通用版2020版高考数学大一轮复习第19讲三角函数的图像与性质学案理新人教A版20190313357

1、第19讲三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中kz)函数y=sin xy=cos xy=tan x图像定义域rrxxr,且xk+2,kz值域   周期性22奇偶性  奇函数单调性2k-2,2k+2上为增函数;上为减函数 2k,2k+上为减函数;上为增函数 k-2,k+2上为增函数对称中心 k+2,0k2,0对称轴x=k+2 无常用结论1.函数y=asin(x+)和y=acos(x+)的最小正周期t=2|,函数y=tan(x+)的最小正周期t=|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对

2、称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=asin x或y=atan x的形式,偶函数一般可化为y=acos x+b的形式.题组一常识题1.教材改编 函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是. 2.教材改编 若函数y=asin x+1(a>0)的最大值是3,则它的最小值是. 3.教材改编 函数y=2cos x在-,0上是函数,在0,上是函数. 4.教材改编 函数f(x)=tanx-1的定义域为. 题组二常错题索引:忽视y=asin

3、 x(或y=acos x)中a对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是. 6.函数y=cos xtan x的值域是. 7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为 . 8.函数y=tanx+4图像的对称中心是. 探究点一三角函数的定义域例1 (1)函数f(x)=2-log2x+tanx+3的定义域为. (2)函数y=ln(2cos x+1)+sinx的定义域为.    总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简

4、单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.变式题 (1)函数y=sinx-cosx的定义域为. (2)函数f(x)=sinx-13+2sinx的定义域是. 探究点二三角函数的值域或最值例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是. (2)2018·沧州质检 已知x-4,6,则函数f(x)=2cos xsinx+3-3sin2x+sin xcos x的最大值与最小值之和为.    总结反思 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,

5、化为y=asin(x+)+k的形式,再求值域(最值);形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).变式题 (1)函数f(x)=sinx-4-cosx-4的最大值为()a.2b.2c.22d.22(2)函数y=cos x-sin x+4sin xcos x的值域是. 探究点三三角函数性质的有关问题微点1三角函数的周期性例3 (1)在函数y=cos|2x|,y=|c

6、os x|,y=cos2x+6,y=tan2x-4中,最小正周期为的所有函数为()a.b.c.d.(2)若函数f(x)=1+asinax+6(a>0)的最大值为3,则f(x)的最小正周期为.    总结反思 (1)公式法:函数y=asin(x+)或y=acos(x+)的最小正周期t=2|,y=atan(x+)的最小正周期t=|;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.微点2三角函数的对称性例4 (1)2018·广西贺州联考 若函数f(x)与g(x)的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f(x)=12x

7、2-x互为同轴函数的是()a.g(x)=cos(2x-1)b.g(x)=sin xc.g(x)=tan xd.g(x)=cos x(2)2018·重庆合川区三模 函数f(x)=asin(x+)a>0,>0,|<2的图像关于直线x=3对称,它的最小正周期为,则函数f(x)的图像的一个对称中心是()a.3,0b.12,0c.512,0d.-12,0   总结反思 (1)对于函数f(x)=asin(x+),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对

8、称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期t之间有如下结论:若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a与x=b,则最小正周期t=2|b-a|;若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a,0),(b,0),则最小正周期t=2|b-a|;若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则最小正周期t=4|b-a|.微点3三角函数的单调性例5 (1)2018·乌鲁木齐一检 已知3为函数f(x)=sin(2x+)0<<2的一个零点,则函数f(x)的单调递增区间是()a.2k-512,2k+12(kz) b.2k+12,2k+712(kz)c.k-5

9、12,k+12(kz)d.k+12,k+712(kz)(2)2018·合肥一中月考 已知>0,函数f(x)=cosx+3在3,2上单调递增,则的取值范围是()a.23,103b.23,103c.2,103d.2,103   总结反思 (1)形如y=asin(x+)的函数的单调性问题,一般是将x+看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.应用演练1.【微点3】2018·西安八校联考 已知函数f(x)=cos(x+)(0<<)在x

10、=3处取得最小值,则f(x)在0,上的单调递增区间是()a.3,b.3,23c.0,23d.23,2.【微点3】2018·浙江余姚中学月考 设f(x)=cos x,若a=f(ln 2),b=f(ln ),c=fln13,则下列关系式正确的是()a.a>b>cb.b>c>ac.a>c>bd.b>a>c3.【微点2】2019·九江一中月考 已知函数f(x)=asinx+6的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是()a.x=1b.x=14c.x=23d.x=-14.【微点1】2018·上海金山区二模

11、 函数y=3sin2x+3的最小正周期t=. 第19讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等),理解正切函数在区间-2,2内的单调性.【课前双基巩固】知识聚焦1.-1,1-1,1r奇函数偶函数2k+2,2k+322k-,2k(k,0)x=k对点演练1.解析 最小正周期t=2=22=.2.-1解析 依题意得a+1=3,所以a=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减解析 由余弦函数的单调性,

12、得函数y=2cos x在-,0上是增函数,在0,上是减函数.4.4+k,2+k(kz)解析 由题意知tan x1,所以4+kx<2+k(kz).5.2k-,2k(kz)解析 函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,即为2k-,2k(kz).6.(-1,1)解析 x2+k(kz),y=cos xtan x=sin x,y=sin x(-1,1),即函数y=cos xtan x的值域是(-1,1).7.1解析 设t=cos x,则-1t1,所以y=-t2+3t-1=-t-322+54,当t=1时,函数取得最大值1.8.k

13、2-4,0(kz)解析 由x+4=k2(kz),得x=k2-4(kz),所以函数y=tanx+4图像的对称中心为k2-4,0(kz).【课堂考点探究】例1思路点拨 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0<x4且x6且x76(2)x2kx<2k+23,kz解析 (1)依题意得2-log2x0,x+3k+2,kz,得0<x4且xk+6,kz,所以函数f(x)的定义域是x0<x4且x6且x76.(2)由题意得2cosx+1>0,sinx0,即cosx>-12,sinx0,解得2k-23<x<

14、;2k+23,kz,2kx2k+,kz,所以2kx<2k+23,kz,所以函数的定义域为x2kx<2k+23,kz.变式题(1)x2k+4x2k+54,kz(2)x2k-3<x<2k+43,kz解析 (1)由题意知sin x-cos x0.作出函数y=sin x和y=cos x的图像,如图所示.在0,2内,满足sin x=cos x的x的值为4,54,再结合正弦、余弦函数的周期是2,得原函数的定义域为x2k+4x2k+54,kz.(2)依题意知,3+2sin x>0,即sin x>-32,结合函数y=sin x的图像(图略),可得函数f(x)的定义域为x2k

15、-3<x<2k+43,kz.例2思路点拨 (1)将函数转化为以sin x为自变量的二次函数求最值;(2)将函数化为f(x)=asin(x+)+k的形式,再利用函数的单调性求最值.(1)4916(2)1解析 (1)由题知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin2x-sin x+1=-4sinx+182+4916,当sin x=-18时,函数取得最大值,最大值为4916.(2)由题可知,f(x)=2cos xsinxcos3+cosxsin3-3sin2x+sin xcos x=2sin xcos x+3cos2x-3sin2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3

16、. 因为x-4,6,所以2x+3-6,23,所以当2x+3=2,即x=12时,函数取得最大值,即为2sin2=2;当2x+3=-6,即x=-4时,函数取得最小值,即为2sin-6=-1.所以最大值与最小值之和为2-1=1.变式题(1)b(2)-2-2,178解析 (1)f(x)=sinx-4-cosx-4=2sinx-4-4=2sinx-2=-2cos x,当x=(2k+1)(kz)时,f(x)取得最大值2.(2)令t=cos x-sin x,则t=2cosx+4-2,2,又t2=1-2sin xcos x,所以sin xcos x=1-t22,所以y=t+4·1-t22=-2t2+

17、t+2=-2t-142+178.因为t-2,2,所以当t=14时,y取得最大值178;当t=-2时,y取得最小值-2-2.所以函数的值域是-2-2,178.例3思路点拨 (1)根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;(2)首先求出参数a,再求最小正周期.(1)a(2)解析 (1)对于,y=cos|2x|=cos 2x,则它的最小正周期为22=;对于,y=|cos x|的最小正周期为12×21=;对于,y=cos2x+6的最小正周期为22=;对于,y=tan2x-4的最小正周期为2.故选a.(2)函数f(x)=1+asinax+6(a>0)的最大值为1+a,

18、1+a=3,a=2,因此f(x)的最小正周期为2a=.例4思路点拨 (1)函数f(x)的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出=2,再由图像关于直线x=3对称,求得=-6,进而可求得f(x)的图像的对称中心.(1)d(2)b解析 (1)易知f(x)=12x2-x的图像关于直线x=1对称.对于选项a,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k2(kz);对于选项b,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=12+k(kz);对于选项c,函数g(x)的图像不存在对称轴;对于选项d,函数g(x)的图像的对称轴为直线x=k(kz),当k=1时,其中有一条对称轴为直线

19、x=1,符合题意.故选d.(2)由题意可得2=,=2,f(x)=asin(2x+).函数f(x)的图像关于直线x=3对称,f3=asin23+=±a,即sin23+=±1.|<2,=-6,故函数f(x)=asin2x-6.令2x-6=k,kz,可得x=k2+12,kz,故函数f(x)的图像的对称中心为k2+12,0,kz.结合选项可知, 函数f(x)的图像的一个对称中心是12,0.故选b.例5思路点拨 (1)由条件求出,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f(x)的单调递增区间,由3,2是所求单调递增区间的子集得出的取值范围.(1)c(2)c解析 (1)3为函数

20、f(x)=sin(2x+)0<<2的一个零点,f3=sin23+=0,23+=k(kz),解得=k-23(kz).0<<2,=3,f(x)=sin2x+3,令-2+2k2x+32+2k(kz),则k-512xk+12(kz),故选c.(2)令2k-x+32k,kz,>0,2k-43x2k-3,kz,函数f(x)=cosx+3的单调递增区间为2k-43,2k-3,kz.f(x)在3,2上单调递增,22k-3,32k-43,kz,解得6k-44k-23,kz.由题意知,2-312×2,0<6,2103.应用演练1.a解析 函数f(x)=cos(x+)(

21、0<<)在x=3处取得最小值,cos3+=-1,3+=+2k,kz,又0<<,=23,即f(x)=cosx+23.令-+2kx+232k,kz,解得-53+2kx-23+2k,kz,又x0,k=1,f(x)在0,上的单调递增区间是3,故选a.2.c解析 因为函数f(x)=cos x是偶函数,所以c=fln13=f(ln 3).因为0<ln 2<ln 3<ln <,且函数f(x)在0,上单调递减,所以f(ln 2)>f(ln 3)>f(ln ),即a>c>b.故选c.3.c解析 由题可知,函数的最小正周期t=2×2

22、=4,所以=24=2.令2x+6=k+2,kz,解得x=2k+23,kz,结合选项可知,x=23满足条件.故选c.4.解析 易知t=22=.【备选理由】 例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.例1配合例2使用 已知函数f(x)=1+4cos x-4sin2x,x-4,23,则f(x)的值域为. 答案 -4,5解析 f(x)=1+4cos x-4sin2x=1+

23、4cos x-4(1-cos2x)=4cos2x+4cos x-3=4cosx+122-4,因为x-4,23,所以cos x-12,1,所以4cosx+122-4-4,5,故函数f(x)的值域为-4,5.例2配合例2使用 若函数f(x)=sinx+6(>0)在区间(,2)内没有最值,则的取值范围是()a.0,11214,23b.0,1613,23c.14,23d.13,23解析 b由正弦函数的单调性可知,函数y=sin x的单调区间为k+2,k+32,kz.由k+2x+6k+32,kz,得k+3xk+43,kz.函数f(x)=sinx+6(>0)在区间(,2)内没有最值,函数f(x)在区间(,2)内单调,(,2)k+3,k+43,kz,即k+3,k+432,kz,解得k+13k2+23,kz.由k+13<k2+23,