二次函数与几何综合(习题)

1、二次函数与几何综合(习题)?例题示范例1:如图，抛物线y=ax2+2ax-3a与X轴交于A, B两点(点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,且OA=OC,连接AC(1) 求抛物线的解析式.(2) 若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求 ACP面积的最大值.(3) 若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以A, B, E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在，请说明理由.y*O(1,C(0,-3)X0)y=x2+第一问：研究背景图形【思路分析】a,可以求解读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母A(-3, 0), B(1, 0),

2、对称轴为直线x=-1 ;结合题中给出的OA=OC,可得C(0, -3),代入表达式，即可求得抛物线解析式.再结合所求线段长来观察几何图形，发现【过程示范】解：(1)由 y=ax2+2ax- 3a=a(x+3)(x-1)可知 A(-3, 0), B(1, 0),V OA=OC, C(0, -3),将 C(0, -3)代入 y=ax2+2ax-3a, 解得，a=1,2二 y=x +2x- 3.第二问：铅垂法求面积【思路分析】(1) 整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为 SXACP的最大值，分析A, C为定点，P为动 点且P在直线AC下方的抛物线上运动，即-3v XPV 0;(2) 设计

3、方案:注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达&ACP.【过程示范】如图，过点P作PQ/ y轴，交AC于点Q,易得 ac: y=-x- 3设点P的横坐标为t ,则P(t, t2+2t-3),V PQ/ y 轴，二 Q(t， -t-3)， PQ=yQ- yP=-t-3- (t2+2t-3)=-12-3t (-3VtV 0)，1 3 2 9/ c 丄 c ACP PQ (XC XA) t t (- 3<t V O)2 2 2抛物线开口向下，且对称轴为直线t -，2327当t 一时，SXACP最大，为一.28第三问：平行四边形的存在性【思路

4、分析】分析不变特征：以A，B，E，F为顶点的四边形中，A，B为定点，E, F为动点，定点A，B连接成为定线段AB.分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形.首先考虑 AB在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB既可以作边，也可以作对角线.画图求解:先根据平行四边形的判定来确定 EF和AB之间应满足的条件，再通过平移和 旋转来尝试画图，确定图形后设计方案 求解. AB作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF/ AB且EF=AB,要找EF, 可借助平移.点E在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段 AB拿出来沿对 称轴上下方向平移，确保点E在对称轴上，来找抛物线上的点 F.注意

5、：在 对称轴的左、右两侧分别平移.找出点之后，设出对称轴上 E点坐标，利用 平行且相等表达抛物线上F点坐标，代入抛物线解析式 求解. AB作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足 AB, EF互相平分，先 找到定线段AB的中点，在旋转过程中找到EF恰好被AB中点平分的位置， 因为E和AB中点都在抛物线对称轴上，说明EF所在直线即为抛物线对称轴， 则与抛物线的交点(抛物线顶点)即为 F点坐标.2结果验证：画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形.【过程示范】(3) 当 AB 为边时，AB/ EF且 AB=EF,如图所示，设E点坐标为(-1，m)，当四边形是 ABFE时，由 A(-3，0)，

6、B(1, 0)可知，F(3，m),代入抛物线解析式，可得，m=12， Fi(3, 12);当四边形是 ABEF时，由 A(-3，0)，B(1, 0)可知，F2(-5, m),代入抛物线解析式，可得，m=12, F2(-5, 12).当AB为对角线时，AB与EF互相平分，AB 的中点 D(-1, 0),设 E(-1, m),则 F(-1, -m),代入抛物线解析式，可得，m=4, F3(-l, -4).综上：F(3, 12), F2(-5, 12), F3(-1, -4).?巩固练习1. 如图，直线y丄X与抛物线y- 2 6交于A, B两点，C是抛物线的顶24占八、(1) 在直线AB上方的抛物线

7、上有一动点 卩，当厶ABP的面积最大时，点P的坐标为I(2) 若点M在抛物线上，且以点 M , A, B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240,则M , N两点的坐标为.2. 已知抛物线y=- mx2+4x+2m 与X轴交于点 A(, 0) , B( , 0),且1 1-2 抛物线的对称轴为直线I ,与y轴的交点为点C,顶点为点D,点C关于I的对称点为点E.(1) 抛物线的解析式为 (2) 连接CD,在直线CD下方的抛物线上有一动点 G,当Scdg=3,点G 的坐标为:(3) 若点P在抛物线上，点Q在X轴上，当以点D, E, P, Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为:y

8、l3. 已知抛物线y=a2-4ax+b的对称轴为直线x=2,顶点为P,与X轴交于A, B两点，与y轴交于点C,其中A(1, 0),连接BC, PB,得到 PBC=90°.(1) 求抛物线的解析式.(2) 抛物线上是否存在异于点 P的一点0,使厶BCQ与 BCP的面积相等？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.(3) 若点E是抛物线上一动点，点 F是X轴上一动点，是否存在以 B, C, E, F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 F的坐标；若不存 在，请说明理由.y*y*4. 如图，在平面直角坐标系XOy中， ABC是等腰直角三角形， BAC=90°A(1,

9、 0), B(0, 2).抛物线y=a2-ax-b与y轴交于点D ,且经过点C,连接 AD,可得 AB=AD.(1) 求抛物线的解析式.(2) 平移该抛物线的对称轴所在直线I .当I移动到何处时，恰好将厶ABC 的面积分为相等的两部分？(3) 点P是抛物线上一动点，点 Q是抛物线对称轴I上一动点，是否存在 点P,使以P, Q, A, B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【参考答案】1.(1)(2) M(-10, -19), N(-20, -14); M2(i2, -30), N2(2, -25)2. (1) y=-x2+4x+2;(2) G1(-1, -3), G2(3, 5);(3) Q1(4, 0) ,Q2(4.2, 0) ,Q3(