向是否就是某一时刻的力的方程呢？ 一般是不一致的。必须明确，动最的增最（而 不是动量）的方向是和冲量的方向始终一致的。因此 如果知道始末状态的动量，即可用欠 量运算法则求出动量增量的方向，从而也就确定了冲量的方向。如果已知变力的分量，用积 分法计算出各冲量的方向，从而求得冲量的方向。2、动量原理代数式中的符号动最原理的矢

3、最式可写为代数式：fxdt = mv2x-mvxfydt = mvly-mvxyf.dt = mv2_ -mvx.当物体所受的外力和初动、末动量都在同一岂线上，动量原理的矢量式就退化为代数 式：fa/ = mv2 -m应用代数式解题吋，必须注意各量的符号，一定先要确定一个处标的方向，然后把所有 与坐标同方向的以正值代入公式，所有与坐标正方向反向的以负值代入公式；对方向不能确 定的不町知量，町先假定它与坐标止方向同向，即取正值代入，如计算结果为止，说明假设 正确，否则表明与坐标反向。还应记住：动量的增量是末状态的动量与始状态的动量的差，而不是倒过來。3、在动量原理的表达式中，各物体的速度必须相对

4、于同一惯性参考系，如呆所给条件中 各物体的速度不是相对于惯性参考系或是不是相对于同一惯性参考系的话，则必须用经典速 度合成法则变为对同一惯性参考系的速度。具次，在讲到两物体的相对速度时，必须指一个 物体的速度相对于另一个物体在同一时刻的速度。不可谋认为是相对于另一物体在另一时刻 的速度。同时性问题对两个匀速运动的物体來说，当然没有什么重要，但对速度有剧变的问 题，例如开炮问题、碰撞问题、抛物问题、火箭问题等等来说，都很重要。每当碰到相对速 度，就应联想到同时性，不门j忽略。3、当问题涉及到地球时，还应注意几点：有人问，落体竖肓碰到地面或障碍物时，落体木身的重力是否要考虑？应用动量原理解题时，一

5、般把地球从所考察的系统中分出來，即把重力作为外力。这在 系统的受力分析时不能遗漏的。但在落体着地速度较大、碰撞吋间很短的情况下，重力相对 于冲击力的比值很小，因此可将重力的作用忽略不计，阳不致影响答案的椿确度。否则，仍 无原则考虑重力的影响。有人还问：如果把地球列入所考察的系统之内，即把重力作为内力，这时因为地球的质 量极人。落体与z碰撞时，地球的速度变化其小，可把地球的动量变化略去不计。对吗？回答是否定的。让我们看一个例子：一个球落到地而时的速度为,与地作完全弹性碰撞后向上回跳的速度应为-,碰撞时对地球和地球组成的系统可应用动量守恒定律：设球的质量为m,地球的质量为m,碰后地球因此而产生的速

6、度是,则:加匕 + m x 0 = -mv + mv2:.2mv = mv2可见m极大，匕当然甚小，地球速度变化不明显。但地球所得的动量 w2,在所研究的问题中是不可以忽略的。同时看到，地球的动能在碰撞前后均为-/nv,2 ；地球所获得的 2能量可以忽略。同理地球角动最的变化也不可忽略。例如单摆在摆动过程屮，把重力作为内力时，系统的总角动量守恒，单摆的角动量随时而变正说明地球的角动量的变化不可忽略。例1 a球撞击在光滑冰而上的b球，a球原来以30nvs的速度滑行，撞击后偏离原方向30°, b球则偏向45° （图2-3-1）, a、b两球的质量相同。1、计算碰撞后每个球的速率

7、；2、碰撞是完全弹性的吗？如果不是，a球“损失”原冇的动能的几分之几？解把a、b两球看成一个系统；该系统所受的合外力等于零，因此动量守恒：mva2 cos 30° + mvb2 cos 45° = mvax + 0mva2 sin 30° 一 mvb2 sin 45° =0 + 0v3v42 + 2vr2 = 602-v2vb2=0vb2 =va2va2 = 22.0(/27/5) vb-, = 15.6(7?i/5)山此得代入前式得:lmv2u2 41碰撞前后的动能的变化为:=86.3m( j)山此可见碰撞询后动能不守恒，因此碰撞不是完全弹性的，碰撞中

8、损失了原来的动能的99% o讨论如b球也偏了 30° ,则叮2 = va2:乂由于tnva2 cos 30° + mvb2 cos 30° = mva品 va2 = 30<1碰撞前品动能的变化为:=；7?（302 -600）= mx300 = 150m（j）2 2町见a、b两球偏离同样的角度也是非完金弹性碰撞。那么是否有对心碰撞血几 乙2=°心2=卩川碰撞才是完全弹性的呢？不是！当与仏2间成直角，卩川为直角三角形 的斜边吋，才符合完全弹性碰撞的条件。例2跳伞运动员从飞机上跳f来，不是立即张开降落伞而是经过一定时间后才张开, 跳伞员受到很大的冲力。如

9、不张伞时下降的最后速度为50m/s,而在伞完全张开后的速度为 5m/s,张伞的时间是1.5s,并假定运动是直线运动，求平均冲力。分析跳伞员受伞的拉力（冲力）f和重力p的作用。解根据动量原理有：（尸+ p）/ = mv -mvq取铅直向下的方向为正方向，将此式写成标量式:（一f + az = mv - mvq即:叫一唧+p_0+1p =t50-459.8xl.5+ 1 p = 4p可见跳伞运动员在跳伞过程中所受绳的拉力（平均冲力）是4p,约为本身体重的4倍。例3蒸汽锤重p = 1.5t的力，口 h in高度处口由落下，打在锻件上，在ar = 0.is 内完全停止，求平均阻力。有人这样解:解打击前

10、气锤速度v =血亦,根据动量原理有:/af = mv-0=6.8 （t 力）-_ mv _ p2gh _ 1.572x9.8 + 1ar gd9.8x1这种解法是错误的，因为合外力不是了，还有气锤木身的重力p。以为表示气锤与锻件的平均相互作用力（平均冲力），对气锤应用动量原理，并取直向下的方向为正方向，则有:（p 一 n）/ = mv -mv0代入数字后得：7v=8.3 （t力）不计重力造成的误差为：8,36,8xloo% = 18%8.3切记：冲量是合外力的冲量。只有当冲力远大于其他力时，才可以其他外力的作用。例4求证竖直向上发射的火箭，其加速度为：vr dma gm at式中vr 燃料喷射

11、的相对速度；加一时间力内消耗的燃料；gs力加速度。证明如果火箭不喷射燃料，则向上的加速度为-g,由于燃料的喷射，火箭应该获得向上的推力即得到一个向上加速度，因此向上的加速度不会在-g的基础上再加一个负v dm的量，那- ijij的负号怎么理解呢？ d加是时间力内所消耗的燃料，是质量的变化量， m dt其值应该是负的，这样就“负负得正了”。v clttl加速度的附加项-二一乂是怎么得到的呢？m dt火箭的初动量为处，在时间d/内消耗燃料加，同时火箭的剩余质量的速度增大了 dv又考虑到喷射的燃料相对于地面的速度为v-vr，因此动量发生了变化，其末动最为（/?: +v + jv） + dm（v-vr

12、）（注意d加vo）,在火箭向上发射的过程中，动量为什么发生变化呢？这是重力作用了 d/这么长的时间的结果，即动量的变化应该等于-加gd/。解法一（由动量原理得：）(1)-mgdt =（加 + 伽）（v + t/v） 一 dmv 一 气）一 wv = mdv + dmvr + dmdv其中加dv为二级微量，町以忽略不计。故得：-mg = mdv + dmvr-mgdt = mdv + dmvr(2)则:故:因此得到了证明。解法二当重力不计时，由式（2）可知:mdv + dmvr = 0dv = - dmm等号两边同除以力,即:dv _ vr dm = jdt m dt令dt则在考虑重力影响时,得

13、:a = a-gm dt )例5质量为m=12kg的沙箱，以初速度 v.=3m/s进入一个表而结冰的斜面（其化倾 角a =30°）。当它在斜面上走到1 = 0.4m的地 方，一块质量为m = 3kg砖，由上而下地竖直 地入沙箱中，沙箱瞬时瞬时停了下來。如果砖 的初速度为零，则砖应从多人的高度下落（图2-3-2)分析把砖和沙箱作为研究对彖。共受砖的重力mg、沙箱的重力mg、斜面的支撑力 n三个外力作用。在砖和沙箱短暂的完全非弹性碰撞期间，重力和支撑力相比可忽略不计， 因此，在#方向合外力近似地等于零，在该方向整个系统的动最就保持不变。解法一设砖在沙箱发生完全非弹性碰撞z前一瞬问的速度为u,贝u根据西的动量守 恒定律有:mu sin a 一 mv = 0/ v2 - vq = -2gl sin am jv：-2glsina/. u =；m sin au2=2gh&#