最新勾股定理竞赛试卷(含解答)

1、精品文档八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间： 120 分钟，总分：120 分）一、选择题（每小题5 分，共 25 分）1、 ABC周长是 24， M是 AB的中点 MC=MA=5，则 ABC的面积是（）A 12; B 16; C 24; D 302、如图，在正方形ABCD中， N 是 CD的中点， M是 AD上异于 D 的点，且 NMB= MBC，则 AM：AB=（）A1;B3;C1;D 33326第（ 1）题图第（ 2）题图第（ 3）题图3、如图，已知O是矩形 ABCD内一点，且OA=1， OB=3，OC=4，那么 OD的长为（）A.2; B.22 ; C.23 ; D.34、如图， P 为正

2、方形ABCD内一点， PA=PB=10，并且 P 点到 CD边的距离也等于10，那么，正方形ABCD的面积是（）A 200; B 225; C 256;D 150+1025、如图，矩形ABCD中， AB=20， BC=10，若在 AB、 AC上各取一点N、 M，使得 BM+MN的值最小，这个最小值为（）A 12; B 102 ; C 16; D 20二、填空题（每小题5 分，共 25 分）第（ 5）题图6、如图， ABC中， AB=AC=2， BC边上有 10 个不同的点P1 , P2 ,P10 ，记M iAPi 2Pi B Pi C （ i=1 ， 2 ， 10 ），那 么 ，M 1M 2M

3、 10 =_。第（ 6）题图精品文档精品文档7、 如图，设 MPN=20°， A 为 OM上一点， OA=4 3 ， D 为 ON上一点， OD=8 3 ， C 为 AM上任一点， B 是OD上任意一点，那么折线 ABCD的长最小为 _ 。第（ 7）题图第（ 8）题图8、如图，四边形 ABCD是直角梯形， 且 AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD的面积 =_ 。9、若 x + y = 12，那么x24y29 的最小值 =_。10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为 _ 。三、解答题（共 70 分）1

4、1、（本题 10 分）如图 ABC三边长分别是 BC=17，CA=18，AB=19，过 ABC内的点 P 向 ABC三边分别作垂线 PD，PE， PF，且 BD+CE+AF=27，求 BD+BF的长度。12、（本题 15 分）如图，在ABC中， AB=2， AC= 3 ， A= BCD=45°，求 BC的长及 BDC的面积。精品文档精品文档13、（本题 15分）设 a,b,c,d都是正数。求证： a 2c2d 22cdb 2c2a 2b 2d 22ad14、（本题15 分）如图，四边形ABCD中， ABC=135°， BCD=120°， AB=6 ， BC=5-3

5、 ， CD=6，求AD。15、（本题 15 分）如图，正方形 ABCD内一点 E，E 到 A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长。精品文档精品文档答案一、选择题1 C2 A3 B4 C5 C解答：1 MA=MB=MC=5， ACB=90°知周长是24，则 AC+BC=14，AC2 +BC2 =10 2 ， 2AC· BC=(AC+BC)2 -(AC 2 +BC2 ) = 142 -10 2 =4×24SABC124AC BC22如图，延长MN交 BC的延长线于T，设 MB的中点为O，连 TO，则 BAM TOB AM： MB=OB： BT MB

6、2 =2AM· BT （ 1）令 DN=1， CT=MD=k，则 AM=2 k所以 BM=AB 2AM 24(2 k )2BT= 2 + k代入（ 1），得 4 + (2 k )2 = 2 (2 k ) (2 + k )所以 k =43所以 AM： AB=2：2= 1333如图，过O作 EF AD于 E，交 BC于 F；过 O作 GH DC于 G，交 AB 于 H设 CF=x， FB = y, AH = s, HB = x,所以 OG=x, DG = s所以 OF2 =OB2 - BF 2 =OC2 -CF 2即 4 2 - x 2 = 3 2 - y 2所以 x 2 - y2=16

7、 9=7（ 1）同理有 OH2 =1 2 - s 2 = 3 2 - t2所以 t 2 - s2=3 2-1 2=8（ 2）又因为 OH2 +HB2 =OB2即 y 2 + t2 = 9（ 1） - （ 2）得 (x 2 +s 2 ) (y2 + t 2 ) = 1 2 2 2 2 2所以 OD2 =x 2 + s 2 = (y2 + t 2 ) 1 = 9 1 = 8精品文档精品文档所以 OD=2 24如图，过P 作 EF AB于 E，交 CD于 F，则 PF CD所以 PF=PA=PB=10，E 为 AB中点设 PE = x ，则 AB=AD=10 + x所以 AE=1 AB=1 (10

8、+ x)22在 Rt PAE中， PA2 =PE2 +AE2所以 10 2 = x 2 + 1 (10 + x )2所以 x = 62所以正方形ABCD面积 =AB2 =(10 + 6)2= 2565如图，作B 关于 AC的对称点B ' ，连 A B ' ，则 N点关于 AC的对称点N'在 A B' 上，这时， B 到 M到 N的最小值等于B MN' 的最小值，等于B 到 A B' 的距离 BH'，连 B与 A B '和 DC的交点 P，1则 S ABP = × 20× 10=100，2由对称知识，PAC= B

9、AC= PCA所以 PA=PC， 令 PA=x，则 PC=x， PD=20 x ，在 Rt ADP中， PA2 =PD2 +AD2所以 x 2= (20 x )2+10 2所以 x = 12.5因为 S ABP= 1PA· BH'2'=2SABP100216所以 BHPA12.5二、填空题1 40；2 12；3 1532 ；424 13；5 6， 8， 10 或 5， 12， 13解答：精品文档精品文档1如图，作AD BC于 D，在 Rt ABD和 Rt APi D 中， AB2 =AD2 +BD2AP 2AD 2P D 2ii所以 ABAPi2AD 2BD 2(AD

10、 2Pi D ) 2BD 2Pi D 2(BD Pi D )(BD Pi D )Pi CPi B所以 APi 2Pi C Pi B AB 24 所以 M i 4所以 M1M 2M 10401 如图，作 A关于 ON的对称点 A '， D关于 OM的对称点 D' ，连结 A ' B， CD' ，则 A' B=AB，''''D'CD=CD，从而 AB+BC+CD=AB+BC+CD A''''因为 AON= MON= MOD=20°，所以A OD =60°又因为 OA&

11、#39; =OA=4 3 ， OD' =OD=8 3 ，所以 OD' =2OA'即 OD' A' 为直角三角形，且OA' D' =90°所以 A'D' = OD '2OA'2(83) 2(4 3)212所以，折线 ABCD的长的最小值是123如图，作 PM AB于 M， PNBC于 N，设 AB = m, PM = x, PN = y，则x2y 24(1)x2( my)21(2)(mx) 2y 29(3)由（ 2）、（3）分别得，x 2m22myy 21（ 3）y 2m22mxx 29（4）精品文

12、档精品文档将（ 1）代入（ 4）得 m22my30ym23 ;2m将（ 1）代入（ 5）得 m22mx50xm 25 ;2m把 x,y 的表达式分别代入（1）得 m410m2170因为 m2 >0所以 m2 =5+22所以 AB= m5 22,BC5 22,AD15221 (AD1532所以 SABCDBC) AB22424如图， AB=12， AC=2， BD=3，且 AB AC， AB BD， P 在 AB上且 PA=x， PB=y，连 PC， PD，在 Rt CAP和 Rt DBP中PCAC 2PA2x24,PDBD 2PB 2y29如图， P 点在 P0位置时， PC+PD的值最

13、小，为线段CD的长度，而CD= (23) 212213所以x 24y29 的最小值为 13。5设三边长为a,b,c ，其中 c 是斜边，则有a 2b2c2 (1)a bcab (3)2（ 2）代入（ 1）得 a 2b2( aba b) 2即 ab ( ab 4a 4b 8) 024因为 ab 0所以 ab 4a 4b + 8 = 0所以 a48为正整数 )(a,bb 4所以 b 4 = 1 ， 2， 4， 8，所以 b = 5 ， 6， 8，12；a = 12 ， 8， 6， 5；c = 13， 10， 10， 13，所以，三边长为6，8， 10 或 5， 12，13三、解答题精品文档精品文档

14、1如图 , 连结 PA,PB， PC，设 BD=x， CE=y， AF=z，则 DC=17-x， EA=18 y ， FB = 19 z在 Rt PBD和 Rt PFB中，有 x 2PD 2(19z)2PF 2同理有：y 2PE2(17x)2PD 2z2PF 2(18y) 2PE 2将以上三式相加，得x 2y 2z2即 17x + 18y + 19z = 487又因为 x + y + z = 27 ，所以 x = z 1,所以 BD + BF = x + (19 z ) = z2如图，作CE AB于 E，则 CE=AE= 2 AC622(17x)2(18y) 2(19z) 2 1 + 19 z

15、 = 18646所以 BE=AB-AE=2 -22又 BC2CE 2BE 2所以BC=CE2BE272 661再过 D 作 DFBC，交 CB延长线于F，并设 DF=CF=x，则 BF= x BC = x + 1 -6又 Rt DFBRt CEB，所以 DF： BF=CE： BE，即 x： (x + 1 -6646) =:22所以 x =3262所以 S BCD1 BCDF1( 61)32 69622242 如图，构造一个边长为 (a + b)、 (c + d)的矩形 ABCD，在 Rt ABE中， BE=AE 2AB 2所以 BE=a 2(cd )2a 2c2d 22cd精品文档精品文档在

16、Rt BCF中，BF= BC 2CF 2(a b) 2d 2a 2b 2d 22ab在 R t DEF中， EF=DE 2DF 2b2c2在 BEF中， BE+EF>BF即a 2c2d 22cdb2c2a 2b2d 22ab3 如图，过A作 AE BC交 CD于 E，则 1=45°， 2=60°，过 B 作 BF AE于 F，作 CG AE 于 G，则 Rt ABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为 AB=6 ， BC=5-3 ，所以 BF=AF=2 AB= 3 ，所以 CG=BF= 3 ，2所以 CE= 2CG=2， EG= 1CG=133所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过 D 作 DM AE延长线于 M MED=180° - AED=180° - BCD=180° -120 °=60°所以 EM=1 DE=2， DM= 3 DE=2 322在 Rt AMD中， AD=AM 2DM