2022届高三数学一轮复习（原卷版）黄金卷07（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

1、黄金卷07（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则集合的真子集的个数为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】联立解得或或，故，有个元素，则真子集的个数为，故选c。2已知是复数，为的共轭复数。若命题：，命题：，则是成立的( )。a、充分不必要条件b、必要不充分条件c、充要条件d、既不充分也不必要条件【答案】a【解析】由可得，由，设()，得，或，即或，是成立的充分不必要条件，故选a。3函数的大致图像是( )。a、 b、 c、 d、【答案】c【解析】的定义域为，为

2、奇函数，为偶函数，为奇函数，排除d，排除a，排除b，故选c。4射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为( )。(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到)a、b、c、d、【答案】c【解析】由题意可知、，代入得：，即，即，故选c。5若函数的值域为，则实数的取值范围为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，若，则，可取，若，则需

3、，解得，的范围为，故选c。6已知的展开式中的常数项为，则的系数为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】的展开式的通项公式为，常数项，常数项为，解得，的系数为，故选a。7某校举办“中华魂”爱我中华主题演讲比赛，聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分。现评委为选手李红的评分从低到高依次为、，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别为( )。a、；b、；c、；d、；【答案】d【解析】根据题意，程序框图求的是，图中判断框空白处应填“”，由茎叶图知、，故选 d。8如图所示是一个几何体的三视图

4、，则这个几何体外接球的体积为( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，还原几何体如图所示，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为，由棱柱高为可得，外接球半径为，外接球的体积为，故选d。9已知单位向量、，满足。若常数、的取值集合为，则的最大值为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由条件得，和的取值只有三种可能，分别为、，但二者不可能同时一个取，另一个取，的化简结果只有四种形式：、，而，故所有可能取值只有或两种结果，的最大值为，故选a。

5、10互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由题意，抛物线：的焦点，设直线、的方程分别为和，、，联立得，、，联立得，、，、，的轨迹方程为，故选a。11已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，则的取值范围是( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】，函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，在和内各有一个根，即，在坐标系中画出其表示的区域，令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，分析可得，则，的取值范围是，故选d。12已知在数列中，且当时，若为数列的前项和，则当

6、为整数时，( )。a、b、 c、d、【答案】a【解析】当时，得，又，从第二项开始是首项为，公比为的等比数列，()，当时，不符合题意，当时，则，由为整数可知是的因数，当且仅当时可取整数，故选d。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则 。【答案】【解析】，则，由正弦二倍角公式得。14曲线在处的切线方程为 。【答案】【解析】由求导可得，故在处切线斜率为，切线方程为。15在三棱锥中， ，则异面直线与所成的角的余弦值为 。【答案】【解析】如图，由己知条件，将三棱锥补为长方体，连接、，是异面直线和所成的角，由已知得，又在中，在中，、，由余弦定理可得。16已知双曲线：(，)的左、右顶点

7、分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，连接交轴于点，连接交于点，且，则双曲线的离心率为 。【答案】【解析】由双曲线：(，)得：、，又过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，、，如图所示，设，解得，即，又直线的方程为，令得，即，又由、三点共线，即，又，整理得，即，。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）在中、分别为角、所对的边，已知。(1)求角的大小；(2)若、，求的面积。【解析】(1)在中， ，由正弦定理得：， 2分，即，化简得， 4分又，； 6分(2)在中，由余弦定理得：

8、， 8分即，解得(可取)或(舍)， 10分。 12分18（12分）年月日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电大大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻。互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出多家网店，网罗住多位村民，销售额达两亿元。一网店经缙云土面，在一个月内，每售出缙云土面可获利元，未售出的缙云土面，每亏损元。根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图。该网店为下一个月购进了缙云土面，用(单位：，)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，(单位：元)表示下一个月该网店经

9、销云土面的利润。(1)将表示为的函数；(2)根据直方图估计利润不少于元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如，若需求量，则取，且的概率等于需求量落的频率)，求该网店下一个月利润的分布列和期望值。【解析】(1)由题意可知，当时， 1分当时， 2分； 3分(2)由得， 4分由直方图知需求量的频率为，利润不少于元的概率的估计值为； 6分(3)由题意可知，可取、，其分布列为： 9分。 12分19（12分）如图所示，在四棱柱中，底面，。(1)求证：平面；(2)设为的中点，求二面角的正弦值。【解析】(1)

10、连接，如图，在中，易得，由于， 2分又底面，底面，又，平面， 4分又，平面； 5分(2)、两两垂直，以为坐标原点，、所在的直线为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、， 6分则、， 7分设平面的法向量为，则，即，令，得、，则， 9分设平面的法向量为，则，即，令，得、，则， 11分则，设二面角的平面角为，则。 12分20（12分）已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线的焦点为，且与的面积分别为、，求的最小值。【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分联立得：，

11、恒成立， 3分设、，则， 4分，解得，此抛物线的标准方程为； 6分(2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：，直线与抛物线相交， 7分联立得，则， 8分则，解得或(舍)， 9分直线：，恒过定点， 10分设，从而、， 则， 11分当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分21（12分）已知函数，其中，。(1)当时，证明不等式恒成立；(2)若()，证明有且仅有两个零点。【解析】(1)令，则， 1分当时，在上单调递减， 3分，即不等式恒成立； 4分(2)的定义城为，且，令，则在上单调递增，当时， 6分， 7分故在上有唯一解，从而在上有唯一解，不妨设为，则，当时，在上单调递减，当时， ，在上单调递增，因此是唯一极值点， 8分，即在上有唯一零点， 9分，由(1)可知，即在上有唯一零点， 11分综上，在上有且仅有两个零点。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标下，曲线的方程是，曲线的参数方程是(为参数)，点是曲线上的动点。(1)求点到曲线的距离的最大值；(2)若曲线：交曲线于、两点，求的面积。【解析】(1)的平面直角坐标方程：，的平面直角