一类面积最值问题解法探究

1、    一类面积最值问题解法探究    徐世奎【摘 要】数学的特点之一就是它具有严密的系统性，数学的知识、思想、方法之间都有密切的内在联系。要理解和掌握数学的知识、思想和方法，不仅要理解和掌握数学的每一个知识、思想和方法，而且还要理解和掌握数学的知识、思想、方法之间的内在联系。那么善于总结归纳数学思想与方法是学好数学的必须。【关键词】面积;抛物线;二次函数本文以一道习题的多种解题方法出发，体会总结归纳数学思想方法对数学学习的好处。问题：已知抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线为y=ax2-4ax+4a+1，正方形abcd的中心在坐

2、标原点，其边分别平行于坐标轴，以o为圆心的圆在第二象限内与正方形abcd相交于点p、q，且p、q在抛物线y=ax2+bx+c上。（1）求a的取值范围;（2）设ab交x轴于点e，若peec.求e、c两点的坐标;（3）在（2）的条件下，设直线ac与y=ax2+bx+c相交于m、n，问在直线ac上方的抛物线y=ax2+bx+c上，是否存在一点t，使得mnt的面积最大？若存在求出最大面积，并指出此时t的坐标，若不存在，请说明理由。考点：二次函数综合题分析：（1）分析说理或论证均可。（2）利用相似求出p、q，坐标是关键。（3）如何求面积最大值，利用代数或几何方法均可，这将是本文探究的重点。解析：（1）通

3、过观察y=ax2-4ax+4a+1，不难发现y=a（x-2）2+1，将其沿x轴向左平移2个单位后就成了y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c即为y=ax2+1。方法一（叙述说理）y=ax2+1的对称轴为y轴，经过p、q两点抛物线的开口必须向下a<0方法二（论述说理）设p（xp，yp） q（xq，yq），将其带入y=ax2+1得yp=axp2+1，yq=axq2+1axp2-axq2=yp-yqa（xp+xq）（xp-xq）=yp-yqyp>yq，xp>xq，xp<0，xq<0xp+xq<0，xp-xq：>0，yp-yq>0a=  

4、<0（2）易知apebec，故有  =  =  ，设e点坐标为（x0，0），则p（  x0，-x0），根据hl知phoeqeo，故q（x0，-  x0），将p，q坐标代入y=ax2+1中得：x    +1=-x0ax    +1=-  x0解之得，x0=-  ，a=- e=（-  ，0），c（  ，-  ）（3）方法一：几何法，利用与直线ab平行的直线当与抛物线有且只有一个交点时，mnt以mn为底边的高最大，从而面积最大。由a（-  ， &

5、#160;），c（  ，-  ）得直线解析式y=-x，故由y=-x+by=-  x2+1得  x2-x+b-1=0，由=0得b= 由  x2-x+  =0得x=  ，t（  ，  ）方法二：几何法，将mnt如图分解成两个共底的三角形。smnt=smst+ssnt=  ts（h1+h2）=  ts×gn而gn长度一定，要使smnt最大，则ts长度最大设t（x1，-  x    +1），则s（x1，-x1）故ts=ts=-  x  

6、;  +x1+1=-  （x1-  ）2+  当x1=  时ts最大，此时t（  ，  ）方法三：代数法，构建关于mnt的面积的二次函数是关键。设t（x0，y0）smnt=s四边形mgnt-smgn=（s梯形mgst+stsn）-smgn故应先求出m、n的坐标，从而得出以x0为自变量的s的二次函数，求出最值。可见一题多解，就是对于同一问题，由于观察的角度不同、侧重点不同，运用知识的不同，思考方向和思维力度的不同，从而得到不同的解法。采用不同方法求解，是开拓学生思路，培养学生将已学知识融会贯通的一个重要途径，用多种方法解答同一道