分解因式之十字相乘法教案人教新课标版

1、芒部中学高二文科班知识点强化资料分解因式之十字相乘法我们知道 X 2 x 3 = X2 5x 6，反过来，就得到二次三项式X2 5x 6的因式分解形式，即x2 5x i x 2 x 3，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一 次项的系数5,即卩6=2X 3，且2+3=5。一般地，由多项式乘法，x a x b =x2a b x ab，反过来，就得到x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)这就是说，对于二次三项式x2 px q，如果能够把常数项 q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数 p,那么它就可以分解因式，即x2px x a b x a x a

2、 x b 。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。例1把x2 3x 2分解因式。分析：这里，常数项 2是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1 X 2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。解：因为 2=1 X 2，并且 1+2=3,所以 x2 3xx 1 x 2例2把x2 -7x 6分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1 X 6=(-1) X (-6)=2 X 3=(-2)X (-3)，要使它们的代数和等于-7，只需取-1 , -6即可。解：因为 6=(-1) X (-6)，并且(-1)+(-6)=-7 ，

3、所以x2 -7x 6 =J二 x-1 x-6例3 把x2 -4x -21分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21可以分解成-2仁(-1) X 21=1X (-21)=(-3) X 7=3 X (-7)，其中只需取 3与-7,其和3+(-7)等于一次项的系数-4。解：x2 -4x -21二x 3淞也-7二 x 3 x-7例4把x2 2x -15分解因式。解：因为-15=(-3) X 5，并且(-3)+5=2，所以2x 2x_15=x -3 x 5=x -3 x 5通过例1八4可以看出，把x2 px q分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们

4、的符号与一次项系数p的符号相同。如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。例5把下列各式分解因式：42*2(1) x4 6x28(2) a b -4 a b 3解：1)x4 6x2 82 2 2二 x 6 x 8=x22x24=x22 x242(2) a b ； -4 a b 3=fia b -1a b -3=a b -1 a b -3例6 把x2 -3xy 2y2分解因式。分析：把x3xy 2y2看成x的二次三项式，这时，常数项是2y2，一次项系数是-3y，把2y2分解成-y与-

5、2y的积，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。解：x2 -3xy 2y2=x2 -3yx 2y2=x-y x-2y我们知道， x 2 3x 5 =3x211x 10。反过来就得到 3x2 11x10的因式分解的形式，即 3x2 11x 10hx 2 3x 5。我们发现，二次项的系数 3分解成1,3两个因数的积；常数项 10分解成2,5两个因数的积；当我们把-3 -芒部中学高二文科班知识点强化资料1,3，后发现1 x 5+2X 3正好等于一次项的系数11。由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2 bx c进行因式分解。我们知道,a/ ya?xq2=a-ia2x2=a-ia2

6、x反过来，就得到a&x azGx CC2a-|C2a2C| xc1c22a-ia2xqc2a2G x gc2二 a“x qa?xc?我们发现，二次项的系数a分解成a,a2，常数项c分解成gc2，并且把a1，a2，g，c2排列如下:c1c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1 c2+ a2 c,，如果它们正好等于 ax2 bx c的一次项系数b，2那么ax bx c就可以分解成a1a1x c a2x c2 ，其中 印，g位于上图的上一行，a?，g位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能

7、情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式3x2 11x 10中，二次项的系数 3可以分解成1与3，或者-1与-3的积，常数项10可以分解成1与10,或者-1与-10，或者2与5，或者 -2与-5的积，其中只要选取十字相乘就可以了。例7 把下列各式分解因式：(1) 2x2 -7x 3 6x2 -7x -5 5x2 6xy -8y2解：(1)2x2 -7x 3二 x-3 2x-1-3-1 6x2 -7x-5=2x 1 3x - 52 2(3)5x 6xy-8y-x 2y 5x - 4y另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式x2 px q

8、分解因式。例1八4的十字分别是:-1-6I I 2可以看出，这四个十字左边两个数都是1。因此在把x px q分解因式时，不画十字也可以。练习 把下列各式分解因式:(1) 2x2+15x+7 (2)3a2 -8a+425x 7x -6 (4)6y2-11y-105a2b2 23ab -10(6)2 2 23a b -17abxy 10x yx2 -7xy 12y2(8)x4 7x2 -18(9)4m2 8mn 3n2(10)5x5 -15x3y20xy2用配方法分解二次三项式对于某些二次三项式 ax2 bx c，除了可以用十字相乘法分解因式以外，还可以用“配方法”来 分解，其中要用到完全平方公式

9、、平方差公式以及添项、拆项的技巧(这里运用完全平方公式“配”出一个完全平方，是配方法的关健；“添项、拆项”是指先添一个0，再把0拆成绝对值相同、符号相反两项，也就是先加上一个适当的项，再减去这个项，其目的也是为了配方)。例如，把x2 6x-16分解因式，我们可以这样进行：x2 6x -16二 x2 2*x3，32 - 3216 （加上 32，再减去 32）二X 3 2 _ 52（运用完全平方公式）二x 3 5 x 3 - 5（运用平方差公式）二 x 8 x - 2（化简）可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致的。又例如，把2x2 x-3分解因式，我们可以这样进行：2x2 x -3=2 x（先提取二次项系数）2；22v 4（加上4 ，再减去4）=2 L仃.24丿14丿（运用完全平方公式）= 2x15 x 1-l 44八 44丿（运用平方差公式）（化简）x-1=2x 3 x-1可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致。1.用十字相乘法分解因式：(1)2x 2+3x+1;(2)2y 2+y 6;(3)6x 2 13x+6;(4)3a 2 7a 6;2 2 2 2(5)6x 11xy+3y ;(6)4m +8mn+3n;2 2 2 2(7)10x