2022届高三数学一轮复习（原卷版）第七章 7.3二元一次不定式与线性变化-教师版

1、 进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)不等式axbyc>0表示的平面区域一定在直线axbyc0的上方(×)(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线axbyc0同侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)>0，异侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)<0.()(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示()(4)线性目标函数的最优解是唯一的(×)(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()(6)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距(

2、×)阶段训练题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1(1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于()a. b. c. d.答案(1)c(2)c解析(1)(x2y1)(xy3)0或画出平面区域后，只有c符合题意(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，a(0，)，b(1,1)，c(0,4)，则abc的面积为×1×.故选c.命题点2含参数的平面区域问题例2(1)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()a3 b1

3、c. d3(2)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_答案(1)b(2)解析(1) 不等式组表示的平面区域如图，则图中a点纵坐标ya1m，b点纵坐标yb，c点横坐标xc2m，sabdsacdsbcd×(22m)×(1m)×(22m)×，m1或m3，当m3时，不满足题意应舍去，m1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线过ab中点时，直线ykx能平分平面区域因为a(1,1)，b(0,4)，所以ab中点d.当ykx过点时，所以k.思维升华(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，

4、若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解(1)不等式组表示的平面区域为，直线ykx1与区域有公共点，则实数k的取值范围为()a(0,3 b1,1c(，3 d3，)(2)已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()a1 b1 c0 d2答案(1)d(2)a解析(1)直线ykx1过定点m(0，1)，由图可知，

5、当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点c(1,2)时，k最小，此时kcm3，因此k3，即k3，)故选d.(2)由于x1与xy40不可能垂直，所以只可能xy40与kxy0垂直或x1与kxy0垂直当xy40与kxy0垂直时，k1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求当x1与kxy0垂直时，k0，检验不符合要求题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3(1)若x，y满足约束条件 则zxy的最大值为_(2)已知实数x，y满足：z|2x2y1|，则z的取值范围是()a，5 b0,5c0,5) d，5)答案(1)(2)c解析(1)满足约束条件的可行域为以a(2，1)，b(0,1)，

6、c为顶点的三角形内部及边界，则yxz过点c时z取得最大值.(2)由约束条件作可行域如图，联立解得a(2，1)，联立解得b(，)令u2x2y1，则yx，由图可知，当yx经过点a(2，1)时，直线yx在y轴上的截距最小，u最大，最大值为2×22×(1)15；当yx经过点b(，)时，直线yx在y轴上的截距最大，u最小，最小值为2×2×1.u<5，z|u|0,5)命题点2求非线性目标函数的最值例4实数x，y满足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围解由作出可行域，如图中阴影部分所示 (

7、1)z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的范围为直线ob的斜率到直线oa的斜率(直线oa的斜率不存在，即zmax不存在)由得b(1,2)，kob2，即zmin2，z的取值范围是2，)(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的最小值为oa2，最大为ob2.由得a(0,1)，oa2()21，zmax5，ob2()25，z的取值范围是1,5引申探究1若z，求z的取值范围解z可以看作过点p(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率z的取值范围是(，02若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值解zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2

8、表示点p(1,1)与q(x，y)的距离的平方pq2，(pq)(01)2(21)22，(pq)()2，zmax213，zmin1.命题点3求参数值或取值范围例5(1)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于() a3 b2 c2 d3(2)已知a>0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)b(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示易知a(2,0)，由得b(1,1)由zaxy，得yaxz.当a2或a3时，zaxy在o(0,0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除c，d选项；当a2或3时，zaxy在a(2,0)处取得最大值，2a4

9、，a2，排除a，故选b.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点a时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件(1)若x，y满足约束条件则zxy的最小值是()a3 b0 c. d3(

10、2)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_答案(1)a(2)1，解析(1) 作出不等式组表示的可行域(如图所示的abc的边界及内部)平移直线zxy，易知当直线zxy经过点c(0,3)时，目标函数zxy取得最小值，即zmin3.(2)画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1，题型三线性规划的实际应用问题例6某高科技企业生产产品a和产品b需要甲、乙两种新型材料生产一件产品a需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品b需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，

11、用3个工时生产一件产品a的利润为2 100元，生产一件产品b的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品a、产品b的利润之和的最大值为_元答案216 000解析设生产a产品x件，b产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax2 100×60900×100216 000(元)思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审

12、题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x等于()a10 b12 c13 d16答案c解析如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bn，可知当a6，b7时，xmaxab13.第3课时阶段重

13、难点梳理11二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式axbyc>0在平面直角坐标系中表示直线axbyc0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式axbyc0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线axbyc0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入axbyc，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由ax0by0c的符号即可判断axbyc>0表示的直线是axbyc0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组

14、成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【知识拓展】1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证2利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于ax

15、byc>0或axbyc<0，则有(1)当b(axbyc)>0时，区域为直线axbyc0的上方；(2)当b(axbyc)<0时，区域为直线axbyc0的下方3最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个重点题型训练典例(1)在直角坐标系xoy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.错解展示解析(1) 如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2x，当k<1或0<k<2或k>2时，不等式组表示一个三角形区域(2

16、)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点a(1,1)处取到最大值4，a14，a3.答案(1)(，1)(0,2)(2，)(2)3现场纠错解析(1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域(2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由得a(1,1)zaxy等价于yaxz，因为z的最大值为4，即直线yaxz的纵截距最大为4.若zaxy在a(1,1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线yaxz过点(2,0)且a<0时符合题意，4a×20，即a2.答案(1)(，1)(

17、2)2纠错心得(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答(2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.1下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()a(0,0) b(1,1)c(1,3) d(2，3)答案c解析把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选c.2不等式组表示的平面区域是()答案c解析用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为c.3若x，y满足则2xy的最大值为()a0 b3 c4 d5答案c解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点a时，截距最大，即z取得最大值，

18、由得所以a点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2×124.4设实数x，y满足不等式组若z2xy，则z的最大值等于_，z的最小值等于_答案20解析作出可行域(图略)，由y2xz，知当z2xy经过点(1,0)时，zmax2；当z2xy经过点(0,0)时，zmin0.作业布置1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()a(24,7) b(7,24)c(，7)(24，) d(，24)(7，)答案b解析由3×(3)2×(1)a·3×42×(6)a<0，得(a7)(a24)<0，7<a<

19、;24.2已知实数x，y满足条件则的最大值为()a2 b1 c. d.答案a解析可行域表示的是以(0,0)，(1,0)，(0,2)为顶点的三角形区域(含边界).表示可行域内一点(x，y)到原点的距离，易知(0,2)到原点的最大距离为2，故选a.3若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()a. b(0,1c. d(0,1答案d解析不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求a，b两点的坐标分别为和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a.4在平面上，过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影由区域 中的点在直线xy20上的投影构成的

20、线段记为ab，则ab等于()a2 b4 c3 d6答案c解析已知不等式组表示的平面区域如图中pmq所示因为直线xy20与直线xy0平行，所以区域内的点在直线xy20上的投影构成线段ab，则abpq.由解得p(1,1)，由解得q(2，2)所以abpq3.5设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()a4 b6 c10 d17答案b解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点a时z最小又知点a的坐标为(3,0)，zmin2×35×06.故选b.6某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b

21、原料2千克；生产乙产品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗a、b原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()a1 800元 b2 400元c2 800元 d3 100元答案c解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y满足的约束条件为设获利z元，则z300x400y.画出可行域如图画出直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点m时，目标函数取得最大值由解得即m的坐标为(4,4)，zmax300&#

22、215;4400×42 800(元)故选c.7已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()a.或1 b2或c2或1 d2或1答案d解析如图，由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a<0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.8已知实数x，y满足约束条件则的最小值是()a2 b2c1 d1答案d解析作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点p(x，y)与定点a(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当p位于点d(1,0)时，直线ap的斜率最小，此时的最小值

23、为1.故选d.9若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的平面区域的面积为_答案或解析直线kxy10过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kxy10垂直于y轴(如图(1)或与直线xy0垂直(如图(2)时才符合题意所以s×1×1或s××.10已知变量x，y满足约束条件若目标函数zaxy(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_答案解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a<，a>.11设x，y满足约束条件则的取值范围是_答案3,11解析设z12·，设z，则z的几何意义为动点p(x，y)到定点d(1，1)的斜率画出可行域如图阴影部分所示，则易得zkda，kdb，即z1,5，z12·z3,11*12.设不等式组表示的平面区域为m，点p(x，y)是平面区域内的动点，则z2xy的最大值是_，若直线l：yk(x2)上存在区域