(完整版)初等数学研究复习汇总

1、第一章1、自然数集是有序集2、自然数集具有阿基米德性质3、自然数集具有离散型 使 a<b<a '即：4、最小数原理、整数集的性质即：如果 a,b N，则存在 n N，使 na>b 在任意两个相邻的自然数 a 和 a'之间不存在自然数 b，整数集构成一个交换环1、有理数集是一个数域4、有理数集具有稠密型 实数集是一个有序域 实数集是不可数集1、 复数集是一个数域整数集是有序集 整数集具有离散型 整数集是可列集 2、有理数集是一个有序域 3、有理数集 Q+具有阿基米德性质 5、有理数集是一个可列集实数集 R+ 具有阿基米德性质2、复数域不是有序域3、在复数域内，开

2、方运算总可实施。任何非零复数有且只有 第二章实数集具有连续性n 个不相等的 n 次方根。证明：（分析法）要证明1a(1b1 c)11 b(c11 ) 1 c( aa11b)即要证a(1a1c1)b( 1a1b 1c)c(a11abcabcab即要证(abc)(11c1 ) 0abc因为 abc0，末式成立，各步皆可逆，故原命题成立。c1 ) 0c10例：求 cos20 0 cos400 cos800值解：原式2sin 200 cos200 cos400 cos800 2sin 400 cos400 cos8002sin 800 cos8008sin 2002sin 200 sin 1600 1

3、 8sin 200 84 sin 200例：设 a, b, c是不等于 1的正数，且 b2N求证 : log aNN logbNN log b log aNN log c log cac，证明：由 所以logbNb2原式左边ac， logaN1logaN1 logbN logcN a得 2logbN logaN logcN log cN logbN1logbN1logcNlogcN (logbN logaN )logaN (logcNlogbN )l ogN tan原式右边例：求证tan tan3 证明：（综合法）cotcot cot 3原式左边 1 tancot 31 cot( tantan

4、 3 )(cot2 tan cot 3 cot tan 32 tan cot 3 cottan 3 cot 3 )tan3原式右边例：已知 、 为方程 msin x 在（0, ）内的两相异实根，求n cos xsin(p (mn 0)的值即 m 2 cossin2,0n ( 2)sin 2sin 02222,又sin2m cos2由万能公式得nsin2即 tan2sin(初等函数1、2、2 tan21 tan 22基本初等函数2mn1 (mn )2n2mn22mn定义:初等函数 是由幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数 、反三角函数 与常 数经过有限次的有理运算（ 加、减、乘、除、有理数

5、 次乘方、有理数次 开方 ）及有 限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。解：因为 、 为方程的两相异实根， 所以msinn cosp(1)msinncosp(2)(1) ( 2)得m(sinsin) n(cos cos ) 0ax 2 bx c2、y3x判断下列函数是否是初等函数？1、y3、f(x)2 x,0 x 1x, x 14、y x5、f (x) 1 x x 2 x 36、y x答案 :是，是，不是，不是，不是，是判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？判断：是否为同解变形？增根还是失根？解方程常用的方法1、換元法例：解方程 6 x2

6、 2 x 6 21 2x x 2xy x 1(1)则1x y 2 x(2)x解 : 原方程变形为x 12 x 令 y x x x2x 60则有 y26 y 270, 解得 y13, y2 9(舍)故36有72 x22 112(xx 6)623,解得 x11, x2 3经x 检验x x11,x23都是原方程的解。x2 2x 6 6 x2 2x 6 27 01(1)变形为 y 1 1 代入( 2)得 xx1故 ( x 1 1)2 0即 x2 x 1 0 得 x 1 5(负的舍去)211x1xx例：解方程 3 2 x 1x1解：（換元法）设 3 2 x u, x 1 v则 u3 1 2v (1)u3

7、 v2 1 (2)所以（ 1）代入（ 2）得 （132v) v 1即v1 1,v2 0,v3 3由此得原方程的解为 x12,x2 1,x3 10经检验这三个解都是原 方程的解。2、因式分解法32例：解方程 x3 6x2 15x 14 0解 : 原方程化为3 2 2(x3 2x2) (4x2 15x 14) 0 x2(x 2) (x 2)(4x 7) 0 2(x 2)(x2 4x 7) 0解得 x1 2,x2 2 3i,x3 2 3i3、图像法例：确定方程 2 x x2 2 的实数解的个数。解：由于原方程与方程 2 x x2 2 同解。所以可设 y1 2 x,y2 x2 2，作图 如下。从图像不

8、难看出，两个 函数 图像有两个交点。所以原方程有两个实数 根。x y z 6 (1)xy yz zx 11 （4）xyz 6 （5） 由（1）（4）（5）可知， x, y, z是三次方程 t3 6t 2 11t 6 0的三个根证明不等式的常用方法2、比较法欲证 A>B, 即证 A-B>0 （作差法）或 A/B>1（ 作商法）1、若 a2 1，则 (a b)(a b) (1 b)(1 b)2、设 a b 0，求证： aa bb ab ba3、分析法证明：(分析法)要证 a sin bcos 1只需证 2(asin b cos ) 2即要证 2(asin bcos ) (a2 b

9、2 ) (sin2 cos2 ) 由于 2a sin a 2 sin 2 ,2bcos b2 cos2 所以原不等式成立。4、換元法（等量代换法）证明：（換元法）证明：设 a cos , b sin则 a sin b cos cos sin sin cossin（ ） 1 得证4、換元法(等量代换法)五、反证法f (1)1pq12- 12 1pq则有f(2)42 p q1即21242 p qf(3)93p q121293 p q31(1)2pq22p(2)q7292即92192例：已知 f (x) x2 px q，求证 f (1), f(2), f (3)中 至少有一个不小于 12证明：反证法

10、1假设 f (1), f (2), f (3) 都小于 11212123pq(3)9211(1) ( 3)得 2 2p q(4)6、放缩法（不等量代换法）（1）欲证 A<B ，先证 A<C 且 C<B（这是放大 ）（2）欲证 A<B ，先证 B>D 且 D>A （这是缩小）例1：若 a b 0，求证 an bn n(a b)an 1(n N且 n 1) 证明：an bn (a b)(an 1 an 2bbn 1)n 1 n 2 (a b)(a a aan 1 ) n(a b)an11111)例2：证明112121221(nN,n2232n2n证明：由于 12

11、1 1 1n n(n 1) n 1 n所以 1 1 22 321 1 12n n 1 n 左右两边分别相加得证放缩法(111a1ab1 1 1)(1 ) 1 (a1bb(1aa1(a2b)21b)(aab)1b)( 1aa1aba 1 b) 2 4 b(111)(1a11b) 11 (a11 b ab1ab(1a 1b)(abab)11( a a b b)411ab(a2b)2 4放缩法常见的一些技巧：? 舍掉或加进一些项? 放大或缩小分子或分母? 运用基本不等式 利用函数单调性7、构造法构造函数? 构造的函数通常有一次函数、 二次函数、 分式函数、 指数函数、 对数函数等， 证明过程中用函数

12、的单调性，函数值的范围，二次函数的判别式等构造图形8、数学归纳法位置关系的证明1、平行的证法2、垂直的证法3、共线点的证法4、共点线的证法5、共圆点的证法例：AD、BE、CF是 ABC的中线，若直线 EG / AB,FG/ BE 则CG/ ADAEFCD证明： 四边形 GFBE是平行四边形 GE/FB,GE FB 又 AF FB 四边形 AFEG 是平行四边形 AG/ EF且AG EF,而EF DC AG/DC 且AG DC 四边形GADC是平行四边形 CG/ AD例：由圆外一点 P 作切线PA，由PA的中点B作 割线BCD交圆于 C、D连接PC、PD交圆于E、F 求证：FE /PA例：从三角

13、形一顶点 A向另两角的平分线作垂 线 AE、AF。E、F表示垂足。求证 : FE/ / BC 证明： AFIE 四点共圆( AI为直径)1FEB FAI CAF A21而在 Rt AFC中， CAF 900C211则 FEB 900C A2211( A C) B EBC22EF / BCDCFGPEFFPFEAHEAB0900证明 为E、F、 只要证明例：设四边形 ABCD 同时有外接圆和内切圆，证明两组对边上的切点的连线必互相垂直圆内角定理：园内角等于它所对的弧与它对顶角所对弧的度数的和的 圆外角定理：圆外角等于它所对的弧的度数的差的一半。900G CPFEPEF900 90设 AB、BC、

14、CD、 DA各边上的切点分别 G、H.连接 EF， E EG HF （垂足为 P）1C （在 FCG 中）21A （在 AHE 中）21800 1（ A C）2相加得18001、定义：判定三点或三点以上的点位于同一直线，谓之共线点问题。2、基本方法对顶角之逆 邻角互补 平行线的唯一性垂线的唯一性 证明三点在某一定直线上 证明两点连线与某定直线的交点是第三点 证三点中两两连线的线段有和差关系 证三点所成的三角形面积为 0证得以其中一点为对称中心，其余两点为对称图形的一对对应点 利用梅涅劳斯定理还可以利用斯特瓦特定理的逆定理，反证法等等斯特瓦特定理设 P是 ABC的 BC边上的一点，则 BP AC

15、 2 PC AB2 BC AP2 BP PC BC证明：在 APB 和 APC 中利用 余弦定理可得证。1、重心：三角形三条中线的交点。（这点和各边中点距离等于这条中线的 1/32、垂心：三角形三条高或高的延长线的交点3、外心 （外接圆的圆心） ：三角形三条边的中垂线的交点。 （这点到三角形三个顶点的距离相等）4、内心（内切圆的圆心：三角形三条内角平分线的交点。 （这点到三角形三条边的距离相等）补充知识 三角形的五心5、旁心：旁切圆 的圆心叫做三角形的旁心。三角形的一条内角平分线与其它两个角的外角平分线交于一点。这个点到三角形的一边及其他两边的延长线的距离相等，这就是三角形的旁心。B注：三角形

16、有三个旁心 证明：在任一三角形中，外心、 垂心和重心共线 欧拉线。 证明：设 H 、 O、 G 分别是三角形 ABC 的垂心、 外心、和重心。作 BC 边的中线 AD 交 BC 于 D ，因为 AG=2GD,AH=20D, GAH= GDO 所以 AGH DGO 则有 AGH= DGO即 H 、 G、 O 三点共线共点线的证法体现三角形重要属性的五心 重心、垂心、外心、内心、旁心，全是三线共点的产物。证三线共点的常见思路：1、证明各线都过某个定点2、证明两直线的交点在第三条直线上3、利用西瓦定理4、利用对称图形的对应点的连线共点于对称中心5、利用根心定理西瓦定理设 X、Y、Z 分别是 ABC 的 BC、CA 、AB 边或其延长线上的点，且有偶数个点在边的延 长线上，则 AX 、BY 、CZ 三线共点或互相平行的充要条件是BX CY AZ XC YA ZB由 CBYCAXCYXC由ACZABYAZYA三式相乘得BXCY AZXC